人教中考数学复习平行四边形专项易错题含答案解析

（算一算）如图 3，点 F 在这张矩形纸片的边 BC 上，将纸片折叠，使 FB 落在射线 FD 上，折痕为 GF ，点 A, B 分别落在点 A ， B 处，若 AG 7 ，求 BD 的长.
3
【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算： BD 3
【解析】 【分析】 （1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题； （2）【画一画】，如图 2 中，延长 BA 交 CE 的延长线由 G，作∠ BGC 的角平分线交 AD 于 M，交 BC 于 N，直线 MN 即为所求；
【算一算】首先求出 GD=9- 7 20 ，由矩形的性质得出 AD∥ BC，BC=AD=9，由平行线的 33
性质得出∠ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱGF=∠ BFG，由翻折不变性可知，∠ BFG=∠ DFG，证出∠ DFG=∠ DGF，由等腰三
角形的判定定理证出 DF=DG= 20 ，再由勾股定理求出 CF，可得 BF，再利用翻折不变性， 3
（3）连接 AC，若正方形的边长为 2 ，请直接写出△ ACC′的面积最大值．
【答案】（1）45°；（2）BP+DP＝ 2 AP，证明详见解析；（3） 2 ﹣1．
【解析】 【分析】
（1）证明∠ CDE＝∠ C'DE 和∠ ADF＝∠ C'DF，可得∠ FDP'＝ 1 ∠ ADC＝45°； 2
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△ BAP≌ △ DAP'（SAS），得 BP＝DP'，从而得 △ PAP'是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线 C'G，确定△ ACC′的面积中底边 AC 为定值 2，根据高的大小确定面积的大 小，当 C'在 BD 上时，C'G 最大，其△ ACC′的面积最大，并求此时的面积． 【详解】 （1）由对称得：CD＝C'D，∠ CDE＝∠ C'DE， 在正方形 ABCD 中，AD＝CD，∠ ADC＝90°，
∵ AG= 7 ，AD=9， 3
∴ GD=9- 7 20 ， 33
∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC，BC=AD=9， ∴ ∠ DGF=∠ BFG， 由翻折不变性可知，∠ BFG=∠ DFG， ∴ ∠ DFG=∠ DGF，
∴ DF=DG= 20 ， 3
∵ CD=AB=4，∠ C=90°，
∴ 在 Rt△ CDF 中，由勾股定理得：CF=
DF 2 CD2
20 2 3
42
16 3
，
∴ BF=BC-CF=9 16 11 ， 33
由翻折不变性可知，FB=FB′= 11 ， 3
∴ B′D=DF-FB′= 20 11 3 . 33
【点睛】 四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平 行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决
当 C'G 最大值，△ AC'C 的面积最大，
连接 BD，交 AC 于 O，当 C'在 BD 上时，C'G 最大，此时 G 与 O 重合，
∵ CD＝C'D＝
2
，OD＝
1 2
AC＝1，
∴ C'G＝ 2 ﹣1，
∴ S△ AC'C＝ 1 AC • CG 1 2( 2 1) 2 1 ．
2
2
【点睛】
本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判
∴ AD＝C'D， ∵ F 是 AC'的中点， ∴ DF⊥AC'，∠ ADF＝∠ C'DF，
∴ ∠ FDP＝∠ FDC'+∠ EDC'＝ 1 ∠ ADC＝45°； 2
（2）结论：BP+DP＝ 2 AP，
理由是：如图，作 AP'⊥AP 交 PD 的延长线于 P'，
∴ ∠ PAP'＝90°， 在正方形 ABCD 中，DA＝BA，∠ BAD＝90°， ∴ ∠ DAP'＝∠ BAP， 由（1）可知：∠ FDP＝45° ∵ ∠ DFP＝90° ∴ ∠ APD＝45°， ∴ ∠ P'＝45°， ∴ AP＝AP'， 在△ BAP 和△ DAP'中，
， ∴ △ ADG≌ △ CDG（SAS）， ∴ ∠ DAG=∠ DCG； ②AG⊥BE．理由如下： ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AB=DC，∠ BAD=∠ CDA=90°，
在△ ABE 和△ DCF 中
， ∴ △ ABE≌ △ DCF（SAS）， ∴ ∠ ABE=∠ DCF， ∵ ∠ DAG=∠ DCG， ∴ ∠ DAG=∠ ABE， ∵ ∠ DAG+∠ BAG=90°， ∴ ∠ ABE+∠ BAG=90°， ∴ ∠ AHB=90°， ∴ AG⊥BE； （2）由（1）可知 AG⊥BE． 如答图 1 所示，过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N，则四边形 OMHN 为矩形．
5．（1）如图 1，将矩形 ABCD 折叠，使 BC 落在对角线 BD 上，折痕为 BE ，点 C 落在 点 C 处，若∠ADB 42 ，则 DBE 的度数为______ .
（2）小明手中有一张矩形纸片 ABCD ， AB 4 ， AD 9 . （画一画）如图 2，点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上，将纸片折叠，使 AB 落在 CE 所在 直线上，折痕设为 MN （点 M ， N 分别在边 AD ， BC 上），利用直尺和圆规画出折痕 MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
∴ AE＝BE， ∴ DE 是 Rt△ ADB 斜边上的中线， ∴ DE＝AE＝BE， ∵ AE＝BD， ∴ DE＝BD＝BE， ∴ △ DBE 是等边三角形， ∴ ∠ EDB＝∠ DBE＝60°， ∵ AB∥ DC， ∴ ∠ DBC＝∠ DBE＝60°， ∴ ∠ EDF＝120°． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用 定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度
∴ ∠ MON=90°， 又∵ OA⊥OB， ∴ ∠ AON=∠ BOM． ∵ ∠ AON+∠ OAN=90°，∠ BOM+∠ OBM=90°， ∴ ∠ OAN=∠ OBM． 在△ AON 与△ BOM 中，
∴ △ AON≌ △ BOM（AAS）． ∴ OM=ON， ∴ 矩形 OMHN 为正方形， ∴ HO 平分∠ BHG． （3）将图形补充完整，如答图 2 示，∠ BHO=45°．
与（1）同理，可以证明 AG⊥BE． 过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N， 与（2）同理，可以证明△ AON≌ △ BOM， 可得 OMHN 为正方形，所以 HO 平分∠ BHG， ∴ ∠ BHO=45°． 考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．四边形 ABCD 是正方形，AC 与 BD，相交于点 O，点 E、F 是直线 AD 上两动点，且 AE=DF，CF 所在直线与对角线 BD 所在直线交于点 G，连接 AG，直线 AG 交 BE 于点 H． （1）如图 1，当点 E、F 在线段 AD 上时，①求证：∠ DAG=∠ DCG；②猜想 AG 与 BE 的位 置关系，并加以证明； （2）如图 2，在（1）条件下，连接 HO，试说明 HO 平分∠ BHG； （3）当点 E、F 运动到如图 3 所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接 写出∠ BHO 的度数．
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD⊥DB，垂足为点 D，将平行四边形 ABCD 折叠，使点 B 落在点 D 的位置，点 C 落在点 G 的位置，折痕为 EF，EF 交对角线 BD 于点 P． （1）连结 CG，请判断四边形 DBCG 的形状，并说明理由； （2）若 AE＝BD，求∠ EDF 的度数．
可知 FB′=FB，由此即可解决问题． 【详解】
（1）如图 1 所示：
∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴ ∠ ADB=∠ DBC=42°，
由翻折的性质可知，∠ DBE=∠ EBC= 1 ∠ DBC=21°， 2
故答案为 21． （2）【画一画】如图所示：
【算一算】 如 3 所示：
∵ AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF，DF＝DF ∴ △ ADF≌ △ CDF（SAS） ∴ AF＝CF， ∵ AB∥ CD，AE∥ CF ∴ ∠ ABE＝∠ CDF，∠ AEF＝∠ CFE ∴ ∠ AEB＝∠ CFD，∠ ABE＝∠ CDF，AB＝CD ∴ △ ABE≌ △ CDF（AAS） ∴ AE＝CF，且 AE∥ CF ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 又∵ AF＝CF， ∴ 四边形 AECF 是菱形 【点睛】 本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.
【答案】（1）四边形 BCGD 是矩形，理由详见解析；（2）∠ EDF＝120°． 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可； （2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可． 【详解】 解：（1）四边形 BCGD 是矩形，理由如下， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
2．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B、C 重合），连接 DE、点 C 关于直线 DE 的对称点为 C′，连接 AC′并延长交直线 DE 于点 P，F 是 AC′的中点，连接 DF． （1）求∠ FDP 的度数； （2）连接 BP，请用等式表示 AP、BP、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；
∴ BC∥ AD，即 BC∥ DG， 由折叠可知，BC＝DG， ∴ 四边形 BCGD 是平行四边形， ∵ AD⊥BD， ∴ ∠ CBD＝90°， ∴ 四边形 BCGD 是矩形； （2）由折叠可知：EF 垂直平分 BD， ∴ BD⊥EF，DP＝BP， ∵ AD⊥BD， ∴ EF∥ AD∥ BC，
∴ AE PD 1 BE BP
BA DA ∵ BAP DAP ，
AP AP
∴ △ BAP≌ △ DAP'（SAS）， ∴ BP＝DP'，
∴ DP+BP＝PP'＝ 2 AP； （3）如图，过 C'作 C'G⊥AC 于 G，则 S△ AC'C＝ 1 AC•C'G，
2
Rt△ ABC 中，AB＝BC＝ 2 ，
∴ AC＝ ( 2)2 ( 2)2 2 ，即 AC 为定值，
定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．已知：在菱形 ABCD 中，E，F 是 BD 上的两点，且 AE∥ CF． 求证：四边形 AECF 是菱形．
【答案】见解析 【解析】 【分析】 由菱形的性质可得 AB∥ CD，AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF，由“SAS”可证△ ADF≌ △ CDF，可得 AF＝CF，由△ ABE≌ △ CDF，可得 AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形 AECF 是菱形． 【详解】 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB∥ CD，AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF，
【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3） ∠ BHO=45°． 【解析】 试题分析：（1）①根据正方形的性质得 DA=DC，∠ ADB=∠ CDB=45°，则可根据“SAS”证明 △ ADG≌ △ CDG，所以∠ DAG=∠ DCG；②根据正方形的性质得 AB=DC， ∠ BAD=∠ CDA=90°，根据“SAS”证明△ ABE≌ △ DCF，则∠ ABE=∠ DCF，由于∠ DAG=∠ DCG， 所以∠ DAG=∠ ABE，然后利用∠ DAG+∠ BAG=90°得到∠ ABE+∠ BAG=90°，于是可判断 AG⊥BE； （2）如答图 1 所示，过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N，证明△ AON≌ △ BOM， 可得四边形 OMHN 为正方形，因此 HO 平分∠ BHG 结论成立； （3）如答图 2 所示，与（1）同理，可以证明 AG⊥BE；过点 O 作 OM⊥BE 于点 M， ON⊥AG 于点 N，构造全等三角形△ AON≌ △ BOM，从而证明 OMHN 为正方形，所以 HO 平分∠ BHG，即∠ BHO=45°． 试题解析：（1）①∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ DA=DC，∠ ADB=∠ CDB=45°， 在△ ADG 和△ CDG 中