2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)+答案解析

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知关于x 的方程有一个根为
，则另一个根为( )
A. 5
B.
C. 2
D.
2.数据2，6，5，0，1，6，8的中位数和众数分别是( )A. 0和6 B. 0和8
C. 5和8
D. 5和6
3.已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九年级（上）月
考数学试卷（12月份）
( )
A. 最小值
B. 最大值
C. 最小值2
D. 最大值2
4.是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分，则正确结论是( )
A. B. C. D.
5.下列命题中，正确的个数是( )
三点确定一个圆； 平分弦的直径垂直于弦；
相等的圆心角所对的弧相等； 正五边形是轴对称图形．A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.当时，函数
的最小值为
，最大值为1，则m 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

7.抛物线的顶点坐标是__________.8.一组数据：5、
、3、4、6、
，这组数据的极差是__________
.
9.若二次函数的图象经过，，三点，则、、大小关系是
__________用“<”号连接
10.圆锥底面圆的半径为4cm，其侧面展开图的圆心角，则圆锥母线长为__________
11.把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得图象对应的二次函数解析式为__________.
12.二次函数的部分对应值如下表：
x…0135…
y…707…
则当时对应的函数值__________.
13.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
__________.
14.如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的
关系是，则此运动员将铅球推出的距离是__________
15.已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为
，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③
；④；⑤当时，y随x的增大而增大，你认为其中正确
的是__________填序号
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，
的半径为1，点Q在上，连接PQ，若PQ与相切．则线段
PQ的最小值为__________.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。

17.解方程：
；
用配方法
四、解答题：本题共9小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
若方程有两个实数根，求m的取值范围；
在中，设，是该方程的两个根，且，求m的值．
19.本小题8分
某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程．甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
次数第一次第二次第三次第四次第五次
成绩分353937a40
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
分
根据上述信息，完成下列问题：
的值是__________；
根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差__________填“变大”“变小”或“不变”
20.本小题8分
已知二次函数的图象过点，
求二次函数的表达式；
求二次函数图象的顶点及与x轴的交点坐标；
在下面的直角坐标系中画出该函数的图象，借助图象，直接写出若，则y的取值范围是
______.
动点P在此抛物线上滑动，若满足，求此时P点的坐标．
21.本小题8分
疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．
甲同学在A入口处测量体温的概率是__________；
求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程22.本小题8分
已知：矩形ABCD，，
用直尺和圆规作，使过B、C两点，且与AD相切不写作法，保留作图痕迹；
求中所作圆的半径．
23.本小题8分
某商店经销一批季节性小家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加1元，销售量将减少10台．
若商店销售该家电获利2000元，那么每台家电定价应增加多少元？
求每台家电定价为多少元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润为多少元？
24.本小题8分
如图，在中，，以AC为直径的交AB于点D，点E为BC的中点，连接
求证：DE为的切线；
若，，求阴影部分的面积．
25.本小题8分
如图，一个矩形养鸡场，一边靠墙墙长为a米，另外三边用长为48米的篱笆围成．
①若，求养鸡场的面积的最大值；②若，求养鸡场的面积的最大值．
若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为270平方米，求a的值．
26.本小题8分
已知二次函数：
该二次函数图象的对称轴是__________，它恒经过两个定点的坐标为__________；
在直角坐标系中，点、点，若此二次函数的图象与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
若该二次函数的最大值为
①求二次函数的表达式；
②当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，根据关于x的方程有一个根为，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
解：关于x的方程有一个根为，设另一个根为m，
根据根与系数关系得，，
解得，，
故选
2.【答案】D
【解析】解：从小到大排列此数据为：0，1，2，5，6，6，8数据，6出现了2次最多为众数，
处在中间位置的数为5，故中位数为
所以本题这组数据的中位数是5，众数是
故选：
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那
个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大小值有三种方法：第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
根据抛物线开口向下和其顶点坐标为，可直接做出判断．
【解答】
解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为，
所以该抛物线有最大值
故选
4.【答案】B
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
利用角平分线的定义得到，再根据圆周角定理得到，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到
解：平分，
，
，
故选：
5.【答案】A
【解析】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，错误；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，错误；
相等的圆心角所对的弧相等，错误；
正五边形是轴对称图形，正确．
故选
利用确定圆的条件、垂径定理、等弧的定义及正五边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、等弧的定义及正五边形的性质，难度不大．
6.【答案】C
【解析】解：，
该函数的对称轴是直线，当时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
当时，此函数的最小值为，最大值为1，当时，，
，
故选：
根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7.【答案】
【解析】解：，
抛物线的顶点坐标是，
故答案为：
已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为，此题还考查了配方法求顶点式．
8.【答案】14
【解析】解：由题意可知，极差是
故答案为：
根据极差的定义，用一组数据中的最大值减去最小值即可求得．
本题考查了极差，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
9.【答案】
【解析】解：的对称轴为直线，
根据二次函数图象的对称性可知，中，，
，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
因为，于是
故答案为：
根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判
断，根据二次函数图象的对称性可判断；于是
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
10.【答案】12
【解析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可．
解：圆锥的底面周长，
侧面展开图的弧长为，
则圆锥母线长，
故答案为
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
代入原抛物线方程得：，
整理得：
由于抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则，，代入原抛物线方程即可得平移后的方程．
本题考查了二次函数图象的几何变换，重点是找出平移变换的关系．可利用顶点式解答
12.【答案】
【解析】解：观察表格可知，当或5时，，
根据二次函数图象的对称性，
，是抛物线上两对称点，
对称轴为直线，顶点，
根据对称性，与时，函数值相等，都是
由表格可知，，是抛物线上两对称点，可求对称轴，再利用对称性求出横坐标为2的对称点即可．
观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，利用二次函数的对称性解答．13.【答案】且
【解析】解：根据题意得且，
解得且
故答案为且
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．14.【答案】12
【解析】解：，
当时，，
解得，，
此运动员将铅球推出的距离是12m，
故答案为：
根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的
交点的横坐标的长度．
15.【答案】①②④
【解析】解：①抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，抛物线与x轴的另一交点坐标为，结论①正确；
②抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点，
，，
，，
，结论②正确；
③当时，y值为正，
，结论③错误；
④由图象得二次函数与x轴交点有两个知，，即，结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案是：①②④．
①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；
②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出，即，结论②正确；
③根据抛物线的对称性结合当时，即可得出，结论③错误；
④根据抛物线与x轴的交点个数判断结论④正确；
⑤观察函数图象可知，当时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上即可得出结论．
主要考查抛物线与x轴的交点，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接OP，PQ，
点P的坐标为，
，
与相切．
，
，
当时，PQ有最小值为
故答案为：
由两点间的距离公式可得，由切线的性质可求，利用勾股定理和二次函数的性质可求解．
本题考查了切线的性质，勾股定理，利用参数m表示PQ的长是解题的关键．
17.【答案】【小题1】
解：，
，
，
或，
，；
【小题2】
，
，
，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，
【解析】
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
移项，方程两边除以2，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
18.【答案】【小题1】
解：根据题意得，
解得，
即m的取值范围为；
【小题2】
根据根与系数的关系得，，
，
，
解得符合，
即m的值为
【解析】
根据该方程有两个实数根，结合根的判别式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可；
根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于m 的一元一次方程，解之即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识，正确掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
19.【答案】【小题1】
39
【小题2】
解：乙的体育成绩更好，理由是：
，
，
而，，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以乙的体育成绩更好．
【小题3】
变小
【解析】
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：39；
根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得a的值；
利用方差作比较可得结论；
因为第六次模拟测试成绩为38分，前5次测试成绩的平均数为38分，所以甲6次模拟测试成绩的方差变小．
故答案为：变小．
根据方差的意义可得．
本题考查了平均数、方差的知识．解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式．
20.【答案】【小题1】
解：二次函数的图象过点，
，
解得：，
二次函数的表达式为；
【小题2】
，
顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
二次函数图象与x轴的交点坐标为和；
【小题3】
画出函数图象如图：
由图象可知，若，则y的取值范围是，故答案为：；
【小题4】
，，
轴，，
设点P的坐标为，
①当点P在AB下方抛物线上时，点P到AB的距离为，
，
解得：，
，
解得：，
点，；
②当点P在AB下方抛物线上时，点P到AB的距离为，
，
，
解得：，
，
解得：，
点，
综上，点P坐标为，，
【解析】
利用待定系数法求得函数解析式即可；
将二次函数解析式转化为顶点式方程，可以直接的顶点坐标，并令，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；
根据顶点坐标和对称轴方程画出图形即可；根据图象写出y的取值范围即可；
设点，分点P在AB下方的抛物线上和点P在AB上方的抛物线上两种情况，根据，
，得到点P到AB的距离为1，求出n，再代入，求m即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】【小题1】
【小题2】
根据题意画图如下：
由图可知共有9种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有3种，
则甲、乙两位同学在同一入口处测量体温
【解析】
解：学校有A、B、C三个大门入口，
甲同学在A入口处测量体温的概率是；
故答案为：；
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；
【小题2】
连接OB，由知：，，，
四边形ABCD是矩形，
，
，
四边形ABME是矩形，
，
设半径为R，则，，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得
【解析】
作BC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点M，连接BE，作BE的垂直平分线交EM于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可；
结合根据矩形的性质可以证明四边形ABME是矩形，可得，设半径为R，则
，，根据勾股定理可得R的长．
本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
23.【答案】【小题1】
解：设每台定价增加a元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：舍去，
答：商店销售该家电获利2000元，那么每台家电定价应增加8元；
【小题2】
设每台家电定价为x元，利润为w元，
由题意得：
，
，
当时，；
答：当定价为55元时，获得的利润最大，最大利润是2250元．
【解析】
设每台定价增加a元，根据利润=单台利润销售数量即可列出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论；
设每台家电定价为x元，利润为w元，根据每个小家电利润销售的个数=总利润列出函数，运用配方法解决问题．
本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式和一元二次方程．24.【答案】【小题1】
证明：如图，连接OD，
是的直径，
，
，
为BC的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
经过半径OD的端点D，且，
是的切线．
【小题2】
，，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
阴影部分的面积为
【解析】
先由AC是的直径证明，则，由E为BC的中点得
，则，可证明，，则
，则，即可证明DE是
的切线；
题中的条件是，，，则，可由勾股定理求出AC的长，再求的面积，可证明，求出，再由圆周角定理求得
，而，可求出扇形COD的面积，则可求出阴影部分的面积．
此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、扇形面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】【小题1】
设平行于墙面的矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知，矩形的面积为S，
则，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，S随x的增大而增大，当时，S随x的增大而减小；
①时，即；
当时，S有最大值为288平方米；
②时，即，
当时，面积的最大值为280平方米，
【小题2】
令得：，
解得：或，
由可知，当时，，
由知，此时矩形最大值在时取得，面积最大值为288平方米，故舍去．
【解析】
①设平行于墙面的矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知，设矩形的面积为S，根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后在时求最值；
②与①相同的方法，在时计算求得相应的最大值即可．
令得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由的结论可得答案．
本题考查了二次函数与一元二次方程在几何图形问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26.【答案】【小题1】
直线
、
【小题2】
如图1，当时，
，
，
解得；
观察图象可知，当时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
如图2，当时，
抛物线经过时，，
抛物线经过点时，，
观察图象可知，当时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
综上所述，满足条件的a的值为或；
【小题3】
①二次函数：图象的对称轴为直线，最大值为4，
二次函数为，即，
，解得，
二次函数的表达式为；
②当时，对t 进行分类讨论，
当时，即，y随着x的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
，解得不合题意，舍去，
当时，顶点的横坐标在取值范围内，
，
当时，在时，，
，
，解得不合题意，舍去；
当时，在时，，
，
，解得不合题意，舍去，
当时，y随着x的增大而减小，
当时，，
当时，，
，
，解得不合题意，舍去，
综上所述，或
【解析】
解：二次函数：的对称轴为直线；
当时，则，即，
解得或，
它恒经过两个定点的坐标为、；
故答案为：直线，、；
根据对称轴公式即可求得对称轴，令，则解得或，即可得到结论；
分两种情形：如图1中，当时，抛物线顶点在x轴上时，，如图2中，当时，抛物线经
过时，，经过点时，，观察图象，利用图象法即可解决问题．
①根据题意得到顶点式，化成一般式，即可得出，解
得，即可得出；②分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据得到关于t 的方程，解方程即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．。