新人教版九年级数学上册24.2.2 直线和圆的位置关系同步测试(含答案解析)

直线和圆的位置关系
第1课时直线和圆的位置关系[见A本P43]
1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(B)
【解析】∵⊙O的半径r为5，圆心O到直线l的距离d为3，且0＜d＜r，∴直线l与⊙O 的位置关系是相交且直线l不经过圆心．
2．已知圆的半径是5 cm，如果圆心到直线的距离是5 cm，那么直线和圆的位置关系是(B) A．相交B．相切C．相离D．内含
【解析】d＝r＝5 cm，故选B.
3．[2013·青岛]直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是(C)
A．r＜6 B．r＝6
C．r＞6 D．r≥6
【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝6，
∴r＞6.
4．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是(D) A．相切B．相离
C．相离或相切D．相切或相交
【解析】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP 不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2＝r，⊙O与直线l相交，故直线l与⊙O 的位置关系是相切或相交．
5．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(C)
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
6．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C 与直线AB相切，则r的值为(B)
A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm
7．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10，以C为圆心，分别以5，52，8为半径作圆，那么直线AB与圆的位置关系分别为__相离__、__相切__、__相交__．
【解析】C到AB的距离d＝5 2.当d＝52＞r＝5时，直线AB与圆相离；当d＝52＝r
时，直线AB 与圆相切；当d ＝52＜r ＝8时，直线AB 与圆相交．
8．已知⊙O 的面积为9π cm 2，若点O 到直线l 的距离为π cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是__相离__．
【解析】 因为⊙O 的面积为9π cm 2，所以⊙O 的半径r ＝3 cm ，而点O 到直线l 的距离d ＝π cm ，所以d ＞r ，所以直线l 与⊙O 相离．
图24－2－7
9．如图24－2－7，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__相交__．
【解析】 在Rt △ABC 中，因为∠C ＝90°，∠A ＝60°，所以∠B ＝30°，所以AB ＝2AC .
由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC 2＋42＝4AC 2，解得AC ＝43
3(负值已舍)，所以AB ＝2AC ＝83 3.设C 到AB 的距离为CD ，则CD ＝AC ·BC AB ＝433×483
3
＝2 cm ＜3 cm ，所以以点C 为圆心，以3 cm 长为半径的⊙C 与AB 的位置关系是相交．
10．已知∠AOB ＝30°，P 是OA 上的一点，OP ＝24 cm ，以r 为半径作⊙P .
(1)若r ＝
12 cm ，试判断⊙P 与OB 的位置关系；
(2)若⊙P 与OB 相离，试求出r 需满足的条件．
图24－2－8
解：过点P 作PC ⊥OB ，垂足为C ，则∠OCP ＝90°.
∵∠AOB ＝30°，OP ＝24 cm ，
∴PC ＝OP ＝12 cm.
(1)当r ＝12 cm 时，r ＝PC ，
∴⊙P 与OB 相切，
即⊙P 与OB 位置关系是相切．
(2)当⊙P 与OB
相离时，r ＜PC ，
∴r 需满足的条件是：0 cm ＜r ＜12 cm.
图24－2－9
11．如图24－2－9，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－2与⊙O的位置关系是(B)
A．相离B．相切
C．相交D．以上三种情况都有可能
12．如图24－2－10，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y＝ax2上，⊙P恒过点
(0，n)．且与直线y＝－n始终保持相切，则n＝__1
4a__(用含a的代数式表示)．
图24－2－10
【解析】如图，连接PF.设⊙P与直线y＝－n相切于点E，连接PE.则PE⊥AE.
∵动点P在抛物线y＝ax2上，
∴设P(m，am2)．
∵⊙P恒过点F(0，n)，
∴PE＝PF，即m＝2n
又∵am2＝n
∴n＝1
4a.
故答案是1
4a.
13．如图24－2－11，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.
图24－2－11
(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；
(2)当m 取何值时，CD 与⊙O 相切？
解：(1)分别过A ，O 两点作AE ⊥CD ，OF ⊥CD ，垂足分别是点E ，F ，
∴AE ∥OF ，OF 就是圆心O 到CD 的距离．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，∴AE ＝OF .
在△ADE 中，∠D ＝60°，∠AED ＝90°，∴∠DAE ＝30°，∴DE ＝12AD ＝12
m ，∴AE ＝AD 2－DE 2＝
m 2－⎝⎛⎭⎫12m 2＝32m ，∴OF ＝AE ＝32m . (2)∵OF ＝32
m ，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝10， ∴当OF ＝5时，CD 与⊙O 相切于F 点，
即32m ＝5，m ＝1033，∴当m ＝1033
时，CD 与⊙O 相切． 14．如图24－2－12所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，且AD ＝12
BC ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，试问以EF 为直径的圆与BC 有怎样的位置关系．
图24－2－12
第14题答图
解：如图所示，过EF 的中点O 作OG ⊥BC 于G ，
∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∴EF 为△ABC 的中位线．∴EF ＝12
BC ， 即BC ＝2EF .
又∵OG ⊥BC ，AD ⊥BC ，EF 是△ABC 的中位线，
AD ＝12BC ，∴OG ＝12AD ＝14BC ＝14×2EF ＝12
EF ＝OF .∴以EF 为直径的圆与BC 相切． 15．如图24－2－13所示，点A 是一个半径为300 m 的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B ，C 两个村庄，现要在B ，C 两个村庄间修一条长为1 000 m 的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．
图24－2－13
第15题答图
【解析】 此题实质上是判断直线BC 与⊙A 的位置关系．问题的关键是求出点A 到直线BC 的距离AH 的长，可设AH ＝x ，在Rt △ABH 和Rt △ACH 中分别用x 表示出BH 及CH ，然后依据BH ＋CH ＝BC 构建方程求解即可．
解：如图所示，
过点A 作AH ⊥BC 于点H ，设AH ＝x m.
∵∠ABC ＝45°，∴BH ＝AH ＝x m ．∵∠ACB ＝30°，∴AC ＝2x m ，
由勾股定理可得CH ＝3x m.
又∵BH ＋CH ＝BC ，BC ＝1 000 m ，∴x ＋3x ＝1 000，解得x ＝500(3－1)>300，
即BC 与⊙A 相离，故此公路不会穿过森林公园．
16．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘侵袭．如图24－2－14所示，近日，A 城气象局测得沙尘暴的中心在A 城的正西方向240 km 的B 处，正以每小时12 km 的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴的中心150 km 的范围内为受影响区域．
(1)A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
(2)若A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
图24－2－14
第16题答图 解：(1)如图所示，过A 作AC ⊥BM 于C ，则AC ＝12
AB ＝120<150，因此A 城受到这次沙尘暴的影响．
(2)设沙尘暴由B 移动到D 点时A 城刚好受到这次沙尘暴的影响，则AD ＝150，DC ＝
AD 2－AC 2＝90，那么A 城遭受影响的时间为＝2DC 12＝2×9012
＝15(h)．
第2课时切线的判定和性质[见B本P44]
1．下列结论中，正确的是(D)
A．圆的切线必垂直于半径
B．垂直于切线的直线必经过圆心
C．垂直于切线的直线必经过切点
D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线
【解析】根据切线的性质来判断．选项A中，只有过切点的半径才与切线垂直；选项B中，只有过切点且垂直于切线的直线才经过圆心；选项C中，只有垂直于切线的半径才经过切点，所以A，B，C都错误，故选D.
2．如图24－2－15，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC＝70°，则∠A等于(B)
A．15°B．20°C．30°D．70°
【解析】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°.∵∠ABC＝70°，∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝20°.
图24－2－15
图24－2－16
3．如图24－2－16所示，⊙O与直线AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，若∠BAC＝30°，则∠B等于(B)
A．29°B．30°C．31°D．32°
【解析】连接OA，则∠OAB＝90°，又∠CAB＝30°，
∴∠OAC＝60°.又OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，∴∠O＝60°，
∴∠B＝30°.
4．如图24－2－17所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(A)
A ．50°
B ．40°
C ．60°
D ．70°
【解析】 连接OC ，
∵圆心角∠BOC 与圆周角∠CDB 都对弧BC ，
∴∠BOC ＝2∠CDB ，又∠CDB ＝20°，
∴∠BOC ＝40°，
又∵CE 为圆O 的切线，
∴OC ⊥CE ，即∠OCE ＝90°，
则∠E ＝90°－40°＝50°.
图24－2－18
5．如图24－2－18，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，要使DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( A )
A ．DE ＝DO
B ．AB ＝AC
C ．C
D ＝DB D ．AC ∥OD
6．如图24－2－19，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点C ，若∠AOB ＝120°，则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足( C )
A ．R ＝3r
B ．R ＝3r
C ．R ＝2r
D ．R ＝22r
【解析】 连接OC ，因为大圆的弦切小圆于点C ，所以OC ⊥AB ，又因为OA ＝OB ，所以∠AOC ＝12
×120°＝60°，所以∠A ＝30°，所以OA ＝2OC ，即R ＝2r ，故选C.
图24－2－19
图24－2－20
7．如图24－2－20，点P 是⊙O 外一点，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，⊙O 的半径OA ＝2 cm ，∠P ＝30°，则PO ＝__4__cm.
8．如图24－2－21，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC .若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为__32°__．
图24－2－22
9．如图24－2－22，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__AB⊥BC__．
【解析】当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，BC与圆相切，理由是：经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线．
10．如图24－2－23，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于B点，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是__6__．
图24－2－23
图24－2－24
11．如图24－2－24，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB.
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线．
解：(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴∠COB＝60°，
又∵OC＝OB.
∴△OBC是正三角形，
∴BC＝OC＝2.
(2)证明：∵BC＝CP，
∴.∠CBP＝∠CPB，
∵△OBC是正三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°.
∴∠CBP＝30°，
∴∠OBP ＝∠CBP ＋∠OBC ＝90°，
∴OB ⊥BP ，
∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．
12．如图24－2－25，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB ＝∠B ＝30°.
(1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？
(2)连接CD ，若CD ＝5，求AB 的长．
图24－2－25
第12题答图
解：(1)直线BD 与⊙O 相切．
理由如下：如图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠DAB ＝∠B ＝30°，∴∠ODB ＝180°－∠ODA －∠DAB －∠B ＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD ⊥BD ，∴直线BD 与⊙O 相切．
(2)如图，连接CD ，由(1)知，∠ODA ＝∠DAB ＝30°，
∴∠DOB ＝∠ODA ＋∠DAB ＝60°.又∵OC ＝OD ，
∴△DOC 是等边三角形，∴OA ＝OD ＝CD ＝5.
又∵∠B ＝30°，∠ODB ＝90°，∴OB ＝2OD ＝10，
∴AB ＝OA ＋OB ＝5＋10＝15.
13．如图24－2－26，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC ＝∠D ＝60°.
(1)求∠ABC 的度数；
(2)求证：AE 是⊙O 的切线．
解：(1)∵∠ABC 与∠D 都是AC ︵所对的圆周角，
∴∠ABC ＝∠D ＝60°.
(2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC ＋∠EAC ＝30°＋60°＝90°，即BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线．
图24－2－26
图24－2－27
14．如图24－2－27，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.求证：(1)BD＝CD；(2)△AOC≌△CDB.
证明：(1)∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.
又∵∠A＝30°，OA＝OC＝OD，∴∠ACO＝∠A＝30°，∠ODC＝∠OCD＝90°－∠ACO ＝60°.又∵BC与⊙O切于C点，∴∠OCB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠OCD＝30°，∴∠B＝∠ODC－∠BCD＝30°，
∴∠BCD＝∠B，∴BD＝CD.
(2)∵∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，∴AC＝BC，∴△AOC≌△CDB.
图24－2－28
15．如图24－2－28，△OAC中，以O为圆心、OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA.
(1)判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若OA＝5，OD＝1，求线段AC的长．
解：(1)∵点A，B在⊙O上，∴OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB.∵∠CAD＝∠CDA＝∠BDO，∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA.∵BO⊥CO，
∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA＝90°，即∠OAC＝90°，∴AC是⊙O的切线．(2)设AC长为x.∵∠CAD＝∠CDA，∴CD＝AC，即CD长为x.由(1)知OA⊥AC，∴在Rt△OAC中，OA2＋AC2＝OC2，即52＋x2＝(1＋x)2，解得x＝12，即线段AC的长为12.
16．如图24－2－29，⊙O的直径AB＝6 cm，P是AB的延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.
(1)若∠CP A＝30°，求PC的长；
(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CP A的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的值．
图24－2－29
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第16题答图
【解析】(1)由PC是⊙O的切线知PC⊥OC，又∠CP A＝30°，故只要知道OC即可求得PC的长；(2)在圆中，半径相等是证角相等的重要手段，此题只要在△APM中，求∠A＋∠APM 的大小即可．
解：(1)如图所示，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∵∠CP A＝30°，OC＝AB
2－OC2＝3 3.
2＝3，∴OP＝2OC＝6，∴PC＝OP
(2)∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.
∵PM是∠CP A的平分线，∴∠CPM＝∠MP A.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.在△APC中，∵∠A＋∠ACP＋∠CP A＝180°，
∴2∠A＋2∠MP A＋90°＝180°，∴∠A＋∠MP A＝45°，∴∠CMP＝∠A＋∠MP A＝45°，即∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.。