实物粒子的波粒二象性德布罗意波
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热平衡的中子,它的平均动能：
k
3 kT 2
1 mv2 2
h
h
0
1.46 A
mv 3mkT
ZP33,32B 例7 当电子的德布罗意波长与可见光波长
（库）
（λ=5500 A )相同时，求它的动能是多少电子伏特？
解
Ek
p2 2me
h2
5.0 106 eV
2me
作业ZP44,6，
ZP43-44,1-6 ZP38,1-7
p mv 2meU U
若U 150 V, 0.1nm U 1.5104V, 0.01nm
应用：电子显微 镜（波长10-2～ 10-3nm).
（库）
ZP例392,7 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.4A ,则U约为
(A) 150V (B) 330V (C) 630V (D) 9
电子束透过多晶铝箔的衍射
电子的衍射图样与X射线衍射结果非常相似。
电子束晶体（铝箔） X射线晶体（铝箔）
衍射花样铝箔
的衍射花样
戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享
1937年的物理学诺贝尔奖。
1961年琼森做了电子的单缝、双缝、三缝和四 缝衍射实验。
单缝
双缝
三缝
四缝
在电子的波动性被证实之后,实验中逐渐发现了中子、
用电子波代替可见光制成的电子显微镜能具有极 高的分辨本领。
1932年德国人鲁 斯卡成功研制了 电子显微镜
附、德布罗意假设
一个能量为E ，动量为P 的实物粒子，
同时具有波动性，波长和频率分别是
h mv
mc2 h
爱因斯坦 --德布罗意 关系式
与实物粒子相联系的波称为物质波， 或德布罗意波.
2）自由粒子的德布罗意波可用平面波来描述。
p2 2m
由上面计算 pp= p ，所以 Ekp:Ek= m[思:m考p=]4:1
若动能相同，则 pp:p= ? p : =?
例6 ZP32,30
（库）
例6 已知中子的质量 m=1.67×10-27㎏，当中子
的动能等于温度为T=300K的热平衡中子气体的平
均动能时，其德布罗意波长为多少？
解 : 热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于
质子、中性原子都具有衍射现象。
结论:自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止 质量是否为零，都具有波粒二象性。
三、应用举例——电子显微镜
光学仪器的分辨本领和所使用的射波波长 成反比。
当加速电场很大时,电子的得布罗意波长
可以比可见光波长短得多,如U为1.5万伏时,电子 的波长为0.01nm,比可见光短5万分之一. 因此利
解 1.22 nm
U
U
1.22 10
2
V=930.25V
940V
选(D) 940V
例3 乒乓球的质量为2.0g, 速度为5m/s, 求：德布
罗意波长 ？
解 p mv
由德布罗意公式
h m0v
6.63 1034 2.0 103 5
=6.631032 m 6.631023 nm
指出：因为普朗克常量h 极小，所以宏观物体相应
05年ZP39,9 （库）
例8 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，则
粒子物质波的波长与速度v有如下关系：
(A)
(B)
(C)
(D)
解：
(C)
[思考] 若作低速运动，则 与v的关系？
二、实物粒子波动性的验证
P220倒数第2段
实物粒子的波动性，当时是作为一个假设提出来 的，直到1927年戴维孙和革末用电子衍射实验证实了 德布罗意假设。
d sin
2
2a cos 2
根据布拉格公式,加强的条件： 2d cos
sin
d sin k
d sin 2 2
只有当两相邻晶面电子束反射线之间的波程差
d sin k 时,才出现衍射极大.
电子经加速电势差为U的电场加速后，在非
相对论下有
1.22 nm
U
代入布拉格公式得出：
对镍来说
,把
值代入上式得：
上式中k只能取1, 极大值出现在50.90 的方向，与实验符合的很好， 这表明电子具有波动性，而且德布罗意波长公式 是正确的。
戴维逊发现电子在晶体中的衍射现象,荣获 1937年诺贝尔物理学奖.
2. G. P.汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
实验研究了高速运动的电子束穿过晶体后产 生的衍射现象.
为0.01nm,比可见光短5万分之一. 因此利用电子波 代替可见光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本 领。
1932年德国人鲁 斯卡成功研制了 电子显微镜
附：实物粒子波动性的验证
德布罗意在1924年举行博士论文答辩时，当 时著名科学家佩林问他：“这些波怎么用实验来 证明呢？”德布罗意答道：“用晶体对电子衍射 实验可以做到。
1 mv2 eU 2
h h h h 1.22 nm
P mv 2mEk 2meU U
（题库）
例1 设电子在电场中由静止加速,经过电压U加
速后获得动能，若不考虑相对论效应，电子的德
布罗意波长为多少？ 解：若不考虑相对论效应，有
由德布罗意公式，可得
1 mv2 eU 2
h h h 1.22 nm
德布罗意
1924年11月向巴黎大学理学院提交了博 士论文《量子理论的研究》,把波-粒二象性推 广到所有的物质粒子.
After the end of World War Ⅰ, I gave a great deal of thought to the theory of quanta and to the wave-particle dualism……It was then that I had a sudden inspiration . Einstein’s wave-particle dualism was absolutely general phenomenon extending to all physical nature. Louis de Broglie 《New Perspectives in Physics》
D
P
K
U
M
电子束透过多晶铝箔的衍射
电子的衍射图样与X射线衍射结果非常相似。
电子束晶体（铝箔） X射线晶体（铝箔）
衍射花样铝箔
的衍射花样
戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享
1937年的物理学诺贝尔奖。
1961年琼森做了电子的单缝、双缝、三缝和四 缝衍射实验。
单缝
双缝
三缝
四缝
在电子的波动性被证实之后,实验中逐渐发现了
• 自然界在许多方面都是明显对称的。
• 既然光具有波粒二象性，那么实物粒子，如电 子，是否也具有波粒二象性？
1924年，德布罗意大胆地提出实物粒子也具
有波粒二象性。
一、物质波假说
P219，第1段倒数1，2行，式 17.1a 17.1b
• 物质波假说：实物粒子具有波动性.
指静止质量不为零的粒子。如：电子、质子、介子、中子、分子、原子等。
电子流强度I 有极大值，由 此计算所得加速电势差U的各
个量值和实验相符，因而证 实了德布罗意的假设的正确 性。
戴维逊发现电
子在晶体中的衍射
现象,荣获1937年诺
贝尔物理学奖.
C.J.Davison
2. G. P.汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
实验研究了高速运动的电子束穿过晶体后产 生的衍射现象.
1.戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
实验研究了慢电子在单晶体上反射时产生的
电子衍射现象.
1）实验装置
D
法线
B
G
K
M
U
2）实验结果
I与U的关系如图所示，可知， 单U调增加时，I 不是单调变化而是有一系列极大值，这说明电子
从晶体上沿 角方向反射时，对电压U的值有选择
性，即遵守反射定律的电子对电压有选择性。
G.P.Thomsom
1.戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年） 实验研究了慢电子在单晶体上反射时产生的
电子衍射现象.
θ θ
实验结果:当加速电压U=54V时,沿θ=500的散射
方向探测到电子束的强度出现一个明显的极大.
戴维孙 — 革末实验中,电子在镍晶体表面
的散射照片与X射线衍射照片
电子束的镍晶体散射照片 石英的X射线衍射照片
2) 德布罗意波长
h h 其中 m
P mv 讨论：a）对非相对论粒子(v<<c），Ek
m0
1 v2 / 1 mv2 2
c2 p2
2m
h h h
P mv 2mEk
b)若电子由静止经电压U加速，当电子速率 v<<c
时，由
1 mv2 eU
mv 2meU
2
所以德布罗意波长
应用：电子显微
h h h 1.22 nm 镜（波长10-2～
1927年,戴维逊和革末用电子束垂直投射到镍 单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意 关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的 存在。
1927年，G.P.汤姆逊将电子束和中子束射向
多晶箔片，在屏上得到了圆环形的衍射图样,电
子及中子的这种衍射图样与X射线衍射结果非常
相似。
C.J.Davison
• 德布罗意关系式
一个能量为E ，动量为p 的实物粒子，相
当于一频率 和波长 的平面波，它们之间的关
系为：
E
或
p
h
n0
k
式中， 2 角频率； n0 为粒子运动方向的单位矢量
k
2
n0 波矢量；
h
2
1.0545881034 J s
德布罗意因这一开创性工作获1929年诺贝尔物理学奖。
说明：1）与实物粒子相联系的波，称为德布罗意波
（物质波）；其波长称为德布罗意波长。 P219，17.2a下第2行
2) 德布罗意波长 h h
P mv
讨论：a)对非相对论粒子(v<<c），Ek h h h P mv 2mEk
m m0 1 v2 /
1 mv2 p2
2
2m
P220，表下面起
c
2
b)电子由静止经电压U加速，当电子速度不太大时，
结论:1) 散射电子束在某些方向上特别强.
2) 电子束在镍晶体表面上的散射图像，和X射
线被单晶体衍射的劳厄斑非常类似.
利用X射线衍射对晶体的衍射来分析
设晶格常数为d,散射
平面间距a,则
d
.. . 2. ..
2
. .2 .. ..
.
a.
d
si.n
2
.
. 两相.邻晶面. 电子.束反
. 射线. 之间的. 波程.差
(D) 1/eRBh
解：圆周运动：
德布罗意波长
(A)
[思考] 若考虑相对论效应，结果？
（库）
例5 低速运动的质子和粒子, 若它们的德布罗
意波长相同, 则它们的动量之比pp:p=
;
动能之比Ekp:Ek=
.
解： ⑴ 由德布罗意波长 =h/p
因 p= ，则得到 pp:p = 1:1
⑵在粒子运动速度不太大时，Ek
中子、质子、中性原子都具有衍射现象。
结论:自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止 质量是否为零，都具有波粒二象性。
P220倒数第1段起
三、应用举例——电子显微镜
R D
1.22
光学仪器的分辨本领和所使用的射波波长成反比。
当加速电场很大时,电子的德布罗意波长可以
比可见光波长短得多,如U为1.5万伏时,电子的波长
3)实验原理 我们知道，X射线在晶体体上反射加强时，有下列规 律，即布拉格公式
2d sin k
（k =1,2,…）
只有当两相邻晶面电子束反射线之间的波程差
2d sin k 时,才出现衍射极大.
电子经加速电势差为U的电场加速后，在非相
对论下有 1.22 nm
U
代入布拉格公式得出：
即加速电压满足此式时，
的物质波波长太短,在通常情况下不会显示其波动 性，这也是物质波存在，而长期未被发现的原因。 （自由粒子的德布罗意波长P220表17—1）
例4ZP29,8
例4 若粒子（电量为2e)在磁感应强度为B的均匀
磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则粒子的德布
罗意波长是
(A) h/2eRB
(B) h/eRB
(C) 1/2eRBh
P mv 2meU U
10-3nm).
感谢下 载
第十七章 量子力学基础
• 量子力学是描述微观粒子运动规律的学科。 它是现代物理学的理论支柱之一，被广泛地应 用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多 领域。
• 本章主要介绍量子力学的基本概念及原理， 并通过几个具体事例的讨论来说明量子力学 处理问题的一般方法。
§17-1 实物粒子的波粒二象性 德布罗意波
k
3 kT 2
1 mv2 2
h
h
0
1.46 A
mv 3mkT
ZP33,32B 例7 当电子的德布罗意波长与可见光波长
（库）
（λ=5500 A )相同时，求它的动能是多少电子伏特？
解
Ek
p2 2me
h2
5.0 106 eV
2me
作业ZP44,6，
ZP43-44,1-6 ZP38,1-7
p mv 2meU U
若U 150 V, 0.1nm U 1.5104V, 0.01nm
应用：电子显微 镜（波长10-2～ 10-3nm).
（库）
ZP例392,7 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.4A ,则U约为
(A) 150V (B) 330V (C) 630V (D) 9
电子束透过多晶铝箔的衍射
电子的衍射图样与X射线衍射结果非常相似。
电子束晶体（铝箔） X射线晶体（铝箔）
衍射花样铝箔
的衍射花样
戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享
1937年的物理学诺贝尔奖。
1961年琼森做了电子的单缝、双缝、三缝和四 缝衍射实验。
单缝
双缝
三缝
四缝
在电子的波动性被证实之后,实验中逐渐发现了中子、
用电子波代替可见光制成的电子显微镜能具有极 高的分辨本领。
1932年德国人鲁 斯卡成功研制了 电子显微镜
附、德布罗意假设
一个能量为E ，动量为P 的实物粒子，
同时具有波动性，波长和频率分别是
h mv
mc2 h
爱因斯坦 --德布罗意 关系式
与实物粒子相联系的波称为物质波， 或德布罗意波.
2）自由粒子的德布罗意波可用平面波来描述。
p2 2m
由上面计算 pp= p ，所以 Ekp:Ek= m[思:m考p=]4:1
若动能相同，则 pp:p= ? p : =?
例6 ZP32,30
（库）
例6 已知中子的质量 m=1.67×10-27㎏，当中子
的动能等于温度为T=300K的热平衡中子气体的平
均动能时，其德布罗意波长为多少？
解 : 热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于
质子、中性原子都具有衍射现象。
结论:自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止 质量是否为零，都具有波粒二象性。
三、应用举例——电子显微镜
光学仪器的分辨本领和所使用的射波波长 成反比。
当加速电场很大时,电子的得布罗意波长
可以比可见光波长短得多,如U为1.5万伏时,电子 的波长为0.01nm,比可见光短5万分之一. 因此利
解 1.22 nm
U
U
1.22 10
2
V=930.25V
940V
选(D) 940V
例3 乒乓球的质量为2.0g, 速度为5m/s, 求：德布
罗意波长 ？
解 p mv
由德布罗意公式
h m0v
6.63 1034 2.0 103 5
=6.631032 m 6.631023 nm
指出：因为普朗克常量h 极小，所以宏观物体相应
05年ZP39,9 （库）
例8 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，则
粒子物质波的波长与速度v有如下关系：
(A)
(B)
(C)
(D)
解：
(C)
[思考] 若作低速运动，则 与v的关系？
二、实物粒子波动性的验证
P220倒数第2段
实物粒子的波动性，当时是作为一个假设提出来 的，直到1927年戴维孙和革末用电子衍射实验证实了 德布罗意假设。
d sin
2
2a cos 2
根据布拉格公式,加强的条件： 2d cos
sin
d sin k
d sin 2 2
只有当两相邻晶面电子束反射线之间的波程差
d sin k 时,才出现衍射极大.
电子经加速电势差为U的电场加速后，在非
相对论下有
1.22 nm
U
代入布拉格公式得出：
对镍来说
,把
值代入上式得：
上式中k只能取1, 极大值出现在50.90 的方向，与实验符合的很好， 这表明电子具有波动性，而且德布罗意波长公式 是正确的。
戴维逊发现电子在晶体中的衍射现象,荣获 1937年诺贝尔物理学奖.
2. G. P.汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
实验研究了高速运动的电子束穿过晶体后产 生的衍射现象.
为0.01nm,比可见光短5万分之一. 因此利用电子波 代替可见光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本 领。
1932年德国人鲁 斯卡成功研制了 电子显微镜
附：实物粒子波动性的验证
德布罗意在1924年举行博士论文答辩时，当 时著名科学家佩林问他：“这些波怎么用实验来 证明呢？”德布罗意答道：“用晶体对电子衍射 实验可以做到。
1 mv2 eU 2
h h h h 1.22 nm
P mv 2mEk 2meU U
（题库）
例1 设电子在电场中由静止加速,经过电压U加
速后获得动能，若不考虑相对论效应，电子的德
布罗意波长为多少？ 解：若不考虑相对论效应，有
由德布罗意公式，可得
1 mv2 eU 2
h h h 1.22 nm
德布罗意
1924年11月向巴黎大学理学院提交了博 士论文《量子理论的研究》,把波-粒二象性推 广到所有的物质粒子.
After the end of World War Ⅰ, I gave a great deal of thought to the theory of quanta and to the wave-particle dualism……It was then that I had a sudden inspiration . Einstein’s wave-particle dualism was absolutely general phenomenon extending to all physical nature. Louis de Broglie 《New Perspectives in Physics》
D
P
K
U
M
电子束透过多晶铝箔的衍射
电子的衍射图样与X射线衍射结果非常相似。
电子束晶体（铝箔） X射线晶体（铝箔）
衍射花样铝箔
的衍射花样
戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享
1937年的物理学诺贝尔奖。
1961年琼森做了电子的单缝、双缝、三缝和四 缝衍射实验。
单缝
双缝
三缝
四缝
在电子的波动性被证实之后,实验中逐渐发现了
• 自然界在许多方面都是明显对称的。
• 既然光具有波粒二象性，那么实物粒子，如电 子，是否也具有波粒二象性？
1924年，德布罗意大胆地提出实物粒子也具
有波粒二象性。
一、物质波假说
P219，第1段倒数1，2行，式 17.1a 17.1b
• 物质波假说：实物粒子具有波动性.
指静止质量不为零的粒子。如：电子、质子、介子、中子、分子、原子等。
电子流强度I 有极大值，由 此计算所得加速电势差U的各
个量值和实验相符，因而证 实了德布罗意的假设的正确 性。
戴维逊发现电
子在晶体中的衍射
现象,荣获1937年诺
贝尔物理学奖.
C.J.Davison
2. G. P.汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
实验研究了高速运动的电子束穿过晶体后产 生的衍射现象.
1.戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
实验研究了慢电子在单晶体上反射时产生的
电子衍射现象.
1）实验装置
D
法线
B
G
K
M
U
2）实验结果
I与U的关系如图所示，可知， 单U调增加时，I 不是单调变化而是有一系列极大值，这说明电子
从晶体上沿 角方向反射时，对电压U的值有选择
性，即遵守反射定律的电子对电压有选择性。
G.P.Thomsom
1.戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年） 实验研究了慢电子在单晶体上反射时产生的
电子衍射现象.
θ θ
实验结果:当加速电压U=54V时,沿θ=500的散射
方向探测到电子束的强度出现一个明显的极大.
戴维孙 — 革末实验中,电子在镍晶体表面
的散射照片与X射线衍射照片
电子束的镍晶体散射照片 石英的X射线衍射照片
2) 德布罗意波长
h h 其中 m
P mv 讨论：a）对非相对论粒子(v<<c），Ek
m0
1 v2 / 1 mv2 2
c2 p2
2m
h h h
P mv 2mEk
b)若电子由静止经电压U加速，当电子速率 v<<c
时，由
1 mv2 eU
mv 2meU
2
所以德布罗意波长
应用：电子显微
h h h 1.22 nm 镜（波长10-2～
1927年,戴维逊和革末用电子束垂直投射到镍 单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意 关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的 存在。
1927年，G.P.汤姆逊将电子束和中子束射向
多晶箔片，在屏上得到了圆环形的衍射图样,电
子及中子的这种衍射图样与X射线衍射结果非常
相似。
C.J.Davison
• 德布罗意关系式
一个能量为E ，动量为p 的实物粒子，相
当于一频率 和波长 的平面波，它们之间的关
系为：
E
或
p
h
n0
k
式中， 2 角频率； n0 为粒子运动方向的单位矢量
k
2
n0 波矢量；
h
2
1.0545881034 J s
德布罗意因这一开创性工作获1929年诺贝尔物理学奖。
说明：1）与实物粒子相联系的波，称为德布罗意波
（物质波）；其波长称为德布罗意波长。 P219，17.2a下第2行
2) 德布罗意波长 h h
P mv
讨论：a)对非相对论粒子(v<<c），Ek h h h P mv 2mEk
m m0 1 v2 /
1 mv2 p2
2
2m
P220，表下面起
c
2
b)电子由静止经电压U加速，当电子速度不太大时，
结论:1) 散射电子束在某些方向上特别强.
2) 电子束在镍晶体表面上的散射图像，和X射
线被单晶体衍射的劳厄斑非常类似.
利用X射线衍射对晶体的衍射来分析
设晶格常数为d,散射
平面间距a,则
d
.. . 2. ..
2
. .2 .. ..
.
a.
d
si.n
2
.
. 两相.邻晶面. 电子.束反
. 射线. 之间的. 波程.差
(D) 1/eRBh
解：圆周运动：
德布罗意波长
(A)
[思考] 若考虑相对论效应，结果？
（库）
例5 低速运动的质子和粒子, 若它们的德布罗
意波长相同, 则它们的动量之比pp:p=
;
动能之比Ekp:Ek=
.
解： ⑴ 由德布罗意波长 =h/p
因 p= ，则得到 pp:p = 1:1
⑵在粒子运动速度不太大时，Ek
中子、质子、中性原子都具有衍射现象。
结论:自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止 质量是否为零，都具有波粒二象性。
P220倒数第1段起
三、应用举例——电子显微镜
R D
1.22
光学仪器的分辨本领和所使用的射波波长成反比。
当加速电场很大时,电子的德布罗意波长可以
比可见光波长短得多,如U为1.5万伏时,电子的波长
3)实验原理 我们知道，X射线在晶体体上反射加强时，有下列规 律，即布拉格公式
2d sin k
（k =1,2,…）
只有当两相邻晶面电子束反射线之间的波程差
2d sin k 时,才出现衍射极大.
电子经加速电势差为U的电场加速后，在非相
对论下有 1.22 nm
U
代入布拉格公式得出：
即加速电压满足此式时，
的物质波波长太短,在通常情况下不会显示其波动 性，这也是物质波存在，而长期未被发现的原因。 （自由粒子的德布罗意波长P220表17—1）
例4ZP29,8
例4 若粒子（电量为2e)在磁感应强度为B的均匀
磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则粒子的德布
罗意波长是
(A) h/2eRB
(B) h/eRB
(C) 1/2eRBh
P mv 2meU U
10-3nm).
感谢下 载
第十七章 量子力学基础
• 量子力学是描述微观粒子运动规律的学科。 它是现代物理学的理论支柱之一，被广泛地应 用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多 领域。
• 本章主要介绍量子力学的基本概念及原理， 并通过几个具体事例的讨论来说明量子力学 处理问题的一般方法。
§17-1 实物粒子的波粒二象性 德布罗意波