单调有界定理及其应用

本科生毕业论文（设计）
题目：单调有界定理及其应用
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完成时间： 2013年5月10日
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0 引言 (3)
1 单调有界定理的内容及其证明 (3)
2 单调有界定理的应用 (4)
2.1 定理在证明区间套定理中的应用 (4)
2.2 定理在证明柯西收敛准则中的应用 (5)
2.3定理在证明致密性定理中的应用 (6)
2.4定理在证明有限覆盖定理的应用 (6)
2.5定理在证明级数的敛散性的应用 (7)
3 总结 (12)
参考文献 (13)
致谢 (13)
【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中应用广泛.本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理.同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.
【关键词】单调有界,连续,收敛 ,可积.
【Abstarct】Monotone bounded theorem is an important theorem in the theory of limit which has extensive applications in mathematical analysis. In this article, we study its applications in the real number completeness. For example, we can make use of the theorem to prove some theorems about real number completeness. Furthermore, on the base of monotone bounded theorem of series , we prove that non-regular integral and positive series can be denoted as comparable object for each other in order to justify the other convergence by the monotonicity and integral of non-negative functions.
【Keywords】monotone bounded , continuous , convergence, integrable.
0.引言
在现行的《数学分析》教材中, 通常都把确界原理作为公理给出, 用来反映实数集的连续性(完备性).以此公理作为理论基础, 先证单调有界定理, 用以判别单调数列极限的存在性.至于判别更一般的数列极限是否存在, 就要引用柯西准则, 但柯西准则的充分性证明, 却要放到很后的位置, 作为较难的问题专门处理, 与此相关的判别函数极限存在的柯西准则, 以及在闭区间上连续的函数具有的各种性质的证明, 也就建立在这样一种不甚踏实的基础之上.因此，我们应该用的技能是一个多元关系的观点，自觉的开发技能，引导师范生开发技能.
1.单调有界定理的内容及其证明
所谓单调有界定理指的是，实数范围内有界的单调数列必然存在极限，也就是说当实数数列单调上升（或单调下降）且有上界（或下界）时，该数列极限必存在.（注：在本篇论文中以单调上升有上界的情况作为论述对象，单调下降有下界情况与此相同） 现对单调有界定理进行证明，证明如下：
不妨设{n a }为有上界的递增数列，由确界原理，数列{n a }有上界，记{}sup n a a =.下面证明a 就是{n a }的极限.事实上，任给0ε>,按上确界的定理，存在数列{n a }中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{n a }的递增性，当n N ≥时有N n a a a ε-<≤.
另一方面，由于a 是{n a }的一个上界，故对一切n a 都有n a a a ε≤<+.所以当n N ≥时有n a a a εε-<<+,这就证得lim n n a a →∞
=.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其
极限即为它的下确界.
通过以上对单调有界定理的证明，对单调有界定理有了一定的认识与了解，单调有界定理在数学理论证明中应用很广,接下来我将应用单调有界定理来证明区间套定理、柯西收敛准则、致密性定理、有限覆盖定理及数列的敛散性.
2.单调有界定理的应用
2.1 以单调有界定理来证明区间套定理
设{[n n a b ]}是一个区间套，根据区间套定理可知在实数系中存在唯一的一个点ξ∈{[n n a b ]}，n=l,2…,即：n a <ξ<n b , n=l,2…. 具体证明如下:
由区间套的定义可知{n a }为递增有界数列，由单调有界定理可知，数列{n a }存在极限ξ，且n a ≤ξ，n=l,2….
同理，根据区间套的定义可知,{n b }为递减有界数列，同样根据单调有界定理可知 {n b }存在极限也是ξ，n b >ξ，n=l,2….这样根据n a ≤ξ，n b >ξ（n=l,2…）就可知n a <ξ<n b （n=l,2…）.
下面证明ξ的唯一性.
设'ξ同样满足不等式n a ≤'ξ≤n b ，n=l,2…,根据n a <ξ<n b （n=l,2…）可知 |ξ- 'ξ|≤n b -n a ，n=l,2…，再由区间套定义就可得出|ξ-'ξ|≤()lim 0n n n b a →∞
-=，由
此就可得出结论'ξ=ξ，到此证明完毕.
注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间那么才能保证定理的结论成立.对于开
区间列，如1(0,)n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且1lim(0)0n n →∞-=，
但不存在属于所有开区间的公共点.
2.2 以单调有界定理来证明柯西收敛准则
柯西收敛准则：数列{n a }收敛的充分必要条件为：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n ，m>N 时有n m a a ε-<. 具体证明如下： ①必要性证明：
当{n a }有极限时（设极限为a ），ε>0，N （N 为正整数）.当n ，m>N 时，
|n a -a|<2ε,|m a -a|<2
ε
，所以|n a -m a |≤|n a -a|+|m a -a|<ε，由此可得出{n a }是一个柯西数列. ②充分性证明：
先证明柯西数列{n a }是有界的.取ε=1，由于{n a }是柯西数列，所以{n a }存在一个正整数0N ，当n>0N 时，有|n a -01N a +|<1.也就是说，当n>0N 时|n a |≤|01N a +|+1，即{n a }有界.然后设a ≤n a ≤b ，我们可用如下方法取得{n a }的一个单调子列{k n a }， （1）取{k n a }⊂{n a }，这样就使得[a, k n a ]或[k n a ,b]中都含有无穷多的{n a }的项. （2）在[a, k n a ]或[k n a ,b]的区间中取1k n a +∈{n a }且满足条件（1），并且让1k k n n +>. （3）在取顶时要保持方向的一致性，即要么由a b →，要么由b a →，这时通过数列{n a }
的性质可知，以上三点可以做到，这样取出的一个数列{k n a }⊂{n a }，且{k n a }是一个单调有界数列，由此可知该数列必存在极限，设该极限值为a. 接下来要证明的是数列{n a }收敛于a.
由于lim k n n a a →∞
=，则对于任意给定的ε>0，都存在正整数K ，在当k>K 时存在
|k n a -a|<
2
ε
.且由于{k n a }为柯西数列，因而存在正整数N ，当n,m>N 时|n a -m a |<
2
ε
.
取0n =max(k+1,N+1)时，有0n ≥1k n +>N 和0n >k+l>k ，所以当n>N 时，|n a -a|≤|n a -0
n n a |+|0
n n a -a|<ε，由此可知{n a }收敛于a.通过必要性及充分性的证明可知数列
{n a }收敛的充分必要条件为{n a }为柯西数列.
这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题.柯西准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实: 收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.另外，柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了
n a 与m a 的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a ，只要根据数列本身的特征就可以
鉴别其（收）敛（发）散性.
2.3 以单调有界定理证明致密性定理
致密性定理：有界数列必含有收敛子列.
下面通过单调有界定理来证明该定理，先要证明的是有界数列必含有单调子列.
首先设{n a }为有界数列，记n a =sup{n a ,1n a +,…}，n a =inf{n a ,1n a +…}， 下证{n a }为递减有界数列，{n a }为递增有界数列.
由定义知n a =sup{n a ，1n a +，…},1n a +=sup{1n a +,2n a +，…}而n a =inf{n a ,1n a +,…}，
1n a +=inf{1n a +,2n a +，…},因为{1n a +,2n a +，…}⊂{n a ,1n a +,…},所以n ∈N +，则存在1n a +≤n a 及1n a +≥n a ，即为{n a }递减数列，为{n a }递增数列，又因为{n a }为有界数列，{n a }及{n a }为其子列，所以{n a }及{n a }也是有界数列，即{n a }为递减有界数列，为{n a }
递增有界数列.
以上是对致密性的证明，致密性定理在很多方面都有应用，如用它证数列的柯西收敛准则中的充分性，在此不给以证明.
2.4 以单调有界数列证明有限覆盖定理
有限覆盖定理：设H 为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].
下面用单调有界数列来进行证明，具体证明如下：
用反证法：假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间的覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间，则在这两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来
覆盖，将这个子区间记为[1a ,1b ]，则[1a ,1b ]包含于[a,b]，且1b -1a = 1
()2
b a -.再讲等
分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为[2a ,2b ]⊂[1a ,1b ]，且222
1
()2b a b a -=
-. 接着讲上述的步骤重复进行就可以得到一个闭区间列{[n n a b ]}，所以得出{n a }为递增有界数列，然后根据单调有界数列可知{n a }存在极限ξ，同理可得递减有界数列{n b }也存在极限且lim lim n n n n b a ξ→∞
→∞
==.
通过上述的证明可知{n a ，n b }只需要H 中的一个开区间(,)αβ就能覆盖，这与挑选{n a ，n b }时的假设“不能用H 中有限个开区间的覆盖”矛盾，由此可知当H 为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].
注：此定理只对闭区间[a,b]成立，而对开区间则不一定成立.例如，开区间集合
1(
,1)1n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
(1,2,3)n L =构成了开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住(0,1).
2.5 级数的敛散性
在高等数学中，如何判别级数的敛散性，我们一般采用达郎贝尔判别法，柯西判别法，比较原则等.然而这些方法在解决某些级数的敛散性问题时，有时显得不那么方便，
不那么有力，为此将以单调有界原理为基础给出一个应用广泛，行之相当有效的定理，并就此定理及其应用展开讨论.
定理：若（I ）f(x)在[1,+∞)上单调递减且f(x)为非负函数，
（II ）1
1
()()(1,2,3)n
n
n k a f k f x dx n ==-=∑⎰L ，
则（1）0(1)()n a f n Z +≤≤∈, （2）1(1,2,3)n n a a n +≤=L , （3）{}n a 收敛记lim n n a α→∞
=,
（4）0(1)f α≤≤,
（5）(0,)n n n a n αεε=+→→∞,
（6）1
1
()()(0,)n
n
n n k f k f x dx n αεε==++→→∞∑⎰,
（7）1
1
()()n
n
n k f x dx f k αε==--∑⎰,
（8）1()n k f k =⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
∑收敛{}
1
()n
f x dx ⇔
⎰
收敛,
（9）1
()n f n ∞
=∑收敛1
()f x dx ∞
⇔⎰收敛,
单调有界原理：任何有界的单调数列一定有极限.
换言之：（1）若{}n a 是递增有上界数列，则{}n a 收敛且极限为sup {}n a = α， 即lim n n a α→∞
=.
（2）若{}n a 是递减有下界数列，则{}n a 收敛且极限为inf {}n a =β， 即lim n n a β→∞
=.
有关单调有界原理的证明方法很多，这里我们略去不证.在满足单调有界条件后，运用单调有界原理处理有些问题是很方便的.更为重要的是由单调有界原理出发可以证
明前面开篇给出的定理. 证明定理分两步进行：
（1） 先证{}n a 有下界（1
1
()()n
n
n k a f x f x dx ==-∑⎰）
(1)(1)(21)0f f =-≥ 1
11(1)()(1)0a f f x dx f =-=≥⎰
(2)(2)(32)f f =- 2
21(1)(2)()a f f f x dx =+-⎰
2
1
(1)(21)()(2)0f f x dx f =--+≥⎰
M M M
1
1
()()n
n
n k a f x f x dx ==-∑⎰
(1)(2)()f f f n =+++L
-2
31
21
(
()()())n
n f x dx f x dx f x dx -+++⎰
⎰⎰
L
1
1
(()())()0n
k k
k f k f x dx f n +==-+≥∑⎰
这说明{}n a 有下界. （2） 再证{}n a 单调: 因为 1
1
11
1
11
(()())(()())n n
n n
n n k k a a f k f x dx f k f x dx +++==-=---∑∑⎰
⎰
1
11(1)()()n n f n f x dx f x dx +=++-⎰⎰
11
1
(1)()(()())n n
n n
f n f x dx f x dx f x dx +=++-+⎰⎰⎰
1
(1)()0n n
f n f x dx +=+-<⎰
⇒{}n a 单调递减1n n a a +≤
123(1)0n f a a a a =≥≥≥≥≥L
因为{}n a 单调递减有下界,据单调有界原理
⇒{}n a 收敛 , 记lim n n a α→∞
=⇒(0,)n n n a n αεε=+→→∞
又由 0(1)n a f ≤≤ ⇒0(1)f α≤≤ 从 1
1
()()n
n
n k a f k f x dx ==-∑⎰
可以推出
1
1
()()n
n
n n f n f x dx αε==++∑
⎰
1
1
()()n
n
n k f x dx f k αε==--∑⎰
不难得出 1()n k f k =⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
∑收敛{}
1
()n
f x dx ⇔
⎰
收敛
1
()n f n ∞
=∑
收敛1
()f x dx ∞
⇔⎰收敛
完成定理的证明后，我们不妨来看一下华师大数学分析上册P46的一个例题： 例1：设11111,2,323n a n n ααα
=+
+++=L L ,这里实数α≥2，证明{n a }收敛.
书中是这样证明的： 因为{n a }递增
又 222
111
123n a n ≤+
+++
L 1111
1122334(1)n n
≤+
++++⨯⨯⨯-⨯L 11111
1(1)()()2231n n
=+-+-++--L
122(1,2,3)n n
=-
<=L 于是由单调有界定理{n a }收敛. 显然，在α≥2 时用上述方法证明是完全可取的，但如果问当0<α<2 时，α≤0 时{an}的敛散性，书中的方法就显得力不从心了.那么若运用前面给出的定理，这一问题将迎刃而解.
例2. 设11111,2,323n p p p
a n p R n =+
+++=∈L L ,证明:{n a }当p>1时收敛，当p ≤1 时发散.
（I ）当p=1 时111123n a n =++++L 即是我们常见的调和级数，它是发散的.运用定理，同样可以判断它是发散的. 因为1()f x x =
在[1,+∞)单调递减且非负 11()()n n
n k A f k f x dx ==-∑⎰ 极限存在 记lim n n A α→∞
=
11()()n n
n n k a f k f x dx αε===++∑⎰
又 1
11()ln n n f x dx dx n x ==⎰⎰ 当n →∞ 时，1()ln n
f x dx n =⎰是发散的，所以lim n n a →∞=+∞
即 {n a }在p=1 时是发散的 取1()p f x x =在[1,+∞)，p>0 时是递减的且非负，11
()()n n n k A f k f x dx ==-∑⎰ 极限存在 记为lim n n A α→∞=，111111()123n
n n p p p p k k a f k k
n =====++++∑∑L =1()n
n f x dx αε++⎰.
（II ）当p>1 时11n n n p a dx x αε=++⎰
因为11111111111n p n
p p dx x n x p p p
--==----⎰，且p>1，所以当n →∞ 时，
有 11111111n p p dx x p p n -=---⎰趋于11p - 即 1
1n p dx x ⎰收敛1()n n k a f k =⇒=∑在p>1 时收敛. （III ）当0<p<1 时，11n n n p a dx x
αε=++⎰
因为11111111111n p n
p p dx x n x p p p
--==----⎰，且0<p<1，所以当n →∞ 时， 有 11111111n
p p dx x p p n
-=---⎰发散， 即 1
()n
n k a f k ==∑在0<p<1 是发散的.
（IV ）当p ≤0 时{n a }是单调递增无上界lim n n a →∞
=+∞,所以是发散的. 通过对例2 的讨论，我们可以看出运用定理不仅解决了α≥2 的情况而且当α<2 的情况也清楚了.从中不难发现运用定理将级数敛散性问题转化为积分与数列的敛散性问题，从而降低了难度，也使许多问题归纳成系统.所以在今后判断敛散性问题上，可依据题意要求灵活运用定理加以判断.
3.总结
单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中常用于数列及函数的收敛性，并且单调有界定理与实数完备性也密切相关.以上通过利用单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明了实数完备性的几大定理（区间套定理、柯西收敛准则、致密性定理、有限覆盖定理）;同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.
参考文献
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致谢：感谢我的导师方爱香老师，她严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样,在这里请接受我诚挚的谢意！。