15级《离散型随机变量的方差》课件
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离散型随机变量的方差 课件
X0.2 b
(2)计算X1和X2的均值和方差,并以此分析甲、乙两射手 的技术状况． 【解】 (1)由分布列的性质知,0.1＋a＋0.4＝1, 0．2＋0.2＋b＝1.即a＝0.5,b＝0.6.
(2)E(X1)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3, E(X2)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.6＝1.4, D(X1)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4 ＝0.41, D(X2)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.2＋(2－1.4)2×0.6 ＝0.64. 由上述计算知,乙的平均水平较甲好一点,但乙的稳定性 不如甲．
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏 离于均值的__平_均__程__度___,方差或标准差越小,则随机变 量偏离于均值的平__均__程__度_____越小． (3)D(aX＋b)＝_a_2D_(_X_)____． 想一想 离散型随机变量的均值E(X)和方差D(X)都反映了X取值 的平均水平,这种说法对吗？ 提示:不对．E(X)反映的是X取值的平均水平,D(X)刻画 了X与E(X)的平均偏离程度．
【名师点评】 离散型随机变量的期望反映了离散型 随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实 际决策问题中,需先运算均值,看一下谁的平均水平高,然 后再计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定,当然不 同的模型要求不同,应视情况而定．
【名师点评】 求离散型随机变量的方差常分为以下三
步:①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③
求出随机变量的方差．
题型三 应用均值和方差分析实际问题
例3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随
机变量,分别记为X1和X2,它们的分布列分别为
离散型随机变量的方差 课件
2．(1)一出租车司机从饭店到火车站途中有 6 个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率 都是13，则这位司机在途中遇到红灯数 ξ 的方差为________；
(2)篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分．已知某 运动员罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的方差．
4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任 取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、期望和方差．
解析： 由题意，得 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，所以 P(ξ＝0)＝1200＝12，P(ξ＝1)＝210，P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝230， P(ξ＝4)＝240＝15.
X
0
1
P
0.2
0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8. D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16. (2)由题意知，命中次数 Y 服从二项分布，即 Y～B(10,0.8)． ∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8， D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
[规律方法] 正确认识二项分布及在解题中的应用
___
_
_
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_
_
_
_
_
为
这
些
偏
离
程
度
的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程
度．称D(X)为随机变量X的____方__差____． n 2．标准差的概念：方差为 D(X)＝ (xi－E(X))2pi，其 i＝1
____算_术 __平__方__根____D__X_______为随机变量 X 的__标__准__差_____．
离散型随机变量的方差 课件
() A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环， 且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数 变量为ξ，乙射击时射中的环数变量为η. (1)求ξ，η的分布列. (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋ (7－9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2 ＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为 D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．
【知识点拨】 1.对随机变量X的方差、标准差的理解 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同 的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳 定性和波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中 应用更广泛．
2.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环， 且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数 变量为ξ，乙射击时射中的环数变量为η. (1)求ξ，η的分布列. (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋ (7－9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2 ＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为 D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．
【知识点拨】 1.对随机变量X的方差、标准差的理解 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同 的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳 定性和波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中 应用更广泛．
离散型随机变量的方差 课件
因为D(XA)<D(XB),所以A种钢筋质量较好.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
离散型随机变量的方差 课件
＋
(1
－
1.5)2×
1 20
＋
(2
－
1.5)2×
1 10
＋
(3
－
1.5)2×
3 20
＋
(4
－
1.5)2×15＝2.75．
(2)由 D(Y)＝a2D(X)，得 a2×2.75＝11，即 a＝±2．
又 E(Y)＝aE(X)＋b，所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2； 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4，∴ab＝＝2－2或ab＝＝－4 2.即为所求．
[解析] (1)随机变量 ξ 的所有可能取值为 0,1，并且有 P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0) ＝1－p，从而 ξ～B(1，p)，故 D(ξ)＝p(1－p)＝p－p2＝－(p2－p＋14)＋14＝－(p－12)2 ＋14，
∵0<p<1，∴当 p＝12时，D(ξ)取得最大值，最大值为14.故填14． (2)因为随机变量 ξ～B(10,0.02)，所以 D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故填
• 『规律总结』 1.如果随机变量X服从两点分布，那么其 方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．
• 2．如果随机变量C服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方 差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁 杂的计算过程．
典例 3 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ 与η，且ξ，η的分布列为：
0.196．
典例 2 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他 在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13．
(1)求这位司机遇到红灯次数 X 的均值与方差； (2)若遇上红灯，则需等待 30 秒，求司机总共等待时间 Y 的均值与方差． [解析] (1)由题意知司机遇上红灯次数 X 服从二项分布，且 X～B(6，13)， ∴E(X)＝6×13＝2，D(X)＝6×13×(1－13)＝43． (2)由已知得 Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1200．
离散型随机变量的方差ppt课件
搜寻中，除冥王星外，鸟神星是唯一一颗其亮度足以让汤博观测到的矮行星。在汤博观测的那段时间里，鸟神星距黄道只有几度，靠近金牛座和御夫座的交 界处，视星等约为.等。很不幸的是，这一位置也相当靠近银河，汤博几乎不可能从密布恒星的背景中找出鸟神星来。发现冥王星后，汤博在多年里仍在孜孜 不倦地搜寻；炒股入门知识大全 股票技术指标大全 炒股入门基础知识教程 /stock 股票入门基础知识教程 学习股票入门知识；行星，但他终未发 现鸟神星或任何其他的外海王星天体。轨道参数历元：9年月8日（JD.）；远日点：99.Gm（.AU）；近日点：.8Gm（8.9AU）；半长轴：8.Gm（.9AU）；离 心率：.9；轨道周期：8d（9.88a）；平均速度：.9km/s；平近点角：8.°；轨道倾角：8.9°；升交点黄经：9.8°；近日点参数：98.°。本征轨道参数大 小：～9km；平均半径：km；表面积：km；体积：.8×^9km；质量：×^kg；平均密度：.±.g/cm[]；表面重力：.m/s；逃逸速度：.8km/s；自转周期：未 知；转轴倾角：未知；反照率：.[]；温度：～K[c]（假定反照率不变）；视星等：.（冲）；绝对星等：(H)-.8。命名鸟神星在发现和公布时的暂定名称是FY9， 在正式命名之前，发现的外海王星天体外海王星天体团队因为他是复活节之后很短的时间内发现的，所以昵称其为“复活兔”。在8年，为符合IAU对传统柯 伊伯带天体命名为创造之神的规则，FY9被正式命名为鸟神星。这个名字源自复活岛拉帕努伊原住民神话中的创造人类的神，选择这个名字的一部份原因是要 保留发现时间与复活节之间的关联。[]物理特征大小和亮度在月于后发座冲的时候视星等约.等，这种光度使用业余天文学的高阶望远镜是可以观测到的。以 鸟神星接近8%的高反射率估计表面的温度大约是K。鸟神星精确的大小还不是很清楚，但是依据斯必泽空间望远镜的红外线观测，以及它的光谱与冥王星相 似估计，认定它的直径在,+-公里。这个数值比EL稍大，使它成为继阋神星和冥王星之后的第三大外海王星天体。鸟神星因为他的绝对星等是-.8，它的大小也 保证他足够达到流体静力平衡，已经成为太阳系的第四颗矮行星。光谱在写给《天文和天文物理》这本期刊的信中提到：在年，Licandro等人显示使用威 廉·赫歇耳望远镜和伽利略望远镜观测鸟神星的近红外线光谱与冥王星很相似。，在可见光谱中呈现红色，相对的，阋神星的光谱比较中性（参见外海王星天 体的颜色比较）。红外线光谱显示有甲烷(CH?)的存在，在冥王星和阋神星也有。但它的存在比冥王星更明显，因此建议鸟
离散型随机变量的方差 课件
E3X＋2＝3EX＋2， D3X＋2＝9DX，
即3np＋2＝
np1－p＝12.96，
解得 n＝
所以二项分布的参数n＝6，p＝0.4.
p＝0.4，
2．(改变问法)本例题条件不变，求E(3X＋2)．
[解] 由例题可知X～B5，13 所以E(X)＝5×13＝53. 故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.
2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为 什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)． 3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5，3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.
，所以X的均值E(X)＝(－1)×
1 2
＋0×
1 4
＋
1×14＝－14.
故X的方差D(X)＝－1＋142×12＋0＋142×14＋1＋142×14＝1116.
法二：(公式法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝
－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.
品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
离散型随机变量的方差 课件
离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差、标准差
已知随机变量 X 的分布列为
X1 2 3 4 5 6 7
P
1 7
1 7
1 7
1 7
1 7
1 7
1 7
求 X 的均值、方差和标准差．
[分析] 给出了随机变量 X 的分布列，由均值与方差的定义
可解答本题．
[解析] E(X)＝1×17＋2×17＋3×17＋4×17＋5×17＋6×17＋ 7×17＝17×(1＋2＋3＋…＋7)＝17×28＝4.
(1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求 ξ 的分布列和数学期望．
[分析] 先弄清楚每个试验组成为甲类组的情况：即服 A 有效的个数为 2 时，服 B 有效的个数可为 0、1 两种；当服 A 有效的个数为 1 时，服 B 有效的个数只能是 0 个．
∴E(2X－1)＝2.6.
∴ D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
方法 2：利用方差的性质 D(aX＋b)＝a2D(X)． ∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
[点评] 求随机变量函数 Y＝aX＋b 的方差，一是先求 Y 的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式 D(aX＋ b)＝a2D(X)求．
两点分布与二项分布的方差
已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 X 的期望与方差； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值与方差． [分析] (1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数 X 服从两点分布． (2)重复五次投篮的投中次数 η 服从二项分布．
求离散型随机变量的方差、标准差
已知随机变量 X 的分布列为
X1 2 3 4 5 6 7
P
1 7
1 7
1 7
1 7
1 7
1 7
1 7
求 X 的均值、方差和标准差．
[分析] 给出了随机变量 X 的分布列，由均值与方差的定义
可解答本题．
[解析] E(X)＝1×17＋2×17＋3×17＋4×17＋5×17＋6×17＋ 7×17＝17×(1＋2＋3＋…＋7)＝17×28＝4.
(1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求 ξ 的分布列和数学期望．
[分析] 先弄清楚每个试验组成为甲类组的情况：即服 A 有效的个数为 2 时，服 B 有效的个数可为 0、1 两种；当服 A 有效的个数为 1 时，服 B 有效的个数只能是 0 个．
∴E(2X－1)＝2.6.
∴ D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
方法 2：利用方差的性质 D(aX＋b)＝a2D(X)． ∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
[点评] 求随机变量函数 Y＝aX＋b 的方差，一是先求 Y 的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式 D(aX＋ b)＝a2D(X)求．
两点分布与二项分布的方差
已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 X 的期望与方差； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值与方差． [分析] (1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数 X 服从两点分布． (2)重复五次投篮的投中次数 η 服从二项分布．
课件12：2.3.2 离散型随机变量的方差
发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
甲保护区
X
0
1 23
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区
Y0
1
2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
解：甲保护区的违规次数 X 的均值和方差分别为： E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3； D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－ 1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数 Y 的均值和方差分别为： E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
仅知道均值大小是不够的，比如：两个随机变量的 均值相等(即均值相等)，这时还需要知道随机变量的 取值如何在均值附近变化，即计算其方差，方差大 说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机变量 的取值比较集中、稳定．
活学活用
甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生
动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度
解得 a＝152，b＝c＝14.
【答案】152
1 4
5．已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的均值与方差； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值与方差．
解：(1)投篮一次命中次数 ξ 的分布列为 ξ0 1 P 0.4 0.6
则 E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
3．对于已知 D(X)求 D(aX＋b)型，利用方差的性质 求解，即利用 D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
高中数学选修课件：离散型随机变量的方差
二项分布的方差公式
对于二项分布B(n,p)，其方差D(X) = np(1-p)。
方差的意义
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，用来衡量随机变量与其数学期望（即均值 ）之间的偏离程度。
泊松分布方差求解
泊松分布的概念
泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布， 由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表，适合于 描述单位时间内随机事件发生的次数。
标准差与方差在衡量数据波动大小方 面具有一致性，但在量纲上有所不同 。标准差与原始数据具有相同的单位 ，更便于在实际问题中进行解释和应 用。
03
常见离散型随机变量方差求解
二项分布方差求解
二项分布的概念
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，用X表示n重伯努 利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0,1,…,n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件 {X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
在工业生产中，通过检测产品的某项指标（ 如尺寸、重量等），并利用离散型随机变量 及其数学期望进行质量控制和改进。
02
方差定义及性质
方差概念引入
离散型随机变量的波动大小
方差用于衡量离散型随机变量取值的波动大小，即变量值与其数学期望的偏离程 度。
概率加权平均
方差实际上是各个数据与全体数据平均数之差的平方值的平均数，即概率加权平 均。
超几何分布的方差公式
对于超几何分布H(n, M, N)，其方差D(X) = n(M/N)(1-M/N)(N-n)/(N-1)。注意，这个公式在抽样不放回 且n远小于N时近似成立。
方差的意义
超几何分布的方差用于描述在有限总体的抽样中，成功抽中指定种类物件的次数与其数学期望之间的偏离程 度。这反映了抽样结果的波动性和不确定性。
对于二项分布B(n,p)，其方差D(X) = np(1-p)。
方差的意义
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，用来衡量随机变量与其数学期望（即均值 ）之间的偏离程度。
泊松分布方差求解
泊松分布的概念
泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布， 由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表，适合于 描述单位时间内随机事件发生的次数。
标准差与方差在衡量数据波动大小方 面具有一致性，但在量纲上有所不同 。标准差与原始数据具有相同的单位 ，更便于在实际问题中进行解释和应 用。
03
常见离散型随机变量方差求解
二项分布方差求解
二项分布的概念
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，用X表示n重伯努 利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0,1,…,n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件 {X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
在工业生产中，通过检测产品的某项指标（ 如尺寸、重量等），并利用离散型随机变量 及其数学期望进行质量控制和改进。
02
方差定义及性质
方差概念引入
离散型随机变量的波动大小
方差用于衡量离散型随机变量取值的波动大小，即变量值与其数学期望的偏离程 度。
概率加权平均
方差实际上是各个数据与全体数据平均数之差的平方值的平均数，即概率加权平 均。
超几何分布的方差公式
对于超几何分布H(n, M, N)，其方差D(X) = n(M/N)(1-M/N)(N-n)/(N-1)。注意，这个公式在抽样不放回 且n远小于N时近似成立。
方差的意义
超几何分布的方差用于描述在有限总体的抽样中，成功抽中指定种类物件的次数与其数学期望之间的偏离程 度。这反映了抽样结果的波动性和不确定性。
离散型随机变量的方差 课件
离散型随机变量的方差
1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则_(_x_i－__E__(X__))_2_描述了 xi(i＝1，2，…，n)相对于均值 E(X)的偏
n
(xi－E(X))2pi
离程度，而 D(X)＝_i_＝__1___________为这些偏离程度的加权平 均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．称 D(X)
X1 5% 10% P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投 资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项 目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得 利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时， f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))
64 64
(2)记“需要补种沙柳”为事件 A，则 P(A)＝P(ξ≤3)， 得 P(A)＝1＋6＋6415＋20＝2312，或 P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－ 15＋646＋1＝2312.所以需要补种沙柳的概率为2312.
题型三 均值与方差的综合应用
【例●3】
● A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别 为
为随机变量 X 的方差，其_算__术__平__方__根___D__（__X_）__为随机变量 X 的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和均值都反映了随机变量取值偏 离于_均__值__的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏 离于均值的_平__均__程__度__越__小_ ． (3)离散型随机变量方差的性质 设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ _a_2_D_(_X_)_．
1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则_(_x_i－__E__(X__))_2_描述了 xi(i＝1，2，…，n)相对于均值 E(X)的偏
n
(xi－E(X))2pi
离程度，而 D(X)＝_i_＝__1___________为这些偏离程度的加权平 均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．称 D(X)
X1 5% 10% P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投 资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项 目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得 利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时， f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))
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(2)记“需要补种沙柳”为事件 A，则 P(A)＝P(ξ≤3)， 得 P(A)＝1＋6＋6415＋20＝2312，或 P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－ 15＋646＋1＝2312.所以需要补种沙柳的概率为2312.
题型三 均值与方差的综合应用
【例●3】
● A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别 为
为随机变量 X 的方差，其_算__术__平__方__根___D__（__X_）__为随机变量 X 的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和均值都反映了随机变量取值偏 离于_均__值__的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏 离于均值的_平__均__程__度__越__小_ ． (3)离散型随机变量方差的性质 设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ _a_2_D_(_X_)_．
离散型随机变量的方差(不错的课件)
一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
P
x1
p1
p2
2
x2
· · · · · ·
pi
xi
· · · xn · · · pn
( xn E )2 pn
2 D ( x E ) p1 则称 1 n
D ( xi E ) pi 为随机变量的方差. 称
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
8
练习
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
求DX和σX。 解： EX 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2
P 1 0.3 2 0.7
50 Dx=____,s 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___, 25 x=___. 5 99 D(2x-1)=____, E(2x-1)=____, 100 s(2x-1)=_____ 10
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
(2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和
（1）利用古典概型易求. （2）X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望
公式.
23
【解】 P(A)= ∴n＝2.
(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，
(2)X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=
P(X=2)= P(X=3)=
24
∴X的概率分布列为： X P 1 2 3
1 8 28 109 E( X ) 1 2 3 . 5 45 45 45
第十五章 第4讲 离散型随机变量的期望与方差 [配套课件]
![第十五章 第4讲 离散型随机变量的期望与方差 [配套课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/309e24ff581b6bd97e19ea6e.png)
第 4 讲 离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的均值和方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … Xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)＝_x_1_p_1_＋__x_2p_2_＋__…___＋__x_ip_i_＋__…__＋__x为np随n 机变量 X 的
(1)求甲选手回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可进入决赛的概率；
第二十页，编辑于星期六：七点 三十分。
(3)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列， 并求ξ的数学期望．
误解分析：(1)第(2)问进入决赛的概率可分为答了 3 题，答 了 4 题，答了 5 题三种情况才进入决赛，在处理后两情况时容 易忽略对最后一次答题情况的思考，例如在处理答了 4 题进入 决赛的情况时，学生容易处理成 C3423313，实际上若答了 4 题 进入决赛，隐含着第四次肯定答对，前三次中答对两次，答错 一次．
因此有分布列：
ξ
3
4
5
P
1 3
10 8 27 27
故 E(ξ)＝3×13＋4×1207＋5×287＝12077.
第二十三页，编辑于星期六：七点 三十分。
【互动探究】 3．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一 测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学 继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加 5 次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间 间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． (1)求该学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束，记该生参加测 试的次数为 ξ，求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望．
第七页，编辑于星期六：七点 三十分。
1．离散型随机变量的均值和方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … Xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)＝_x_1_p_1_＋__x_2p_2_＋__…___＋__x_ip_i_＋__…__＋__x为np随n 机变量 X 的
(1)求甲选手回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可进入决赛的概率；
第二十页，编辑于星期六：七点 三十分。
(3)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列， 并求ξ的数学期望．
误解分析：(1)第(2)问进入决赛的概率可分为答了 3 题，答 了 4 题，答了 5 题三种情况才进入决赛，在处理后两情况时容 易忽略对最后一次答题情况的思考，例如在处理答了 4 题进入 决赛的情况时，学生容易处理成 C3423313，实际上若答了 4 题 进入决赛，隐含着第四次肯定答对，前三次中答对两次，答错 一次．
因此有分布列：
ξ
3
4
5
P
1 3
10 8 27 27
故 E(ξ)＝3×13＋4×1207＋5×287＝12077.
第二十三页，编辑于星期六：七点 三十分。
【互动探究】 3．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一 测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学 继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加 5 次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间 间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． (1)求该学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束，记该生参加测 试的次数为 ξ，求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望．
第七页，编辑于星期六：七点 三十分。
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考察0－1分布
X P 0 1－ p 1 p
E(X)＝0×(1－p)＋1×p ＝p
方差D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p) 标准差σ＝
D( X ) p(1 p)
x
H (n, M , N )
nM ( N M )( N n) 则D(X)＝ N 2 ( N 1)
选修2-3
第二章 概率
《离散型随机变量方差》
一、复习
1、离散型随机变量的均值的定义 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X
P
x1
p1
x2Leabharlann p2……xn
pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学 期望，记为E(X)或μ． 其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1 2、两个分布的数学期望 nM 若X~H(n,M,N) 则E(X)＝ N 若X~B(n,p) 则E(X)＝np
(2)由D(aξ＋b)＝a2Dξ＝11，E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝1，及Eξ ＝1.5，Dξ＝2.75，得2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得a＝2，b＝ －2或a＝－2，b＝4.
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们 生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：
X1 pk 0 0.6 1 0.2 2 0.1 3 0.1
X2 pk
0 0.5
1 0.3
2 0.2
3 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？ D(X1)＝0.6×(0-0.7)2＋0.2×(1-0.7)2＋0.1×(2-0.7)2 ＋0.1×(3-0.7)2＝1.01 D(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2 ＋0×(3-0.7)2＝0.61 乙的技术稳定性较好
E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7
二、离散型随机变量的方差与标准差 对于离散型随机变量X的概率分布如下表，
X x1 x2 … xn
P
p1
p2
…
pn
设μ＝E(X)，则(xi－μ)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均 值μ的偏离程度，故 (x1－E(X))2 p1＋ (x2－E(X))2 p2＋...＋ (xn－E(X))2pn (x1－μ)2 p1＋ (x2－μ)2 p2＋...＋ (xn－μ)2pn (其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1) 称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2 离散型随机变量X的标准差：σ＝ D( X )
解析：(1)由题意，ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，所以 10 1 1 2 1 3 P(ξ＝0)＝ ＝ ， P(ξ＝1)＝ ， P(ξ＝2)＝ ＝ ， P(ξ＝3)＝ ， 20 2 20 20 10 20 4 1 P(ξ＝4)＝ ＝ . 20 5
故 ξ 的分布列为：
ξ P 0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5
练习引入：
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下， 他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表 示， X1，X2的概率分布下：
X1 pk 0 0.7 0.6 1 0.1 0.2 2 0.1 3 0.1
X2 pk
0 0.5
1 0.3
2 0.2
3 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？
E(X1)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7
x
B(n, P)
则D(X)＝np(1－p)
设事件 A 发生的概率为 p，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过 1/4
4．证明：因为ξ 所有可能取的值为 0，1 且 P（ξ =0）=1-p,P(ξ =1)=p, 所以，Eξ =0×(1-p)+1×p=p 则
2
王新敞
奎屯 新疆
D ξ = （ 0-p ） ×(1-p)+(1-p) ×p=p(1-p)
1 1 1 3 1 所以，Eξ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝1.5， 2 20 10 20 5 1 1 1 2 2 2 Dξ＝(0－1.5) × ＋(1－1.5) × ＋(2－1.5) × ＋(3－ 2 20 10 3 1 2 2 1.5) × ＋(4－1.5) × ＝2.75. 20 5
2
2
1 p (1 p) 2 4
跟踪练习
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有 10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任 取一球，ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列，期望和方差； (2)若η＝aξ＋b，Eη＝1 ，Dη＝11，试求a，b 的值．