七年级上数学思维拓展训练二：有理数与数轴的数形结合

a 例 3：三个互不相等的有理数，既可以表示为 1、a＋b、a 的形式，又可以表示为 0、 、b 的 b 形式，求 a2015－b2014 的值。（★字母表示数，有理数的运算）
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例 4：① 如图所示，在数轴上，点 A、B、C、D 所对应的数分别为 a、b、c、d，请比较大小： a＋c 离为 b＋d。 （★利用数轴比较数的大小） ② 在数轴上，点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A、B 两点间的距 ；（★数轴上两点间的距离） ③ 在数轴上，点 A、B 分别表示－3.2 和 2.8，则线段 AB 的中点所表示的数是 （★数形结合，数轴上两点间的距离） 。
二、思维训练
例 1：① 将下列各数填入相应的集合内： （★有理数的定义和分类、常见的无理数） ·· 1 3 1，－3.5，2.1 4 5，2 ，0，－2，2014，3.1415，2π，－ ，1.21211211121111…，－100 3 2 正有理数集合：﹛ 无理数集合：﹛ ﹜
▪
﹜ 分数集合：﹛ 非负整数集合：﹛ ；0.243＝
例 8：在数轴上，找出所有的整数点 P，使得它到点 100 和点－100 的距离之差大于 20，距离 之和等于 200，求满足该条件的所有整数点的个数以及它们的和。 （★数轴问题）
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例9：利用数轴，比较有理数 a 与
1 的大小。 （★数形结合，分类讨论） a
5 9 17 33 65 129 13 例 5：① 计算： 2 4 8 16 32 64
1 1 ② 是否存在这样的两个数，它们的积与它们的和相等。如： 1 1 ，请再 2 2 另外写出三组这样的两个数。 （★有理数的特殊运算）
例 6：比较大小： （★常用方法：巧用“1” 、取倒数法、统一分子（分母）等） 2012 2013 2014 11 111 1111 4 12 5 10 15 ① ， ， ； ② ， ， ； ③ ， ， ， ， 2015 2013 2014 111 1111 11111 7 19 12 23 22
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第二讲
一、知识要点
有理数与数轴的数形结合
1. 有理数的有关概念： 理解有理数的意义， 会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量； 掌握有理数的两种分类方法；认识常见的无理数，知道有理数与无理数的主要区别。 2. 数轴问题：掌握数轴的概念及画法，会用数轴上的点表示有理数，确定数轴上的点表示的 数，会利用数轴比较有理数的大小。掌握数形结合的方法和特殊值法。 3. 比较数的大小：掌握比较分数大小的常用方法，掌握作差法（与 0 比较） 、作商法（与 1 比较） 、取倒数法、放缩法等比较大小的常用方法。
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5、如图所示，在纸面上有一数轴，折叠纸面。 （1）若表示数1的点与表示数－1的点重合，则表示－2的点与表示数 （2）若表示数－1的点与表示数3的点重合，回答以下问题： ① 表示数5的点与表示数 的点重合； 的点重合；
② 若数轴上 A、B 两点之间的距离为 m（A 在 B 的左侧） ，且 A、B 两点经折叠后重合，直接写 出 A、B 两点表示的数 A： ，B： （用含 m 的式子表示） 。
▪ ▪
﹜ ﹜
▪ ▪
② 将下列各循环小数化为分数： 0.7＝ （★循环小数化为分数的规律，错位相减法）
； 0.12435＝
。
例 2：司机小王每天都在东西走向的中山大道上来回运送货物，若规定向东为正，向西为负， 这天下午他从位于中山大道上的单位出发，行车里程（单位：千米）如下： －25，＋15，－16，＋22，－17，－7 。 （★有理数的实际意义及应用） ① 当小王将最后一批货物送到目的地时，在单位的东边还是西边？距离单位多远？ ② 若该货车每千米耗油 0.4 升，这天下午小王送完货物返回单位共耗油多少升？
例10：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母 A，B，C，D，先让圆 周上的字母 A 对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合， 再让圆沿着数轴滚动。 若向左滚动， 则数轴上的数－2013对应的点将与圆周上哪个字母对应的点重合？若向右滚动，则数轴上的 数2014所对应的点将与圆周上哪个字母对应的点重合？（★数轴问题，循环组）
四、赛场练兵
1、 （江苏省竞赛）如图，工作流程线上 A、B、C、D 处各有一名工人，且 AB＝BC＝CD＝1，现 在工作流程线上安放一个工具箱，使 4 个人到工具箱取工具所花费的总时间最少，则工具箱 应该安放在什么位置？ （★数轴问题：点与数的对应关系）
A B C D
2、 （江苏省竞赛）点 P 在数轴上，将它沿相反数的方向移动 2014 个单位长度，若新位置和原 位置到原点的距离相等，则点 P 所表示的数是多少？ （★数轴问题：点与数的对应关系）
3、在数轴上任取一条长度为 2014 整数点。
1 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住 2014
个
4、在数轴上，一个负有理数 a 对应的点为 A，那么，与 A 相距 b 个单位（b＞0）的点所对应 的数为 的数是 。 ；与 A 相距 c 个单位（c＞0）的点中，与原点距离最远的点所对应
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例 7：一电子跳蚤在数轴上的某点 K0 处，从 K0 开始跳动，第 1 次向左跳 1 个单位长度到 K1， 第 2 次由 K1 向右跳 2 个单位长度到 K2，第 3 次由 K2 向左跳 3 个单位长度到 K3，第 4 次由 K3 向右跳 4 个单位长度到 K4， …，依此规律，当它跳了第 2014 次时，在数轴上的落点 K2014 表示 的数恰好是 2014，则初始位置 K0 所表示的数是多少？（★数形结合，探究规律）
三、中考前沿
1、如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位长度，点 A，B，C，D 对应的 数分别为整数 a，b，c，d，且 b－2a＝9，那么数轴的原点对应的点为 。
2、已知数轴上有 A，B 两点，A，B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么点 B 所对 应的数为 。