高一数学必修第二册期中测评(一)

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11．已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋12cos 4x，若 α∈(0，π)，且 f(α)＝ 22，则 α
的值为( AC )
π A.16
B．1116π
9π
7π
C.16
D.16
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解析 ∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋12cos 4x＝cos 2xsin 2x＋12cos 4x＝12sin 4x＋12cos 4x＝ 22sin4x＋π4，∴f(α)＝ 22sin4α＋π4＝ 22，则 sin4α＋π4＝1，∴4α＋π4＝2π＋2kπ(k ∈Z)，即 α＝1π6＋k2π(k∈Z)．又 α∈(0，π)，∴当 k＝0 时，α＝1π6；当 k＝1 时，α＝196π. 故选 AC.
期中测评(一)
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时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列等式成立的是( C )
A．sin π3＝12
B．cos 56π＝－12
C．sin－76π＝12
D．tan 23π＝ 3
＝－sin A＝－12.
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3．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B )
A. 3
B．2 3
C．4
D．12
解析 a＝(2,0)，∴|a|＝2.|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×1
＝12，∴|a＋2b|＝2 3.
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7．已知向量 m＝(cos θ，sin θ)和 n＝( 2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|
＝852，则 cos2θ＋8π的值为( A )
A．－45
B．45
C．－35
D．35
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解析 m＋n＝(cos θ－sin θ＋ 2，cos θ＋sin θ)，|m＋n|＝
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19．(12 分)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝(2b ＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求 A 的大小； (2)若 sin B＋sin C＝1，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，则 a2＝b2＋c2＋bc. 又由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 cos A＝－12. 又 0°<A<180°，∴A＝120°.
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4．已知李华要去投放可回收物和有害垃圾这两类垃圾，他从自家楼下出发，向
正北方向走了 80 米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东 60°方向走了 30 米，到达可回
收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走( D )
A．50 米
B．57 米
C．64 米
D．70 米
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解析 由题意可知，李华的行走路线如图所示， 由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BCcos 60° ＝ 6 400＋900－2×80×30×12＝70(米)， 故他回到自家楼下至少还需走 70 米．
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10．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E 为 BC 边上一点，且B→C＝3E→C，F 为 AE 的中点，则( ABC )
A.B→C＝－12A→B＋A→D B.A→F＝13A→B＋13A→D C.B→F＝－23A→B＋13A→D D.C→F＝16A→B－23A→D
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(2)由(1)中 a2＝b2＋c2＋bc，结合正弦定理，可得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C ＝34，即(sin B＋sin C)2－sin Bsin C＝34.
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18．(12 分)已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c， 且C→M＝3c，C→N＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求点 M，N 的坐标及向量M→N的坐标．
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6．E，F 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan∠ECF＝( D )
16 A.27
B．23
3 C. 3
D．34
解析 取 AB 的中点 D，连接 CD，则∠ECF＝2∠ECD，设 AB＝2a，则 CD＝AD
＝a，ED＝a3，tan∠ECD＝CDDE＝13，∴tan∠ECF＝tan 2∠ECD＝12－×13132＝34，故选 D.
解析 ∵cos θ＝|aa|·|bb|＝45(θ 为 a 与 b 的夹角)，∴向量 a 在向量 b 方向上的投影数 量为|a|·cos θ＝16．已知 1
α，πβ，γ∈0，π2，sin
α＋sin
γ＝sin
β，cos
β＋cos
γ＝cos
α，则
cos(β－α)
＝ 2 ，β－α＝ 3 .
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5．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan Atan B 且 sin Acos A＝ 43，则此三角 形是( C )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
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解析 ∵12sin 2A＝ 43，∴sin 2A＝ 23，∴A＝30°或 60°.又 tan A＋tan B＝－ 3(1 －tan Atan B)，∴1t－antAan＋AttaannBB＝－ 3，即 tan(A＋B)＝－ 3，∴A＋B＝120°.若 A＝ 30°，则 B＝90°，tan B 无意义，∴A＝60°，B＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
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解 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6， －42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.， ∴实数 m 的值为－1，n 的值为－1.
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14．在△ABC 中，若 a<b<c，且 c2<a2＋b2，则△ABC 为 锐角 三角形． 解析 ∵c2<a2＋b2，∴cos C＝a2＋2ba2b－c2>0，∴C 为锐角．∵a<b<c，∴C 为最大 角．∴△ABC 为锐角三角形．
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12 15．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影数量为 5 .
解析 sin π3＝ 23，cos 56π＝－ 23，tan 23π＝－ 3，sin－76π＝12.故选 C.
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2．如果 sin(π＋A)＝－12，那么 cos32π－A的值是( A )
A．－12
B．12
C．－
3 2
D．
3 2
解析 由 sin(π＋A)＝－12，得 sin A＝12，则 cos32π－A＝cosπ＋π2－A＝－cos2π－A
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解析 ∵AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，由向量加法的三角形法则得，B→C
＝B→A＋A→D＋D→C＝－A→B＋A→D＋12A→B＝－12A→B＋A→D，A 正确；∵B→C＝3E→C，∴B→E＝23B→C ＝－13A→B＋23A→D，∴A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋－13A→B＋23A→D＝23A→B＋23A→D，又 F 为 AE 的中 点，∴A→F＝12A→E＝13A→B＋13A→D，B 正确；B→F＝B→A＋A→F＝－A→B＋13A→B＋13A→D＝－23A→B＋13 A→D，C 正确；C→F＝C→B＋B→F＝B→F－B→C＝－23A→B＋13A→D－－12A→B＋A→D＝－16A→B－23A→D， D 错误．
a|＝ 2sin a·22－cos a·22＝ 2sina－π4≤ 2(a∈R)，∴MNmax＝ 2.
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二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)
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解析 由题意，得 sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，∴(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，
∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12. ∵α，β，γ∈0，π2，∴sin γ＝sin β－sin α>0，β－α∈－2π，π2，∴β>α，∴β－α ＝π3.
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四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)
17．(10 分)设 tanα＋87π＝a，求 ssiinn125707ππ＋－αα＋－3ccoossαα＋－217273ππ的值．
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解 原式＝ sinπ＋87π＋α＋3cosα＋87π－3π sin4π－87π－α－cosα＋87π＋2π ＝－－ssiinn887π7π＋＋αα－－3ccoossαα＋＋8787ππ ＝ttaann8877ππ＋ ＋αα＋＋13＝aa＋ ＋31.
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(3)设 O 为坐标原点． ∵C→M＝O→M－O→C＝3c，∴O→M＝3c＋O→C＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)． 又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b，∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴ N(9,2)．∴M→N＝(9，－18)．
θ＝－1225，所以 A 正确；(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4295，因为 θ∈(0，π)，所以 sin θ>0，cos θ<0，即 sin θ－cos θ>0，所以 sin θ－cos θ＝75，所以 B 错误，C 正确；
sin 联立
sin
θ＋cos θ－cos
θ＝15， θ＝75，
sin 解得
cos
θ＝45， θ＝－35，
所以 tan θ＝－43，所以 D 正确．
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三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 1
13．计算：sin 750°＝ 2 . 解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.
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1＋2275＝－45.
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8．若动直线 x＝a(a∈R)与函数 f(x)＝sin x 和 g(x)＝cos x 的图象分别交于 M，N
两点，则 MN 的最大值为( B )
A．1
B． 2
C. 3
D．2
解析 依题意得点 M，N 的坐标分别为(a，sin a)，(a，cos a)，∴MN＝|sin a－cos
cos θ－sin θ＋ 22＋cos θ＋sin θ2
＝ 4＋2 2cos θ－sin θ＝2 1＋cosθ＋π4. 由|m＋n|＝85 2得，cosθ＋4π＝275.又 θ∈(π，2π)，所以58π<θ2＋π8<98π，所以 cosθ2＋8π
<0，所以 cosθ2＋π8＝－
1＋cos2θ＋π4＝－
9．若角 α 的终边在第二象限，则下列三角函数值中小于零的是( AB ) A．sinα＋π2 B．cosα＋π2 C．sin(π－α) D．cos(π＋α) 解析 ∵角 α 的终边在第二象限，∴sin α>0，cos α<0.对于 A，sinα＋π2＝cos α<0；
对于 B，cosα＋π2＝－sin α<0；对于 C，sin(π－α)＝sin α>0；对于 D，cos(π＋α)＝－ cos α>0.故选 AB.
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12．已知 sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，则( ACD ) A．sin θcos θ＝－1225 B．sin θ－cos θ＝1225 C．sin θ－cos θ＝75 D．tan θ＝－43
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解析 因为 sin θ＋cos θ＝15，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝215，即 sin θcos