固体物理基础答案解析吴代鸣

1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明：
如下图，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。

右边为底面的俯视图。

而三个正三角形构成的立体结构，其高度为
2．假设晶胞基矢c b a
,,互相垂直，试求晶面族〔hkl 〕的面间距。

解：
c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a
===,,
晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(
倒格子基矢：
k
c
j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i
a k c j
b ab
c c b v b
πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=
而与 〔hkl 〕晶面族垂直的倒格矢
2
22321)()()(2)
(2c
l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故〔hkl 〕 晶面族的面间距
2222
22)()()(1)()()(222c
l b k a h c
l b k a h G d ++=
++=
=ππ
π
3．假设在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答：
通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。

体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子〔即三个〕作为基元。

布拉菲晶格是简单立方格子。

4．试求面心立方结构的〔111〕和〔110〕面的原子面密度。

解：
〔111〕面
平均每个〔111〕面有22
1
3613=⨯+⨯个原子。

〔111〕面面积
()222232
322)2
2(
)2(22
1
a a a a a a =⋅=
-⋅ 所以原子面密度2
2)111(34
2
32a
a =
=
σ
〔110〕面
平均每个〔110〕面有22
1
2414=⨯+⨯
个原子。

〔110〕面面积2
22a a a =⋅
所以〔110〕面原子面密度22
)110(2
22a a
==σ
5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a
2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。

解：
倒格子基矢：
j
b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a
x i a x a a a a v b 113233212
12212222)(2)
(2222)(2===⋅⋅=⨯===⋅⋅=⨯=πππππππ
所以倒格子也是二维矩形格子。

2b
方向短一半。

最近邻;,22b b -
次近邻;2,2,,2211b b b b --
再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b
---+-
再再次近邻;3,322b b
-
做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。

再按各布里渊区的判断原那么进行判断，得：
第一布里渊区是一个扁长方形；
第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；
第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。

6．六方密堆结构的原胞基矢为：
k c a j a i a a j
a i a a
=+-=+=32123212321
试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。

解：
原胞为简单六方结构。

原胞体积：
c a j i j i c a i j ac j i a k c j i a j i a a a a v 223212
3)3()3(41)]3(2
1[)3(21])3(2
1[)3(21)
(=+⋅+=+⋅+=⨯+-⋅+=⨯⋅=
倒格子基矢：
k
c
a a v
b j i a
j i a k c c a a a v
b j i a k
c j i a c a a a v b ππππ
ππππ2)(2)3(2)]3(21[2
32)(2)3(32])3(21
[232)(22132
1322321=⨯=+-=+⨯=
⨯=+=⨯+-=
⨯=
由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。

〔注意：倒格
子是简单六方，而不是六方密堆〕
选六边形面心处格点为原点，那么最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。

次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。

再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。

所以第一布里渊区是一个六角柱体。

比倒格子六方要小。

7．略
8、证明一维NaCl 晶体的马德隆常数为2ln 2=α
证明：
，，则左右两侧对称分布任选一参考离子i
最近距离）
为晶格常数（正负离子；这里令a a a r j ij = .
为其中，异号为＋；同号; (4131211121)
＝那么，有：
-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+-=±
∑j j a α ......432)1ln(利用展开式：4
32+-+-=+x x x x x
(4)
1
312112ln ，得：1令+-+-==x
2ln 2=∴α
9、假设离子间的排斥势用ρλr
e -来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。

解：
离子为原点）
（以，则设最近邻离子间距离为i r a r r j ij = ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧±=-=-，（最近邻以外）
4），（最近邻，4)(0202
/ij ij ij r ij r e r r r e e
r u ij πεπελρ ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-
±-=∑∑-≠最近邻
/)
(02
1
42总相互作用能为：
ρ
λπεr N
i
j j
e
a r
e N U
为最近邻离子数
其中)1......(....................；42
/02Z e Z r e N
U r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=
∴-ρλπεα
)
2.....(....................4；得：0由平衡条件：/2
0020
ρ
λπεραr r r e
Z r e r U -===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂)3...(....................142得：00
02
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=
r r e N
U ρπεα )(结合能0r U E c -=
)4.........(. (91)
等离子晶体：
对于0
220r r r U Nr K NaCl =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂= )5..(..........142181/2
300200⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=∴-ρρλπεαr e Z r e r K )6........(..........1442181得：
)5(代入)2(将20023
020
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=
ρπεαπεαr e r e r K
)7.....(.. (7224)
0020
2K
r e r e πεααρ+=∴ )8..(....................4得：)2(由/2
0020ρ
περαλr e Z r e =
10、如果NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。

解：
)1........(42
总相互作用能02⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--
=n r B r e N
U πεα
)2.(..........0421020020=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+=n r r r nB r e N r U πεα )2....(..........4得：'1
12
00-⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=n e nB
r απε
)3.....(..........4得：)2(由1
002-=n r n
e B πεα
)4........(118)(得：)1(代入)3(0
02
0⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
=n r e N r U πεα 1
11
00'4)
()
2(4)()
2(可知：
)4(和)2(时，由2变为当电荷由--==n n
n
e U e U e r e r e e
11、在一维单原子晶格中，假设考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。

∑∑≠≠+
=-=j
i ij
ij j i ij ij u U u x U 2
00
41)(21解：在简谐近似下：
βφ
)(41个原子的运动方程：
第22
2∑≠∂∂-=∂∂-=j i ij ij n n n u u u U dt
u d m n β
)(41右边)
(2
)(2∑∑≠≠+∂∂-=n j nj nj n i in in n u u u ββ
))()((41)
(2)(2∑∑≠≠-+-∂∂-=n j n j nj n i i n in n u u u u u ββ
))()((21
)
()
(∑∑≠≠--
--=n
j n j nj n i i n in u u u u ββ
∑≠-=
)
()(n
i n i in u u β
∑-+=
-+p
n p n p
n p u u u )2(β
∑-+=
-=---+------p
n aq p n t i aq p n t i p
naq t i naq t i n u Ae Ae Ae m Ae
u )2(代入上式得：
设)
)(())(()(2)
(ωωωωβω ∑-=p
p paq m
)cos 1(2整理，得：
2
βω
12、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于1β和2β，试求格波的色散关系。

n
n n n n n n n u u u dt
u d m )()()(解：
2121121122ββυβυβυβυβ+-+=-+-=--
n
n n n n n n n u u u u dt d m υββββυβυβυ)()()(211121122
2+-+=-+-=++
)
()(;试探解：t naq i n t naq i n Be Ae u ωωυ----==
B
A Ae
B m A B Be A m iaq
iaq )()(代入方程，得：21212
21212ββββωββββω+-+=-+-+=--
0)
()
()(212
1221221=+-++--+-ββωββββωββm e e m iaq iaq
m
aq cos 2经计算，得：
212
221212
ββββββω++±+=
13、一维单原子晶格的格波色散关系为
)cos 1(2)(2qa M
q -=
β
ω
试求：(1)格波的模密度g(ω);
(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。

⎰-=
))((2)(解：一维时，模密度q dq l
g ωω
δπ
ω
aqdq
M
a
d M aq sin 22;21cos 由色散关系，得：2
βωωωβ
=
-=
2
/142224⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
∴ωβωββω
ωM M M a d dq
⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⋅=m
q M q M M a q q d q l g ω
ωβωββωωδωωπω02
/14
222)(4)())
(()()(22)(
2
/142224⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
ωβωββω
πM M M
a l
⎰
-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=m
T k d g T T E
C B ωυ
υ
ωω
ω
ω0
1)/exp()(晶格热容：
）
1项，（因为低温，略去4<<ωω
⎰
-⋅∂∂=∴m
B T
k e d M M a l T
C ωω
υ
ω
ωωβ
βωπ0
1 ⎰
∞
-∂∂=0
1
ω
ω
βπω
d e
T
M a
l
T
k B
)似为无穷大主要，所以上限可以近因为低温，频率低的占(
⎰∞
-=0
2
22)
1(dx e e x T k M a
l x
x
B
βπ
3
经计算，上面积分＝
2
π
T M
a lk C B ⋅=
∴β
πυ
32
14、将Debye 模型用于一维晶格，求低温下晶格热容与温度的关系，并和上题的结果进行比拟，讨论Debye 模型的合理性。

cq =ω色散关系：解：对于德拜模型，有
cdq
d =∴ω
⎰+∞
∞
--⋅=
∴))((2)(q dq l g ωωδπ
ω
⎰∞-⋅=0
))((1q d c l ωωδωπ
⎰∞
-⋅∂∂=∴0
1
)
(T k B e g d T
C ω
υ
ω
ωω
⎰∞
-=
2
22)
1(dx e e x T k c l x
x
B
π
3
上面积分＝
2
π
T c k l C B ⋅=∴
32πυ
温的情况下。

有其合理性，尤其是低成正比，说明德拜模型与上题结果比较，都与T。