Lagrange中值定理PPT演示课件
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拉格朗日中值定理
罗尔定理回顾：
若函数 y f (x) 满足:
y
C
y f (x)
(1) 在闭区间a,b上连续；
(2) 在开区间a,b 内可导； A
(3) f (a) f (b).
o a 1
B D
2 b
x
在 a,b 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
几何意义：在一段每点都有切线的连续曲线上，若两端 点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线.
连续点,或者是f '( x)的第二类间断点.
证明：假设x0是f
(
x
)的第一类间断点，则
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)和
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)存在,由拉格朗日中值定理:
f '( x0 )
f(
x0
)
lim
h0
f ( x0 h) h
f ( x0 )
lim h0 0ch h
(
x
a)
(1) F ( x)在[a, b]上连续； y
(2) F ( x)在(a, b)内可导；
(3) F (a) F (b) 0.
A
由罗尔定理，存在 (a, b),使
F ( ) f '( ) f (b) f (a) 0. o a
ba
f ( ) f (b) f (a) .
ba
F(x)
一点 C ,在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
D
o a 1
2 b
x
5
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的等价形式: f ( ) f (b) f (a) .
ba
1 a b时结论形式不变. 2 f (a h) f (a) f ( )h,
a a h或a h a.
3 f (a h) f (a) f (a h)h, 0 a 1.
CM N
1 x
B
D
2 b x
4
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理: 如果函数 y f (x) 满足:
(1) 在区间 a,b上连续; (2) 在区间 a,b 内可导,
至少存在一点
(a,b) ,使
f ( )
f (b) f (a) . ba
几何解释: 在曲线弧 AB 上至少有
y
C
y f (x) B
则对x
R,
1 x2
f
( x)
1 1 x2
1 x2
1 1 x2
1 x2 x2
1 x2 1 x2
0.
由拉格朗日定理的推论知f ( x) C .又f (0) 0,故等式成立.
9
拉格朗日中值定理的应用
应用例题3 导函数不能有第一类间断点.
设函数f x 在(a,b)上可导,则x0 (a,b), x0或者是f '( x)的
(1,1 x)内可导, 由拉格朗日中值定理，
f (1 x) f (1) f ( ) 1 , (1,1 x),
x
因此 x ln(1 x) x.
1 x
f ( ) f (b) f (a7) .
ba
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理推论
f ( ) f (b) f (a) .
A
N
f (a) f (b).
直线AB的方程：
o a 1 x
y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
f
x
f
(a
)
f
(b) b
f a
(a)
(
x
a)
F(x)
F ( x)在a, b两端点的函数值相等.
B
D
2 b x
3
拉格朗日中值定理
f
x
f (a)
f
(b) b
f a
(a)
ba
推论:f x 在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导,则
f x c,x [a, b] f ( x) 0, x (a, b).
证明必要性：
若f ( x) c, x [a, b],则f ( x) 0, x (a, b).
证明充分性：
若x (a, b)，f ( x) 0,则对x1, x2 (a, b),
ba
11
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0
因此f ( x2 ) f ( x1 ) f x c.
8
拉格朗日中值定理的应用
例题2 证明:对x R, 有 arctan x arcsin
x
.
1 x2
证明：令f
(
x
)
arctan
x
arcsin
x
,
f '( x0 ch )
lim f ( x0 1 n) f ( x0 ) lim
n
1n
n
f '( x0 cn ) f '( x0 0)
0cn 1 n
同理可证f '( x0 0) f '( x0 ), 因此f '( x)在x x0处连续.
注：如果g( x)在点x0处左、右极限都存在,若(1) g( x0 0) g( x0 0),或者10 (2) g( x0 0) g( x0 0) g( x0 ), 称x0为g( x)的第一类间断点.
1
拉格朗日中值定理
罗尔定理回顾：
几何意义：在一段每点都有切线 的连续曲线上，若两端点的高度 相同，则在此曲线上至少存在一 条水平切线.
几何意义：在一段每点都有切线 的连续曲线上，至少存在一条切 线平行于过曲线两端点的直线?
C A
C A
B D
DB
2
拉格朗日中值定理
f (a) f (b)?
y
CM
分析: 罗尔定理要求：
h
注 以 3为例,中值 h是关于h的函数为隐函数.
6
拉格朗日中值定理的应用
应用例题1 证明不等式：x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
分析: x ln(1 x) x 1 ln(1 x) ln1 1.
1 x
1 x
x
证明: 考虑函数f (t ) ln(t), f (t )在[1,1 x]上连续,
拉格朗日中值定理的应用
思考1:
假设F ( x)定义在a, 上,具有n阶导数,满足
1 F (a) F (a) F n1 (a) 0; 2 x a, , F n ( x) 0. 证明:x a, , F ( x) 0.
思考2:
设f x为非常值非线性函数，在
[a, b]上可导，则 (a, b),使得 f ( ) f (b) f (a)
罗尔定理回顾：
若函数 y f (x) 满足:
y
C
y f (x)
(1) 在闭区间a,b上连续；
(2) 在开区间a,b 内可导； A
(3) f (a) f (b).
o a 1
B D
2 b
x
在 a,b 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
几何意义：在一段每点都有切线的连续曲线上，若两端 点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线.
连续点,或者是f '( x)的第二类间断点.
证明：假设x0是f
(
x
)的第一类间断点，则
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)和
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)存在,由拉格朗日中值定理:
f '( x0 )
f(
x0
)
lim
h0
f ( x0 h) h
f ( x0 )
lim h0 0ch h
(
x
a)
(1) F ( x)在[a, b]上连续； y
(2) F ( x)在(a, b)内可导；
(3) F (a) F (b) 0.
A
由罗尔定理，存在 (a, b),使
F ( ) f '( ) f (b) f (a) 0. o a
ba
f ( ) f (b) f (a) .
ba
F(x)
一点 C ,在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
D
o a 1
2 b
x
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拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的等价形式: f ( ) f (b) f (a) .
ba
1 a b时结论形式不变. 2 f (a h) f (a) f ( )h,
a a h或a h a.
3 f (a h) f (a) f (a h)h, 0 a 1.
CM N
1 x
B
D
2 b x
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拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理: 如果函数 y f (x) 满足:
(1) 在区间 a,b上连续; (2) 在区间 a,b 内可导,
至少存在一点
(a,b) ,使
f ( )
f (b) f (a) . ba
几何解释: 在曲线弧 AB 上至少有
y
C
y f (x) B
则对x
R,
1 x2
f
( x)
1 1 x2
1 x2
1 1 x2
1 x2 x2
1 x2 1 x2
0.
由拉格朗日定理的推论知f ( x) C .又f (0) 0,故等式成立.
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拉格朗日中值定理的应用
应用例题3 导函数不能有第一类间断点.
设函数f x 在(a,b)上可导,则x0 (a,b), x0或者是f '( x)的
(1,1 x)内可导, 由拉格朗日中值定理，
f (1 x) f (1) f ( ) 1 , (1,1 x),
x
因此 x ln(1 x) x.
1 x
f ( ) f (b) f (a7) .
ba
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理推论
f ( ) f (b) f (a) .
A
N
f (a) f (b).
直线AB的方程：
o a 1 x
y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
f
x
f
(a
)
f
(b) b
f a
(a)
(
x
a)
F(x)
F ( x)在a, b两端点的函数值相等.
B
D
2 b x
3
拉格朗日中值定理
f
x
f (a)
f
(b) b
f a
(a)
ba
推论:f x 在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导,则
f x c,x [a, b] f ( x) 0, x (a, b).
证明必要性：
若f ( x) c, x [a, b],则f ( x) 0, x (a, b).
证明充分性：
若x (a, b)，f ( x) 0,则对x1, x2 (a, b),
ba
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f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0
因此f ( x2 ) f ( x1 ) f x c.
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拉格朗日中值定理的应用
例题2 证明:对x R, 有 arctan x arcsin
x
.
1 x2
证明：令f
(
x
)
arctan
x
arcsin
x
,
f '( x0 ch )
lim f ( x0 1 n) f ( x0 ) lim
n
1n
n
f '( x0 cn ) f '( x0 0)
0cn 1 n
同理可证f '( x0 0) f '( x0 ), 因此f '( x)在x x0处连续.
注：如果g( x)在点x0处左、右极限都存在,若(1) g( x0 0) g( x0 0),或者10 (2) g( x0 0) g( x0 0) g( x0 ), 称x0为g( x)的第一类间断点.
1
拉格朗日中值定理
罗尔定理回顾：
几何意义：在一段每点都有切线 的连续曲线上，若两端点的高度 相同，则在此曲线上至少存在一 条水平切线.
几何意义：在一段每点都有切线 的连续曲线上，至少存在一条切 线平行于过曲线两端点的直线?
C A
C A
B D
DB
2
拉格朗日中值定理
f (a) f (b)?
y
CM
分析: 罗尔定理要求：
h
注 以 3为例,中值 h是关于h的函数为隐函数.
6
拉格朗日中值定理的应用
应用例题1 证明不等式：x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
分析: x ln(1 x) x 1 ln(1 x) ln1 1.
1 x
1 x
x
证明: 考虑函数f (t ) ln(t), f (t )在[1,1 x]上连续,
拉格朗日中值定理的应用
思考1:
假设F ( x)定义在a, 上,具有n阶导数,满足
1 F (a) F (a) F n1 (a) 0; 2 x a, , F n ( x) 0. 证明:x a, , F ( x) 0.
思考2:
设f x为非常值非线性函数，在
[a, b]上可导，则 (a, b),使得 f ( ) f (b) f (a)