【数学】安徽省合肥市第一六八中学学年高二上学期期末考试宏志班数学理试题含Word版含解析

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【关键字】数学
合肥一六八中学 2017-2018 学年度第一学期
高二年级数学期末考试试题（理）
命题人： 审题人：
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A. 对任意，使得 B. 存在，使得
C. 存在，都有 D. 不存在，使得
【答案】B
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”，故选
B.
3. 圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则它的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，
即，宽为母线长为，所以它的面积为,故选 C.
4. 设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列三个命题：①若，则；②若，是
在内的射影，，则；③若则. 其中真命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】试题分析：由表示三条不同的直线，表示三个不同的平面知：在①中，若，则平面
成角，所以，故①正确；在 ②中，若是在内的射影，，则由三垂线定理得，故②正确； 对
于③，，则错误，如墙角的三个面的关系， 故③错误，真命题的个数为，故选 C.
考点：空间直线与平面之间的关系.
5. 直线与直线笔直，则直线在轴上的截距是( )
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4


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【答案】B 【解析】直线与直线笔直，直线令 ，可得 ，直线在轴上的截距是，故选 B. 6. 已知平面及平面同一侧外的不共线三 点，则“三点到平面的距离都相等”是“平面平面”的 （） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要件 【答案】C 【解析】由“平面”可以得到三点到平面的距离相等,若不共线的三点到平面的距离相等，因为 在平面 的同侧，可得 ， ，根据面面平行的判定定理可得“平面”,所以 , 平面及平面同一侧外 的不共线三 点，则“三点到平面的距离都相等”是“平面平面”的充要条件，故选 C. 7. 空间四边形中，,,,点在上，且，为中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，连接 为中点，在中，可得，由，则，那么．故本题答案选． 点睛：进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基 本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的 向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决． 8. 设点是曲线上任意一点，其坐标满足，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 点是曲线，即 上任意一点，其坐标也满足，，表示椭圆 内部部分，可行域如图，可得，即， 则 取值范围为，故选 D. 9. 已知椭圆和点，，若椭圆的某弦的中点在线段上，且此弦所在直线的斜率为，则的取值范围 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：设动弦端点，中点为，则有且有，则两式相减化为， 即，，中点在上，，可得 ，解得，故选 A.


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考点：椭圆的方程及几何性质. 10. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的 表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 .................. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力， 属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将 其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”， 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
11. 已知椭圆
内有一点
是其左、右焦点， 为椭圆上的动点，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
【答案】A
【解析】
D ，故
，当且仅当
共线时取得最小值，故选 A.
12. 过抛物线
A.
B.
【答案】B
的焦点 的直线交抛物线于点
则此抛物线的方程为（ ）
C.
D.
交其准线于点 若
【解析】
如图，分别过点 作准线的垂线，分别交准线于点 ，设
，则由已知得
，


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由定义得
，故
，在直角三角形
，从而得
中， ，求得
，因此抛物线方程为
，故选 B.
【 方法点睛】本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线的定义和几何性质，属于难题. 与
焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点
的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)
将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题顺利得到解决.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 若向量
________.
【答案】
【解析】
， 可设
，又
，
，
或
，故答案为
或
.
14. 三棱锥 则异面直线
中，
，
所成的角的余弦值为________.
，点 分别是
的中点，
【答案】 .
【解析】如下图，连结 ，取 中点 ，连结 ， ，则可知
即为异面直
线 ， 所成角（或其补角）易得
，
，
，
∴ 考点：异面直线的夹角.
视频 15. 设 ， 分别为双曲线
，即异面直线 ， 所成角的余弦值为 . 的左、右焦点， 为双曲线的左顶点，以 ，
为直径的圆交双曲线某条渐近线于 ， 两点，且满足 为________.
，则该双曲线的离心率


【答案】 【解析】
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如图， ，由已知条件知圆的方程为
由
，得
，
，又
，
，
，
，即双曲线的离心率为 ，故答案为 .
【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、离心率及简单性质，属于难题. 离心率的求解
在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，
从而求出;②构造 的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据
圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题平面向量夹角的余弦公式，建立关于焦半径和焦
距的关系．从而找出 之间的关系，求出离心率．
16. 下列四个命题：（1）已知向量 是空间的一组基底，则向量
也是空间的一组
基底；（2） 在正方体
中，若点 在
内，且
，
则
的值为 1；（3） 圆
上到直线
的距离等于 1 的点有 2
个；（4）方程
表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.
【答案】(1)(2)(4)
【解析】（1）已知向量 是空间的一组基底，即向量
所以向量
是空间的一个基底，正确；（2）
不共面，则
也不共面，
，
，


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，正确；（3）由圆的方程，得到圆心 坐标为 ，半径为 ，
则圆心 到直线
的距离为
， 圆上的点到直线
的距离为 的点有 个，错误；（4）由题意
可化为
或
，
不成立，
方程
表
示的曲线是一条直线，正确，故答案为(1)(2)(4). 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程步骤）
17. 已知 ，设命题 ：指数函数
≠ 在 上单调递增.命题 ：函数
的定义域为 ．若“ ”为假，“ ”为真，求的取值范围．
【答案】a 的取值范围为[0，1]∪[4，＋∞).
【解析】试题分析：化简命题 可得 ，化简命题 可得
，由 为真命题， 为
假命题，可得 一真一假，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别
解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取值范围.
试题解析：由命题 p，得 a＞1，对于命题 q，即使得 x∈R，ax2－ax＋1＞0 恒成立
若 a＞0，△＝a2－4a＜0，即 0＜a＜4
若 a＝0，1＞0 恒成立，满足题意，所以 0≤a＜4
由题意知 p 与 q 一真一假，
当 p 真 q 假时 ，
所以 a≥4．
当 p 假 q 真时，，
即 0≤a≤1．
综上可知，a 的取值范围为[0，1]∪[4，＋∞)．
18. 已知直线过坐标原点 ，圆 的方程为
．
（1）当直线的斜率为 时，求与圆 相交所得的弦长；
（2）设直线与圆 交于两点 ，且 为 的中点，求直线的方程．
【答案】(1) ;(2) 直线 l 的方程为 y=x 或 y=﹣x.
【解析】试题分析：(1) 由已知，直线的方程为
，圆 圆心为 ，半径为 ，求出圆
心到直线的距离，根据勾股定理可求与圆 相交所得的弦长；（2）设直线与圆 交于两点 ，


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且 为 的中点，设
，则
，将 点的坐标代入椭圆方程求出 的坐标，
即可求直线的方程. 试题解析：（1）由已知，直线 l 的方程为 y= x，圆 C 圆心为（0，3），半径为 ，
所以，圆心到直线 l 的距离为 = ．…
所以，所求弦长为 2
=2 ．
（2） 设 A（x1，y1），因为 A 为 OB 的中点，则 B（2x1，2y1）．
又 A，B 在圆 C 上，
所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．
解得 y1=1，x1=±1，
即 A（1，1）或 A（﹣1，1）
所以，直线 l 的方程为 y=x 或 y=﹣x．
19. 如图，四棱锥
中，底面
为梯形， 底面。

过 作一个平面 使得
（1）求平面 将四棱锥
分成两部分几何体的体积之比.
， .
（2）若平面 与平面 之间的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1) 平面 将四棱锥
分成两部分几何体的体积之比为 ;(2)
.
【解析】试题分析：（1）设平面 与直线
分别交于 ，因为 平面
，可得 分别是
的中点，根据棱锥的体积公式可得
，所以
，从而可得平面 将四棱锥
分成两部分几何体的体
积之比；（2）因为
两两垂直，以
为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，
分别求出直线 的方向向量以及平面 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得直
线 与平面 所成角的正弦值.
试题解析：（1）记平面 与直线
.
因为
，所以
.
由已知条件易知
，又因
.
所以
可得


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所以
.
即平面 将四棱锥
分成两部分几何体的体积之比为 .
（2）建立直角坐标系，记 则
因为平面 的法向量
设
得
，
取 得平面
.
由条件易知点 到平面 距离
.即
.
所以
.直线 与平面 所成角满足
【方法点晴】本题主要考查棱锥的体积公式以及利用空间向量线面角，属于难题.空间向量解 答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应 点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积 为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出 相应的角和距离.
20. 已知动点 到点
的距离比它到直线
的距离小 ，记动点 的轨迹为 .若以
为圆心，r 为半径（
）作圆，分别交 x 轴于 A，B 两点，连结并延长 SA、SB，分
别交曲线 于 C、D 两点。

(1)求曲线 的方程.
(2)求证：直线 CD 的斜率为定值；
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】试题分析：（1）动点 到点
的距离比它到直线
的距离小 ，可得动点 到
点
的距离与它到直线
的距离相等，由定义可得曲线 方程为 ；（2）设直线
的方程为
，与抛物线方程
联立得：可得
，由
，可得


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直线 的斜率为 ，
,利用斜率公式可得结果.
试题解析：（1）动点 到点
的距离比它到直线
的距离小 ，可得动点 到点
的距离与它到直线
的距离相等，由定义可得曲线 方程为 .
(2)设
，
与抛物线方程
联立得：
，
由题意有
，
.
21. 如图，已知点 分别是 Δ 的边
的中点，连接 .现将
沿 折叠至
Δ 的位置,连接
.记平面
与平面
的交线为，二面角
大小为
. （1）证明：
（2）证明：
（3）求平面 与平面
所成锐二面角大小.
【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）
.
【解析】试题分析：（1）由 分别是 Δ 的边
的中点，根据三角形中位线定理可得
，由线面平行的判定定理可得 平面 ，再利用线面平行的性质定理可得结论；
（2）由三角形中位线定理以可判定四边形
平行四边形，进而可得四边形
为菱形，
于是可得
，
,
，由线面垂直的判定定理可得 平
面 ，从而根据面面垂直的判定定理可得结论；（3）作
于 交 于 ,可知 是
的中点，折叠后角
是二面角
的平面角，可证明等腰
的底角
是平面 与平面 所成锐二面角的平面角，进而可得结果.
试题解析：（1）证明：因为 分别是 Δ 的边
的中点，所以


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的交线为， 又 （2）证明：记
经过 的平面 与平面
,
.
且
, 四边形
又
,
.
,
则得
.
又
,
(3) 过
易知折叠后角
是二面角
. ,易知 是 的中点，
的平面角.
,
则可知
.
.易知
等腰
的底角角
是
所成锐二面角的平面角，
易知角
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、二面角的求法，属 于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法 在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线 面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即 两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
22. 已知圆
（其中 为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，
得到曲线 。

（1）求曲线 的方程； （2）若点 为曲线 上一点，过点 作曲线 的切线交圆 于不同的两点
（其中 在 的右


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侧），已知点。

求四边形
面积的最大值。

【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：（1）曲线 上任意一点 ，则 为
曲线 的方程为
，化简可得标准方程；（2），设
上的点，从而可得 ，由
，根据判别式为零可得
，根据韦达定
理、弦长公式以及三角形面积公式可得
，同理可得
，则
基本不等式可得四边形
面积的最大值.
试题解析：（1）设曲线 上任意一点 ，则 为
， 曲线 （2）易知直线 的斜率 存在，设。

，
因为
则
，
，即 ,设点 到直线
，
，利用 上的点，
， ， 的距离为 ，
，
由
，


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，
而
，
，易知 ，
， ，
，
，
，。

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