自动控制原理例题6

例1 已知开环系统传递函数
)
1)(12.0)(11.0()(+++=
s s s s K
s G
试求： （1）1=K 时系统的幅值裕度和相角裕度；
（2）闭环临界稳定时的开环增益； （3）在（1）的
K 值下，如果开环传递函数中增加一个延迟时间为
s 6.0=τ的延迟环节，问系统是否稳定，若使系统稳定，延迟时间应不大于多少？
解：为求系统的幅值裕度和相角裕度，首先要求出系统的相角穿越频率g ω和幅值穿越频率c ω，求g ω和c ω的方法有多种。

法一：解析法
利用关系式 o 180)(−=g ωφ，得：
o o 180arctan 2.0arctan 1.0arctan 90)(−=−−−−=g g g g ωωωωφ
运用三角公式 αβ
β
αβαm 1arctan
arctan arctan ±=±并整理，得
o 9002.013.0102.013.0arctan
2
2
2=−−
+−g
g
g
g
g
ωωωωω
则 002.013.012
2
=−−g
g ωω
故 77.1=g ω
dB
j G K g g g g g gdB 101lg 201)2.0(lg 201)1.0(lg 20lg 20)(lg 202
22≈++++++=−=ωωωωω32.0)
(1
==
g g j G K ω
求c ω，利用关系式1)(=c j G ω，即
11
1)2.0(1)1.0(1
22
2=+++c
c c c ωωωω 可近似计算得1=c ω
o o o o 28arctan 2.0arctan 1.0arctan 90180)(180=−−−−=+=c c c c ωωωωφγ
法二：图解法
根据开环系统的对数频率特性曲线确定g ω和c ω后，求出相应的γ和g K 。

绘制系统对数频率特性曲线如图4所示，可直接读出1=c ω，77.1=g ω。

（2）闭环临界稳定时，1=g K ，o
0=γ。

应用此两个条件即可求出临界稳定时
的K 值。

⎪⎩
⎪⎨⎧=−−−−==+++++++−=0arctan 2.0arctan 1.0arctan 9018001lg 201)2.0(lg 201)1.0(lg 20lg 20lg 20222c c c c c c c gdB K K ωωωγωωωωo o 解方程求得：77.1=c ω，2.3=K
（3）当1=K 时，如果开环传递函数中增加一个延迟时间为s 6.0=τ的延迟环节，
则系统的对数幅频特性曲线不变，即不改变截止频率c ω，而相频率特性增加
o ωτ3.57−。

当s 6.0=τ时，在1=c ω处增加o o 4.3416.03.57−=××−的相位，增加的相位绝对值大于原系统的相角裕度，因此此时系统稳定裕度o o o 4.6284.34−=+−=γ。

要使系统稳定，在1=c ω处产生的相角滞后不应超过o 28，即临界延迟时间e
τ应满足：2813.57=××e τ，s e 5.0=τ。

故使系统稳定的延迟时间应小于s 5.0。

图1
说明：求解系统的相角裕度和幅值裕度的关键在于求开环系统的幅值穿越频率
c ω和相角穿越频率g ω，总结c ω和g ω的求解方法如下：
1) 求解相角穿越频率g ω：
① 解析法1：利用关系式o
180)(−=g ωφ和三角公式
αβ
β
αβαm 1arctan
arctan arctan ±=±求出g ω。

解析法2：由o 180)(−=g ωφ，说明)()()(ωωωjV U j G +=中的0)(=ωV ，再由0)(=ωV 可求出g ω。

② 图解法
2) 求解幅值穿越频率c ω：
可利用1)(=c j G ω求出截止频率。

为避免求高阶方程，采用近似方法求解。

以交接频率划分频段范围，若)()(ωωj G j G i ∏=，按下式近似处理环节的幅频
特性
⎪⎩⎪⎨⎧>≤≈+=i i
i i
i j j G ωωωωωωωω
ω11)(
写出不同频段内开环频率特性的近似表达式，计算满足1)(=ωj G 的ω。

若所得的ω位于相应的频段范围，即此ω即为所求的c ω。

例 2 已知一直流电动机调速系统如图2所示，其电机时间常数
s K K JR
T E
M m 5.0==
，反电势系数,/1.0rad s V K E ⋅=,/1.0A m N K M ⋅=
Ω=4R ，功率放大器()1
05.010
1+=
s s G ，测速反馈系数，rad s V K n /1.0⋅=，
ms T 5.12,2=，()s G j 为校正放大器传递函数。

1) 图3曲线I 为()10=s G j 时的开环传递函数的对数幅频特性，试求出转折
频率，系统闭环稳定否？ 2) 若()s
s s G j 1
5.0+=
，试画出开环对数幅频特性，注出转折频率，剪切频率，并求出相角裕量,
系统闭环稳定否？
图2
图3
解: 本题是实际应用题，代入实际参数时应注意量纲一致。

1) 设小闭环传递函数为()s G 2
则 ()15.010111111
12+=+=⋅⋅⋅+⋅
⋅=
s K K RJ K K Js K R Js K R s G E
M E
E M M
设开环传递函数为()s G 0，则
()()()()()()()
10125.0105.015.0100
10125.01
.015.010105.010101
2210+++=
+×
+×+×
=+⋅
=s s s s s s s T K s G s G s G s G n
j
转折频率分别为
s
rad s
rad s rad /800125
.01
/2005.01
/25.01
321======
ωωω 由图3可得剪切频率
()
()()()o
o o 8.18630125.0arctan 6305.0arctan 635.0arctan 180180/6311−≈×−×−×−=∠+=≈c c j G s rad ωγω 故当校正环节()10=s G j 时，系统不稳定。

2．当()s
s s G j 1
5.0+=
，设开环传递函数为()s G *0，则
()()()
10125.0105.010
10125.01
.015.010105.01015.0*0++=
+×
+×+×+=
s s s s s s s
s s G 其开环对数幅频特性伯德图如图3中曲线Ⅱ所示。

其转折频率分别为
s
rad s rad /800125
.01
/2005
.01
21====
ωω 由图3可得剪切频率
()
()()o
o o o 3.56100125.0arctan 1005.0arctan 90180180/1022≈×−×−−=∠+=≈c c j G s
rad ωγω
故当校正环节()s
s s G j 1
5.0+=时，系统稳定。

例3 单位反馈系统的开环传递函数为())
101.0(400
2+=
s s s G ，图4为三
种推荐的串联校正网络特性，它们均由最小相角环节组成。

试问：
（1） 在这些校正网络特性中，哪一种可使系统的稳定程度最好？ （2） 为了将12HZ 的正弦噪声削弱10倍左右，采用哪种校正网
络特性合适？
解：（1）由图4可得校正网络传递函数为：
（a ）()11.01++=s s s G c （b ）()11001
10++=s s
s G c ; （c ）()⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=14011.0122
s s s s G c
以图（a ）作校正网络 ())
110)(101.0()
1(400)()(2'
+++=
=s s s s s G s G s G c
截止频率 32.640==ca ω，相角裕度
o
o o o 7.1132.810arctan 32.601.0arctan 18032.6arctan 180)(180'−=×−×−−+=∠+=ca a j G ωγ 以图（b ）作校正网络 ())
101.0()
101.0(400)()(2'
++=
=s s s s G s G s G c
截止频率 40=cb ω，相角裕度
o o o o 36.324001.0arctan 2180401.0arctan 180)(180'=××−−×+=∠+=cb b j G ωγ
以图（c ）作校正网络())
1025.0)(110)(101.0()15.0(400)()(2
2
'
++++==s s s s s s G s G s G c 截止频率 10=cc ω，相角裕度
o
o o 21.4810025.0arctan 1010arctan 1001.0arctan 180105.0arctan 2180=×−×−×−−×+=c γ可见：用（a ）作校正网络，系统不稳定；用（c ）作校正网络稳定 程度最好，但响应速度比（b ）作校正网络慢。

（2）校正及原系统的伯德图见图5，要使12HZ 的正弦噪声削弱10倍左右，意味着12HZ 正弦信号经过系统后幅值衰减10倍左右。

dB
s rad f HZ
f 201.0l
g 20/4.75212−====πω 对于单位反馈系统，高频段闭环特性与开环幅频特性基本一致，从图上看在s rad /4.75=ω处，幅度下降dB 20的只有c L ，即采用（c ）校正网络可达到要求。

图4 校正网络特性
图5 校正后及原系统伯德图
例4 单位负反馈最小相位系统的开环对数幅频特性如图6所示，其中虚线为未加校正的，实线为加串联校正的。

（3） 求串联校正装置的传递函数)(s G c ？
（4） 求串联校正后，闭环系统稳定的开环放大倍数K 的取值范
围？
图6
解：（1）未校正开环系统的传递函数为
()⎟⎠
⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+=
13)1(14.0s
s s K s G o
o 由幅频特性曲线得：10=o K 已校正系统的开环传递函数为
()⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=
12011014.012s s s s s K s G o 由幅频特性曲线得：501.0lg 20lg 20=−K
6.31=K
故 ()⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++==1201101312)1(16.3)()(s s s s s s s G s G s G o c （2）由
o
o
18020
arctan
10
arctan
4
.0arctan
2
arctan
90)(−=−−−+−=∠g
g
g
g
g j G ωωωωω 得5.13=g ω
闭环系统稳定，要求幅值裕度0)(lg 20>ω=g g j G K 得126.91<K
闭环系统稳定的K 值范围是：126.910<<K。