上海华东师范大学第二附属中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)

一、选择题
1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
2．已知F 是双曲线2
2
:13
y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C
左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．
25
B ．
45
C ．
15
D ．
23
3．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于
,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
4．已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，
使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A
．)+∞
B
．
C
．)+∞
D
．
5．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线
2
219
x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知双曲线22
21(0)x y a a -=>与椭圆22183
x y +=有相同的焦点，则a =（ ）
A
B
．C ．2
D ．4
7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22
143
x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，
AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，
2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则
123
111
k k k ++=（ ） A ．43
-
B ．3-
C ．1813
-
D ．32
-
8．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且
12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12
11
e e +的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．
32
D ．
52
9．已知椭圆2
2:12
x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中
垂线交x 轴于M 点，则
2
||
||FM AB 的取值范围为（ ） A ．11,164⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．11,
84⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．11,162⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,
82⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
10．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与
双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C
D
11．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，
18
) B ．F (1，－
158
) C ．F (0，－
158
) D ．(1，
18
) 12．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且
满足0FA FB FC ++=，则
111
AB BC CA
k k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．2p
二、填空题
13．已知椭圆()22
2:1024x y C b b
+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一
点，1
3PF =，123
F PF π
∠=，则b =______． 14．已知直线1y x =-+与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中
点M 在直线20x y -=上，则椭圆的离心率为_______.
15．已知双曲线C ：22
193
x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的
两条渐近线的交点分别为M ､N .若OMN 为直角三角形，则||MN =________.
16．已知抛物线()2
20x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2
212
x y -=相交于A ，B 两
点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.
17．已知圆22:4440C x y x y +--+=，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为
F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________．
18．已知1F 、2F 是椭圆
22
143
x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．
19．已知点1F ，2F 为椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）和双曲线22
222
:
1x y C a b -=''（0a '>，0b '>）的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足0
1290F PF ∠=，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则
2212
11
e e +=___________． 20．已知1F ，2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在
渐近线上，满足12F PF 2
π
∠=
，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中
点，则该双曲线的离心率为_____.
三、解答题
21．已知A ，B 分别是双曲线2
2
:14
y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）
过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点. （1）若3CN ND =，求直线l 的方程；
（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上.
22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,1P
l 与椭
圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．
（1）求椭圆C 的方程;
（2）若APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PM 长度的最小值．
23．已知双曲线22
1916
x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得
1290F PF ∠=，求12F PF △的面积.
24．已知椭圆22
221x y a b
+= (a >b >0)的右焦点为F 2(3，0)，离心率为e .
（1）若e
（2）设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标
原点O 在以MN 为直径的圆上，且
2<e k 的取值范围. 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-． （1）求抛物线C 的方程；
（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值． 26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；
（2）若||AB =AFB △的周长.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴y p +1=2， 解得y p =1． 故选C ．
考点：抛物线的简单性质．
2．B
解析：B 【分析】
当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF
=+.
【详解】
由题意，双曲线2
2
:13
y C x -=中，2221,3,4a b c ===，
设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则4MF =
=，
根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为
26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，
当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，
此时直线ME 的方程为)32y x =+，
联立)221332y x x y ⎧==+-
⎪⎨⎪⎩
，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为533,44⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，
则2
2
22
533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
614544=+=， 所以椭圆的离心率4
5
EF
e QE QF ==+.
故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
3．C
解析：C 【分析】
由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2222c a b =+. 【详解】
由题意，渐近线方程为b
y x a
=±
，
∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1
222
OAB
S
a b =
⋅⋅=，即2ab =，
∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4．A
解析：A 【分析】
由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】
设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()
2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，
则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，
可得()
44244224
20b a x a cx a c a b ----=，
A 在右支上，422444
0a c a b b a
--∴<-，即44
0b a ->，即220b a ->，
即2220c a ->，则可得e >
故选：A. 【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
5．C
解析：C 【分析】
根据中位线性质得到22111
()22
OH BF PF PF a =
=-=得到答案.
【详解】
如图所示：延长1F H 交2PF 于B
12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，
在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，
⇒22111()322
OH BF PF PF a ==-==
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将21
2
OH BF =
是解题的关键. 6．C
解析：C 【分析】
先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ． 【详解】
椭圆22
183
x y +=的半焦距为835c -
∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．
故选：C ． 【点睛】
晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．
7．A
解析：A 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B
在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：11141
3t k s =-，同理可得：222
413t k s =-，
333
41
3t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ， 因为A ，B 在椭圆上，
所以2211143
x y +=，
22
22
143
x y +=， 两式相减得：
12121112121
3344y y x x s
k x x y y t -+=
=-⨯=-⨯-+， 即
111
41
3t k s =-， 同理可得222413t k s =-，333
41
3t k s =-， 所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫+
+=-++ ⎪⎝⎭
因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，
所以12311144133
k k k ++=-⨯=-， 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.
8．A
解析：A 【分析】
设双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定
义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】
设双曲线2C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，焦点()2,0F c ，
因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，
又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=， 所以122PF c a =-， 设椭圆的长轴长为2a '，
根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，
所以121122a a c a a
e e c c c c
'-+
=+=+=. 故选：A. 【点睛】
求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
9．B
解析：B 【分析】 当l ：0y =时，
2
||1
||8
FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()2
22210m
y my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得
21,02M m ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2
||||FM AB 求解. 【详解】
椭圆2
2:12
x C y +=的左焦点为()1,0F -,
当l ：0y =
时，(
))
(),,0,0A B M
，1,FM AB ==
所以
2||1
||8
FM AB =， 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22
112
x my x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，可得： ()2
22210m
y my +--=，
由韦达定理得：12212222
12m y y m y y m ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩，
取AB 中点为22
2,22m D m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
， 所以AB 的中垂线方程为：
2212:22
DM m l x y m m m ⎛⎫=-
-- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得2
1,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
， 所以221
||2
m MF m +=+，
又
()
()
2
22
2281||2m AB m +=
=+， 所以2222||121111=1(,)||818184
FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长为
AB =
=
=k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
10．D
解析：D 【分析】
本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲
线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】
根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，
因为2MH
OF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，ab
MH c
=
，即M 点纵坐标为ab c
， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得2222
2a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
将M 点坐标带入双曲线中可得42
2221b a a c c
-=，
化简得4422b a a c ，2
22
4
22c a
a a c ，223c a =，3=
=c
e a
， 故选：D . 【点睛】
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.
11．B
解析：B 【分析】
右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解． 【详解】
已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即2
1
(1)(2)2x y -=+，它的图象是由抛物线212
x y =向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的， 抛物线2
12
x y =
中122p =，14p =，焦点坐标为1
(0,)8，011+=，115288-=-，
因此所求焦点坐标为15
(1,)8
-， 故选：B ． 【点睛】
本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．
12．A
解析：A 【解析】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(
,0)2
p F ∵0FA FB FC ++
= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222
p p p
x y x y x y -
+-+-= ∴1230y y y ++=
∵2221212121211
()122AB y y x x y y p k y y y y p
--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，
311
2CA y y k p +=. ∴
3231123212()111
02222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p
+++++++=++== 故选A.
二、填空题
13．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查
解析：32
【分析】
作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】
根据椭圆的定义：2231PF a =-=，
在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：
222
212121242cos 73
c F F PF PF PF PF π
==+-⋅=，
274c ∴=
，则222
79444b a c =-=-=，所以，32
b =. 故答案为：3
2
.
【点睛】
本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.
14．【分析】设联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求得线段的中点M 的坐标根据点M 在直线上求解【详解】设由得由韦达定理得所以线段的中点M 又M 在直线上所以即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置 解析：
22
【分析】
设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段AB 的中点M 的坐标，根据点M 在直线20x y -=上求解. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，
由222211
y x x y a
b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222220a b x a x a a b +-+-=， 由韦达定理得2
2
221
2
2
1
2222
22,,10a b x x y y a b a b
a b
∆，
所以线段AB 的中点M
222
2
2
2
,a b a b
a b ，
又M 在直线20x y -=上， 所以
22
2
2
22
20a b a
b
a b ，
即2222222a b a c ==-
， 所以222a c =，
解得2
e =
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．【分析】先由题意得到渐近线方程为：右焦点或分别讨论两种情况求出两点间距离即可得出结果【详解】因为双曲线的渐近线方程为：右焦点因此渐近线夹角为即因为为直角三角形所以或当时可得所以所在直线方程为：由解得
解析：【分析】
先由题意，得到渐近线方程为：y x =，右焦点()
F ，OM MN ⊥或ON MN ⊥，分别讨论OM MN ⊥，ON MN ⊥两种情况，求出两点间距离，即可得出
结果. 【详解】
因为双曲线
22193x y -=
的渐近线方程为：y =，右焦点()
F ，
因此渐近线夹角为60，即60MON ∠=，
因为OMN 为直角三角形，所以OM MN ⊥
或ON MN ⊥，
当OM MN ⊥
时，可得
MN k =MN 所在直线方程为：
y x =-，
由y x
y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：
3x y ⎧
=⎪⎨=⎪⎩
，由y x y x
⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，
所以MN ==； 当ON MN ⊥
时，可得MN k =MN
所在直线方程为：y x =-，
由
y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，由
y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
解得：3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，
所以MN ==
综上，MN =
故答案为： 【点睛】
本题主要考查直线与双曲线的简单应用，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
16．【分析】先求出准线方程为代入双曲线方程可得AB 的坐标再由为直角三角形设中点为则即进而求解【详解】由题可知准线方程为因为与双曲线相交于AB 则为为因为为直角三角形由双曲线的对称性可得设中点为则即解得即所 解析：1y =-
【分析】
先求出准线方程为2
p
y =-
,代入双曲线方程可得A ,B 的坐标,再由ABF ∆为直角三角形,设AB 中点为C ,则CE AC =,
即p =进而求解. 【详解】
由题可知准线方程为2
p y =-
, 因为与双曲线2
212
x y -=相交于A ,B ,
则A
为2p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,B
为2p ⎫
-⎪⎪⎭
, 因为ABF ∆为直角三角形,由双曲线的对称性可得90AFB ∠=︒,
设AB 中点为C ,则CE AC =,
即p =解得24p =,即2p =, 所以准线方程为1y =-, 故答案为:1y =- 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.
17．【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标求出直线联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解【详解】圆所以抛物线过点即其焦点为则直线联立直线与抛物线方程：整理得直线设其两根为弦长所以被抛物线截得 解析：
258
【分析】
根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42
:33
CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解. 【详解】
圆22:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，
即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，204
1322
CF k -=
=-
则直线42
:33
CF y x =-，
联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧
=-
⎪⎨
⎪=⎩
，整理得281720x x -+=， 直线217640∆=->，设其两根为12,x x 弦长121725188
x x p ++=
+= 所以被抛物线截得的弦长为25
8
. 故答案为：258
【点睛】
此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.
18．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角
解析：3
2
【分析】
对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得
1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.
【详解】
在椭圆22
143
x y +=中，2a =
，b =1c =，则122FF =.
（1）若12F MF ∠为直角，则()12222
1224
24MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； （2）若12MF F ∠为直角，则()12222
212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得12
32
52MF MF ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 121211133
22222
MF F S F F MF ∆∴=
⋅=⨯⨯=； （3）若12MF F ∠为直角，同理可求得123
2
MF F S ∆=. 综上所述，1232
MF F S ∆=. 故答案为：32
. 【点睛】
本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．2【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得再结合离心率公式求解即可【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点点分别为左右交点由椭圆定义有由双曲线定义有则即又则即所以即2故答案为：2【点睛】本题考查了椭圆及
解析：2 【分析】
先结合椭圆及双曲线的定义可得2'2a a +22c =，再结合离心率公式求解即可. 【详解】
解：设P 为双曲线右支上的任意一点，点1F ，2F 分别为左、右交点， 由椭圆定义有122PF PF a +=，由双曲线定义有'
122PF PF a -=， 则212()PF PF +2
12()PF PF +-=2
2
122()PF PF +2'24()a a =+，
即2
2
1
2PF PF +2'22()a a =+，
又0
1290F PF ∠=，则2
2
2124PF PF c +=，
即2'2a a +22c =，
所以2'2
222a a c c
+=，
即
22
1211e e +=2， 故答案为：2. 【点睛】
本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.
20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了
1
【分析】
由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫
⎪⎝
⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得22
2
222()44
a c
b b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】
12F PF 2
π
∠=
，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121
||2
OP F F c =
=， 又直线OP 的斜率为
b
a
，∴(,)P a b ， 又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫
⎪⎝⎭
， 又 ,22a c b Q -⎛⎫
⎪⎝⎭
在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴22
2
222()44
a c
b b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b a
c a b a ac c ⋅-=⇒--+=， ∴2240e e --=，因为1e >
，故解得1e =
1. 【点睛】
本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1
）0y --=
或0y +-=；（2）证明见解析. 【分析】
（1）设直线l 的方程为2x my =+并联立双曲线根据韦达定理可得1y 与2y 关系，结合3CN ND =可得123y y =-，从而求得m 值得直线方程；
（2）列出直线AC 与BD 方程，并求点P 坐标得1
2
P x =，故得证. 【详解】
解：设直线l 的方程为2x my =+，设()11,C x y ，()22,D x y ，把直线l 与双曲线E
联立方程组，22214x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩
，可得()22
4116120m y my -++=，
则121222
1612,4141
m y y y y m m +=-
=--， （1）()112,CN x y =--，()222,ND x y =-，由3CN ND =，可得123y y =-， 即22841m y m =
-①，2
2
212341
y m -=-②， 把①式代入②式，可得2
22
81234141
m m m ⎛⎫-= ⎪--⎝⎭，解得2120m =
，m =， 即直线l
的方程为0y --=
或0y +-=． （2）直线AC 的方程为()1
111
y y x x =
++，直线BD 的方程为()2211y y x x =--，
直线AC 与BD 的交点为P ，故
()1111y x x ++()2
211
y x x =--，即()1113
y x my ++()2211y
x my =-+，
进而得到122121311my y y x x my y y ++=-+，又()121234m
y y y y =-+， 故
()()12212
121213
3391433134
y y y y y x x y y y y y -
++-++===----++，解得12
x = 故点P 在定直线1
2
x =上．
【点晴】
方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.
22．（1）22182x y +=；（2
【分析】
（1
）将点代入椭圆方程，结合离心率
c a =
,a b ，得出椭圆方程； （2）可得0PA PB k k +=，设出直线PA 方程，联立直线与椭圆，可得点A 坐标，同理得出
点B 坐标，即可求出中点M 坐标，可判断M 在直线20x y +=上，即可求出最小值. 【详解】
解：（1）因为椭圆经过点P
所以22
2
2211,a b c a
⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中222a b c =+，
解得228,2.
a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆方程为22
182x y +=．
（2）因为APB ∠的角平分线与x 轴垂直，所以0PA PB k k +=．
设直线PA 的斜率为()0k k ≠，则直线PA 的方程为：()21y k x =-+， 设()()1122,,,A x y B x y ，
由()2221,1,8
2y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩得()()22214812161640k x k k x k k ++-+--=．
则212
16164
214k k x k --⨯=+，
所以21288214k k x k --=+，代入得212
441
14k k y k --+=+．
即2222882441,1414k k k k A k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，同理可得2222
882441,1414k k k k B k k ⎛⎫
+--++ ⎪++⎝⎭
． 所以22228241,1414k k M k k ⎛⎫
--+ ⎪++⎝⎭
．
则M 在直线20x y +=上，所以PM 的最小值为P 到直线20x y +=的距离．
即d =
=
63,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内， 所以PM
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；
（5）代入韦达定理求解.
23．16
【分析】
求出a 、b 、c ，利用双曲线的定义和勾股定理可求得12PF PF ⋅，进而可求得12F PF △的面积.
【详解】 由双曲线方程22
1916
x y -=，可知3a =，4b =
，5c =. 由双曲线的定义，得1226PF PF a -==， 将此式两边平方，得22
1212236PF PF PF PF +-⋅=， 221212362PF PF PF PF ∴+=+⋅.
又1290F PF ∠=，由勾股定理可得2212122100PF PF F F +==，
12362100PF PF ∴+⋅=，12·32PF PF ∴=，
121211321622
F PF S PF PF ∴=⋅=⨯=. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义结合勾股定理求得12PF PF ⋅的值，再结合三角形的面积公式求解，对于焦点三角形面积的问题，一般利用定义结合余弦定理求解.
24．（1）221123x y +=；（2
）(,[)44
-∞-⋃+∞ 【分析】
(1) 根据右焦点为F 2(3，0)
，以及2
c a =，求得a ，b ，c 即可. (2)联立22221y kx x y a
b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，根据M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，且坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，易得OM ⊥ON ，则四边形OMF 2N 为矩形，从而AF 2⊥BF 2，然后由22F A F B ⋅=0，结合韦达定理求解.
【详解】
(1)由题意得c ＝3
，
2
c a =，
所以a =
又因为a 2＝b 2＋c 2，
所以b 2＝3.
所以椭圆的方程为22
1123
x y +=. (2)由22221y kx x y a
b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝22
222
a b b a k -+ ， 依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为矩形，
所以AF 2⊥BF 2.
因为2F A =(x 1－3，y 1)，2F B = (x 2－3，y 2)，
所以22F A F B ⋅= (x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0.
即()
222222(9)190(9)
a a k a k a --++=+-， 将其整理为k 2＝4242188118a a a a
-+-+ ＝－1－428118a a -.
<e
，所以
a
12≤a 2<18. 所以k 2≥
18，即k
∈(,[,)44
-∞-⋃+∞ 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是由O 在以MN 为直径的圆上，即OM ⊥ON ，得到四边形OMF 2N 为矩形，推出AF 2⊥BF 2，结合韦达定理得出斜率k 与离心率e 的关系. 25．（1）24y x =；（2）2.
【分析】
（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；
（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得
24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．
【详解】
（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以
12
p =，则2p =， 因此抛物线C 的方程为24y x =；
（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，
由题意直线AB 斜率存在且不为0，
设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，
由()2412
y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124y y k
+=，1284y y k =-. 因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =， 则1121112241214
PA y y k y x y --=
==-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴， 所以()()122244
PA PB PA PB y y PF
PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424
244y y y y k k -+++++===， 所以MF NF ⋅的值为2.
【点睛】
思路点睛：
求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.
26．（
1）||AB =12t
；（2
）7+ 【分析】
（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；
（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长．
【详解】
（1）224y x t y x =+⎧⎨=⎩
， 整理得()224410x t x t +-+=，
则22122
12163216161632044144
t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩，
AB =
==，其中12t ；
（2）由||AB =
4t =-， 经检验，此时16320t ∆=->， 所以1215x x t +=-=，
由抛物线的定义，
有1212||||()()52722
p p AF BF x x x x p +=+++=++=+=，
又||AB =
所以AFB △的周长为7+
【点睛】
求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用
12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。