2016年山东省高考理科数学试题及答案

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2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第I卷和第H卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试
结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

I / _ ------------ .
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第H卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)二P(A)+P(B).
第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合要求的
(1)若复数z满足2z其中i为虚数单位，则z=
(A) 1+2i (B) 1 -2i (C) -1 2i ( D) -1-2i
x 2
(2)设集合A二{y|y =2 ,x R}, B 二{X|x -v：：0},则A U B二
(B ) (0,1)
(C )(胡，--)(D )
(0,--)
(3)某高校调查了 200名学生每周的自习 (单位：小时)，制成了如图所示的频率分 图，其中自习时间的范围是［17.5,30］，样本
方图，这200名学生中每周的自习时间不少 小时的人数是
(A ) 56 ( B ) 60 (C ) 120 ( D ) 140 看x+ y? 2, 拿x- 3y ? 9,
(4) 若变量x ，y 满足锍0,
则x 2+ y2
的最大值是
(A ) 4 (B ) 9 (C ) 10 (D ) 12
(5)
一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示
.则该几何体的体积为
(6) 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面 a ，B 内•则“直线a 和直线b 相交”是“平面a 和 平面B 相
交”的
(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件学.科.网 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件 (7) 函数 f (x ) = ( .3sin x+cosx ) ( 3 cosx - sin x )的最小正周期是
n 3 n (A ) n ( B )n( C )——(D 2n
2 2
(8) 已知非零向量 m n 满足4丨ml =3 I n I ，cos<m n>=-.若门丄(tm+ n )，则实数t 的值为
3
(A ) 4 (B )- 4 (C ) 9 ( D )-
9
4
4
1
(9) 已知函数 f (x)的定义域为 R.当 x<0 时，f (x) = x 3 T ;当 -1 _ x -1 时，f (-x) - - f (x);当 x - 1 1
时，f (X 2)= f (X -2).则 f (6)=
(A ) ?2 (B ) ?1 (C ) 0 (D 2
(10) 若函数y=f(x)的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在 这两点处的切线互相垂直，则称y=f (x)具有T 性质.下列函数中具有 T 性质的是
(A ) 1 2
n 3 3
(B )
(D )
6
时间 布直方 数据分
根据直 于 22.5
x 3 (A) y=sinx ( B) y=lnx (C) y=e ( D y=x
第H卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

(11) ________________________________________________________________________ 执行右
边的程序框图，若输入的 a, b 的值分别为0和9,则输出的i 的值为 __________________________
2 2
(13) 已知双曲线E 1:笃-爲=1(a >0, b >0),若矩形ABCD 勺四个顶点在E 上, AB CD 的中点
a b
为E 的两个焦点，且2| AB=3| BQ ，贝U E 的离心率是 ________ .
(14) 在［-1,1］上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆(x- 5)2
+ y 2
= 9相交”发生的概率为.
I ” _ ---------- .
(15) 已知函数f(x)二〔x^
xE 其中m 0，学.科网若存在实数
b ,使得关于x 的方程f
x -2mx +4m,x Am
(x ) =b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 __________________ .
三、解答题：本答题共6小题，共75分。

(16) (本小题满分12分)
在厶 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 2(ta nA • ta nB)」a nA .tanB .
cosB cosA
(I) 证明:a+b=2c ； (U)求cosC 的最小值.
17.在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母 线. (I )已知GH 分别为EC , FB 的中点，求证：GH//平面ABC (II )已知 EF=FB=1 AC=2.3AB=BC 求二面角 F-BC-A 的余弦值.
2
(18) (本小题满分12分)
已知数列:a n
［的前n 项和S=3『+8n , b ?是等差数列，且a^ b n b n d .
(I)求数列 b?的通项公式；
(U)另c n 少叫.求数列的前n 项和T n .
(0栢)
(19) (本小题满分12分)
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果 两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1分；如果两人都没猜对， 则“星队”
得0分。

已知甲每轮猜对的概率是3
，乙每轮猜对的概率是-;每轮活动中甲、乙猜对
4
3
与否互不影响。

各轮结果亦互不影响。

假设“星队”参加两轮活动，求： (I ) “星队”至少猜对3个成语的概率；
(II ) “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望EX
2
(12)若(ax +
)3
的展开式中X 3
的系数是
80，则实数a= _______
(20)(本小题满分13分)
2x —1
已知f(x)二a x「lnx 2 ,a R.
x
(I )讨论f (x)的单调性；
3
(II )当a=1时，证明f(x)>f' x 3
对于任意的x・1,2 1成立2
(21)本小题满分14分)
2 2
平面直角坐标系xOy中，椭圆C:笃•爲=1 a> b>0 ?的
a b
离心率是3
，抛物线E: x2=2y的焦点F是C的一个顶点。

2
(I )求椭圆C的方程；
(II )设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切
线l与C交与不同的两点A, B,线段AB的中点为D,学科&网直线
0D与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(i )求证：点M在定直线上；
(ii )直线1与y轴交于点XL PFG的面积为S，L PDM的面积为S2，求S的最大值及取得最大值时点P的坐标.
2016年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学试题参考答案
、\” ； I I / '
一、选择题
(1)【答案】B
(2)【答案】C
(3)【答案】D
(4)【答案】C
(5)【答案】C
(6)【答案】A
(7)【答案】B
(8)【答案】B
(9)【答案】D
(10)【答案】A
第H卷(共100分) 、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
(11) 【答案】3 (12) 【答案】-2 (13) 【答案】2 (14) 【答案】-
4
(15) 【答案】(3,：：) 三、解答题 (16)
化简得 2 sin AcosB sin BcosA =si nA sin B , 即 2sin A B =sin A sin B . 因为A B
,
所以 sin A B 二sin 二-C 二 sinC .
从而 sin A sin B=2sin C . 由正弦定理得a • b = 2c. (口)由(D 知c=王巴， 2
当且仅当a =b 时，等号成立. 故cosC 的最小值为丄.
2
考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式 (17)
(I )证明：设FC 的中点为I ,连接GI,HI , 在厶CEF ,因为G 是CE 的中点，所以GI//E F, 又 EF//OB,所以 GI//OB,
在厶CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI //BC
又HI ■ GI = I ,所以平面GHI //平面ABC ， 因为GH 匸平面GHI 所以GH//平面ABC . (II )解法
解析：〔由题意知2泌•哑
sin A
sin B
i + --------------- ,
cos A cosB cosAcosB cos A cos B
2 .2
a b 2“2 2 a +b ---a b -c 2
所以cosC
2ab
2ab
3 H 丄丄
8 la b 丿 4 2
精心整理
连接00',则00'_平面ABC ,
又AB二BC,且AC是圆0的直径，所以B0_AC.
以0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系0 — xyz,
由题意得B(0,2、、3,0)，C(—2 ...3,0,0)，过点F作FM垂直0B于点M ，所以FM = ；FB2 -BM2=3,
可得F(0,、、3,3)
故BC =（一2、3 —2.3,0）, BF =（0, 一、、：
33）.
设m =(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.
丄m BC = 0
由，
m BF = 0
可得-2
衣-
2
亦=
rj3y 3z =0
可得平面BCF的一个法向量m =(-1,1,-】3 ),
3 因为平面ABC的一个法向量n =(0,0,1),
所以cos c m, n x 兰》
|m|| n| 7
所以二面角F_BC_A的余弦值为乎
解法二：
连接00'，过点F作FM _ OB于点M ,
则有FM //OO',
又00' _平面ABC，
所以FML平面ABC,
可得FM 二FB2 -BM2 =3,
过点M作MN垂直BC于点N，连接FN ,
可得FN _ BC ,
从而• FNM为二面角F - BC -A的平面角. 又AB二BC , AC是圆O的直径，
所以MN 二BM sin45 6 ,
2
精心整理
J42
从而F ^—'可得
cosFNM
所以二面角F 一 BC 一 A 的余弦值为辽.
7
考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 (18)
(I)由题意知当 n _ 2时，a n =S n -S nr =6n 5 ,
当 n = 1 时，a i = S i =11 , 所以 a n -6n 5.
设数列:b n
［的公差为d ,
所以 b n =3n 1.
又T n C 2 • C 3 • C n ，
得T n =3 [2 22
3 23
4 24
，(n • 1) 2n 1]
，
i Jl^ J b
I I
■ J
\ \
I .
2T n =3 [2 23
3 24
4 25
九…-(n 1) 2n 2
]，
两式作差，得 所以T n =3n 2宀 1
考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法 (19)
(I )记事件A: “甲第一轮猜对”，记事件B : “乙第一轮猜对”， 记事件C: “甲第二轮猜对”，记事件D: “乙第二轮猜对”， 记事件E : ‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意，E = ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD. 由事件的独立性与互斥性， =3 2 3 2 2 11 — — — — 1 3 - J 4 3 4 3 4 3434343
3=4+6
a
2
= b 2
+ b 3
即｛17；；1爲，可解得gd ，，
(U)由(I)知 C n
(6n 6)n 1 (3n 3)n
= 3(n 1) 2n 1，
J =2
_ 3.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为
3
(II)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 1111 1
P I X =0 ,
4 3 4 3 144 P x =1 =2 3 1 1 11 2 1 1 V4 3 4 3 4 3 4 3丿 144
31121231 1212 25 + — X — X — X — +—X — X — X — + —X —X — X —= --------------------------
434343434343 144
当 X (1,,—)时，f/(x) ：：0, f (x)单调递减;
5
72
3 1 3 P X ^2 = 7
4 3 4
(20)
P X »3 2 1 1 1 1 3 2 4 3 4 3 4 3 4 3 1 12
P X=4 =2 3231 V4 3 4 3 60 = 5
"144 12
p (X =6 )=3汇
‘434
可得随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6
P
所以数学期望 EX =0汇^^ + 1工空+2況-25+3況丄+4H-5+6乂丄=空. 144 72 144 12 12 4 6
考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望
(I) f (x)的定义域为(0, v)；
/ a 2 2 (ax 2
-2)(x-1) f (x)二 a _ —2
3 二 3 . x x x x i ■- ，- ■
当 a 乞 0, x (0,1)时，f /(x) .0 , f(x)单调递增;
x ・(1「：)时 f(x)：：：0, f (x)单调递减.
当 a >0 时，f /(x H a(x f 1)(^J-)(^J-).
x * a 1 a
4 3 4 3
(1) 0 ：： ：：
当 x (0,1)或 x f /(x) 0， f (x)单调递增;
(2) a =2 时，i 2 =1，在 x. (0,：：)内，f /(x)_0, f(x)单调递增;
v a
◎
(3) a 2 时，0「3 <1 ,
\ a
当 x ・(0,/)或 X ，(1,=)时，f /(x)
0，f(x)单调递增；
■■ a 当 x. (. 4
,1)时，f /(x) ：：： 0，f(x)单调递减. 、' a
综上所述，
当a 乞0时，函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,；)内单调递减； 当a =2时，f (x)在(0, •：：)内单调递增；
.■ I 当a 2， f (x)在(0 5)内单调递增，在(.2,1)内单调递减，在(1, •：：)内单调递增. V a \ a
(U)由(I)知，a =1 时，
3
12 = x-lnx 2 - ； -1，x [1,2]，
x x x 1 2 令g(x)=x —lnx,h(x) =—+—2-一3-1， x ^ ［1,2］ x x x '
则 f (x) — f /(x) = g(x) +h(x)，
\ rv 、I}
由g /(x ^^^>0可得g(x )zg (1)=1 当且仅当x = 1时取得等号. x ， 2
又h'(x)二逑 42^_6， x
设(x ^-3x ^2x 6，贝厂(x)在［1,2］单调递减， 当 0 ：：：
内单调递增; f(x)在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，在(J —亦) \ a
1 1
由于h(1)=1,h(2^-，因此h(x)_h(2)当且仅当*=2取得等号,
3
所以 f(x)-f /(x) g(1) h(2)p ,
3
即f(x) f /(xp ㊁对于任意的X- [1,2]恒成立。

考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想
(21)
(I)由题意知 心6 J? 一 3，可得：&=2・
2
1 1
因为抛物线E 的焦点为F(0,2)，所以心,厂2， 所以椭圆C 的方程为x 2 4y 2 =1.
2
(□) (i )设 P(m,—)(^>0)，由 x 2 =2y 可得 y / 2
所以直线I 的斜率为m ，
m 2
因此直线I 的方程为y - 一 m(x - m)，即y
二mx - 2 2 6
m 、厂
、
y = mx -— 设 A(x 1,yj, B(x 2,y 2), D (X 0, y °)，联立方程 2 m 2 4m 3
4m 2
1
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因此X。

_ x1 x2— 2m3
4m21
将其代入=mx - 一
2
2(4m21)'
因为匹二
x。

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4m ，得点M 的纵坐标为y M 二--， 4 x = m
即点M 在定直线y = £上.
2 令x =。

得y=_；'所以G （0,
2
—m —)
2( 4m 2 1)
1 1 2
所以 SqGFE/g °，
S 2 JpM||m-x ° J (2m ： 1)2， 2
8(4m 2 1)
S _ 2(4m 2 1)(m 6 7 1)
- (2m 2 +1)2 ，
62
考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力
（ii ）由（i ）知直线I 方程为y 2 m =mx —
2
联立方程 所以S 2 令 t =2m 2
十1，则芜⑵-忙1）—右十
S 2 t 2
即t =2时，处取得最大值9，此时 S 2 4 m ，，满足「0， 2
精心整理
所以点P的坐标为（；，：），因此S的最大值为9，此时点P的坐标为（2因为(1) =1, (2^-10，
所以在［1,2］上存在X。

使得(1, X o)时，：(x) 0,^ (x g,2)时，「(x)：：：0，
所以函数h(x)在(1,x。

)上单调递增；在(x°,2)上单调递减,
x2 +4y2 =1
得(4m2十1)x2_4m3x +m4 1_1 =0 ,
由:0，得0 ：：： m ：：： I、2 5 且x1 x2 =
1 1
——，所以直线OD方程为y — x.
4m 4m。