(13)寒假提前学：平面向量基本定理及坐标表示——2022-2023学年高一数学人教A版寒假作业

（13）寒假提前学：平面向量基本定理及坐标表示 ——2022-2023学年高一数学人教A 版（2019）寒假作业

基础知识

1.平面向量基本定理：如果12e e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12λλ，，使1122λλ=+a e e .

2.基底：若12e e ，不共线，则把12{}e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

3.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

4.平面向量的坐标运算：

设向量1122()()x y x y λ==∈R a b ，，，，，则有下表： 2(AB x =5.平面向量共线的坐标表示

（1）设1122()()x y x y ==a b ，，，，其中≠0b a b ，

，共线的充要条件是存在实数λ，使λ=a b .

（2）如果用坐标表示，向量()≠0a b b ，共线的充要条件是12210x y x y -=. 6.平面向量数量积的坐标表示：设向量1122()()x y x y ==a b ，，，，则1212x x y y =+a b ·. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

7.向量模的坐标表示：（1）若向量()x y =a ，，则||a 2）若点

1122()()A x y B x y ，，，，向量2121()AB x x y y =--，

，则||(AB x =由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.

8.向量夹角的坐标表示：设a b ，都是非零向量，1122()()x y x y ==a b ，，，，θ是a 与

b 的夹角，则

cos ||||

θ=

=a b

a b ·9.向量垂直的坐标表示：设向量1122()()x y x y ==a b ，，，，则

121200x x y y ⊥⇔=⇔+=a b a b ·.

练习

1.在梯形ABCD 中， ,2AB CD AB CD =，E 是边CD 上的点，且1

3

CE CD =.若记

,AB AD ==a b ，则BE =( )

A.23

-+a b

B.23

+a b

C.43

+a b

D.2133

+a b

2.如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点.若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为( )

A.43

B.53

C.

158

D.2

3.已知向量(1,0),(2,2)m m ==-+a b .若0⋅=a b ，则2-=a b ( ) A.（2，-4）

B.（-2，4）

C.（2，4）

D.（-2，-4）

4.已知向量(1,2),(1,1),(,2)m ==-=a b c ，且(2)-⊥a b c ，则实数m =( )

A.-1

B.0

C.1

D.任意实数

5.已知||1,(0,2)==a b ，且1⋅=a b ，则向量a 与b 夹角的大小为( ) A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

6.在ABC 中，N 是AC 边上一点，且12

AN NC =，P 是BN 上一点.若29

AP mAB AC =+，则实数m =( ) A.12

B.13

C.14

D.1

7.（多选）已知向量a 与向量b 满足如下条件，其中a 与b 的夹角是π3

的有( ) A.||1,||6,()2==⋅-=a b a b a B.23||||1,2

==+⋅=a b a a b

C.1),=-=a b

D.(3,0)==-a b

8.（多选）如图，在平面四边形ABCD 中，等边三角形ABC 的边长为2，

30,ADC AC CD ︒∠=⊥，M 为边AB 上一动点，记DM CM λ=⋅，则λ的取值可以是

( )

A.-4

B.

154

C.5

D.10

9.已知向量(3,2),(2,1)==-a b ，若非零向量m n +a b 与2+a b 共线，其中,m n ∈R ，则

m

n

等于___________. 10.设D ，E 分别是ABC 的边AB ，BC 上的点，12AD AB =， 23

BE BC =，若

12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+=___________.

11.已知向量(1,1),||2==a b .若向量a 与b 的夹角为3π

4

，则()⋅+=a a b ____________.

12.设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)A B C -.

（1）若AB CD

=，求D点的坐标；

（2）设向量,

a b，若向量k-

==

AB BC

a b平行，求实数k的值.

a b与3

+

答案以及解析

1.答案：A

解析：()BE BA AE AB AD DE =+=-++=

2122

3333

AB AD DC AB AD AB AB AD -++=-++=-+=-+a b .故选A.

2.答案：B

解析：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则

1(1,1),1,,(1,1)2AC AM BD ⎛⎫

===- ⎪⎝⎭

，故11,12λμλμ=-=+，解得41,33λμ==，所以

5

3

λμ+=.故选B.

3.答案：A

解析：因为向量(1,0),(2,2),0m m ==-+⋅=a b a b ，所以20m -=，即2m =，则

22(1,0)(0,4)(2,4)-=-=-a b .故选A.

4.答案：B

解析：(1,2),(1,1),2(3,0)==-∴-=a b a b .由(,2),(2)m =-⊥c a b c ，得(2)30m -⋅==a b c ，解得0m =.故选B. 5.答案：C

解析：设a 与b 的夹角为θ，由0,2=（）b ，可知，||2=b ，则1

cos ||||2

θ⋅==a b a b .因为[0,π]θ∈，所以π3

θ=.故选C. 6.答案：B

解析：如图，因为12

AN NC =，所以3AC AN =，则229

3

AP mAB AC mAB AN =+=+.又因为B ，P ，N 三点共线，所以2

13

m +=，故13

m =.

7.答案：ABC