初三数学解直角三角形例题解析实验试题

初三数学解直角三角形例题解析

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

第二十一章解直角三角形

第四节解直角三角形

第五节应用举例〔例1、例2、例3〕

二. 教学目的：

1. 掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

2. 会解简单的解直角三角形应用问题。

3. 会解决仰角、俯角、坡度的实际问题。

三. 教学重点、难点：

重点：直角三角形的解法。

难点：应用解直角三角形解决实际问题。

四. 教学过程：

〔一〕知识点：

1. 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的两个元素〔其中至少一个是边〕，求出其余未知元素的过程。

①两边⎩⎨⎧一直角边及斜边两直角边

②一边一锐角⎩

⎨⎧斜边，一锐角一直角边，一锐角 2. 在△ABC 中，∠C=90°，除直角外其余五个元素间有以下关系：

a

〔1〕三边间关系——勾股定理：222c b a =+

〔2〕锐角间关系：∠A+∠B=90°

〔3〕边角之间的关系： a b B tan c a B cos c b B sin b a A tan c b A cos c a A sin ======，，，， 〔4〕直角三角形面积公式：

ch 2

1ab 21S ABC ==∆〔h 为斜边c 的高〕 3. 斜三角形中构造直角三角形

在斜三角形中作一条合适条件的垂线〔高〕，将其转化为解直角三角形问题。

4. 仰角、俯角

如下图，在视线与程度线所成的角中，视线在程度线上方的角叫仰角，视线在程度线下方的角叫俯角。

铅 垂水平线

线

5. 坡度：把坡面的铅直高度h 和程度宽度l 的比叫坡度。

〔或者叫坡比〕用字母i 表示，如图即l h

i =，假如把坡面与程度面的夹角记为α〔坡

角〕，那么坡度i 等于坡角的正切值，即α=tan i 。

l

【典型例题】

例1. △ABC 中，∠C=90°，a=32.4，b=43.5，解这个直角三角形。

a

解：在Rt △ABC 中，

7448.05.434

.

32b a A tan ≈==

∴∠A='4136︒

∴∠B='1953'413690︒=︒-︒

24

.545974.04

.32A sin a c c a

A sin ≈==∴=

例2. △ABC 中，∠C=90°，C=287.4，∠B='642︒，解这个直角三角形。

B C

解：在Rt △ABC 中，

∠A='5447'64290︒=︒-︒

c a B cos = 3.213742.04.287B cos c a ≈⨯=⨯=∴

7.1926704.04.287B sin c b c

b

B sin ≈⨯=⨯=∴=

注：解直角三角形，应恰中选择关系式。

原那么是：〔1〕尽量多地含条件。〔2〕尽量用乘法。

例3. △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，解这个直角三角形。

B C

解：在Rt △ABC 中，

∠B=90°－∠A=90°－60°=30°

a b B tan =

353315B tan a b =⨯=⋅=∴ 又c

a A sin =

3102

3

15A sin a c ===∴ 注：此题含有特殊锐角30°，还可以通过直角三角形性质，30°角所对直角边等于斜边的一半及勾股定理求边。

例4. 如图在△ABC 中，b=16，c=55，∠A=60°，求a 及∠B 。

解：作CD ⊥AB 于D

在Rt △ADC 中

∵b=16，∠A=60°

38CD 8AD ==∴，

47855AD AB BD =-=-=∴ 据勾股定理，有

49240147)38(BD CD CB a 2222==+=+==

9592.04947BC BD B cos ≈==∴

∴∠B='2616︒

例5. 如图，厂房屋顶人字架〔等腰三角形〕的跨度为10米，∠A=26°，求中柱BC 〔C 为底边中点〕和上弦AB 的长。〔准确到〕 B

上弦

中柱 A D C 26°

解：在Rt △ABC 中，

AC BC A tan =

)m (44.24877.0526tan 5A tan AC BC ≈⨯=︒⨯=⋅=∴ 又AB AC A cos =

)m (56.58988.0526cos 5A cos AC AB ≈=︒==∴

答：中柱BC 长为，上弦AB 约长。

例6. 如图，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 测得C 点的仰角为60°，AB=20m ，点D 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度〔结果保存根号〕

解：作CD ⊥AB 于D ，∠CBD=60°

设CD 为x m

在Rt △CBD 中，x 3360tan CD BD =︒=

又∠A=45°

在Rt △ACD 中，CD=AD

x x 3320=+∴

解得)m (31030x +=

答：气球离地面高度为m )31030(+。

例7. 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度3:1i =，