2021届南通市高三数学一模调研测试及答案

南通市2021届高三第一次调研测试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{}26A x x =∈<<N ，{}
2log (1)2B x x =-<，A B = A ．{}
35
x x ≤<B ．{}
25
x x <<C ．{}3,4D ．{}
3,4,52．已知2i +是关于x 的方程2
50x ax ++=的根，则实数a =A ．2i
-B ．4
-C ．2
1
2
D ．4
3．哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1,2,3,4,5,6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为
A ．11
B ．13
C ．15
D ．17
4．医学家们为了揭示药物在人体呢吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数kt k -
试发现，当23t =时，0
2k x k
=，则该药物的消除速率k 的值约为(ln 20.69)≈A ．
3100
B ．
310C ．
103
D ．
1003
5．(12)n
x -的二项展开式中，奇数项的系数和为A ．2
n
B ．1
2
n -C ．
(1)32n n -+D ．
(1)32
n n --6．函数sin 21
x
y x π=
-的图象大致为
7．已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：PA PB PC ++=0
；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- ；丙：PA PB PC == ；
丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ .
如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
8．已知曲线ln y x =在11(,)A x y ，22(,)B x y 两点处的切线分别与曲线e x
y =相切于33(,)C x y ，
44(,)D x y ，则1234x x y y +的值为
A ．1
B ．2
C ．
52
D ．
174
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则A ．若m α ，n α ，则m n B ．若m α ，m β⊥，则αβ
⊥C ．若α
β ，m α⊥，n β⊥，则m n
D ．若αβ⊥，m α
，n β ，则m n
⊥10．已知函数()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．将sin 2y x =的图象上所有点向右平移6
π
个单位长度，可得到()f x 的图象C ．()f x 在,63ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增D ．点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是()f x 图象的一个对称中心
11．若函数32,1,
()1ln ,
1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨
+-≥⎩的值域为[2,)+∞，则A ．(3)(2)f f >B ．2
m ≥C ．ln 212e f f ⎛⎫
⎛⎫<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．(1)log (1)log (2)
m m m m ++>+12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司
A ．中位数为3，众数为2
B ．均值小于1，中位数为1
C ．均值为3，众数为4
D ．均值为22
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则
9
3
1
log
i i a ==∑__________.
14．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，写出双曲线C 的一个标准方程：__________.15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，ABC ∆的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =.延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2121,,,A B B C 和
2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4a =，3b =，5c =，则由ABC ∆生成的康威圆的半径为__________.
16．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线12O O 的
平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧 CD
的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S .若*n ∀∈N ，2
4n S λλ<-+（λ为偶数）
，求λ的值.18．（12分）在①()()b a c b a c ac +--+=；②cos()sin()A B A B +=-；③
tan sin 2
A B C +=这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
__________？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
19．（12分）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
性别
科目
男生女生合计
物理300
历史150
合计
400
800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++2()
P K k ≥0.0500.0100.001k
3.8410
6.635
10.828
20．（12分）如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF ∆沿直线BF 翻折至A BF '∆，使得平面A BF '⊥平面BCDEF ，O ，H 分别为BF 和A C '的中点.（1）证明：OH
平面A EF '；
（2）求平面A BC '与平面A DE '所成锐二面角的余弦值.
21．（12分）已知函数2
2ln ()x
f x x a x
=-
-.（1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <.
22．（12分）已知点,A B 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，
且OA AB ⊥.
（1）若a =
，1b =，直线OA 的方程为30x y -=，求直线OB 的斜率；
（2）若OAB ∆是等腰三角形（点,,O A B 按顺时针排列）
，求b
a
的最大值.
2021 届高三第一次调研测试 数学参考答案及讲评建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1． 设集合{|26}A x x =∈<<N ，2{|log (1)2}B x x =-<，则A B =
A ．{|35}x x <≤
B ．{|25}x x <<
C ．{34}，
D ．{345}
，，【答案】C
2． 已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a =
A ．2i -
B ．4-
C ．2
D ．4 【答案】B
3． 哥隆尺是一种特殊的尺子．图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为123456，，，，，．
图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为
A ．11
B ．13
C ．15
D ．17 【答案】C
4． 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来
进行描述．在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0
k x k
=
(1e )kt --，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg /h ）．经测试发现，当23t =时，0
2k x k
=，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69） A ．
3
100
B ．
310
C ．
103
D ．
1003
【答案】A
0 1
4
17
12
10 图2
图1
5． (12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为
A ．2n
B ．1
2
n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32
n n
--
【答案】C
6． 函数sin 21x y x π=-的图象大致为
【答案】D
7． 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0 ； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-
； 丙：PA PB PC ==
； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 【答案】B
8． 已知曲线ln y x =在11()A x y ，，22()B x y ，两点处的切线分别与曲线e x y =相切于
33()C x y ，，44()D x y ，，则1234x x y y +的值为
A ．1
B ．2
C ．52
D ．174
【答案】B
B A C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9． 已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则
A ．若m α ，n α ，则m n
B ．若m α ，m β⊥，则αβ⊥
C ．若αβ ，m α⊥，n β⊥，则m n
D ．若αβ⊥，m α ，n β ，则m n ⊥ 【答案】BC
10．已知函数()sin(2)6
f x x π=-，则
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．将sin 2y x =的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到()f x 的图象
C ．()f x 在()
63
ππ-，上单调递增
D ．点()
5012π-，是()f x 图象的一个对称中心
【答案】ACD
11．若函数321()1ln 1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-⎩
，，
，≥的值域为[2)+∞，，则
A ．(3)(2)f f >
B ．2m ≥
C ．ln 21()()2e f f <
D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+
【答案】ABD
12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身
体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3C ︒，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3C ︒人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A ．中位数为3，众数为2
B ．均值小于1，中位数为1
C ．均值为3，众数为4
D ．均值为2【答案】BD
A
B C B 2
B 1 A 1
A 2
C 2
C 1
c a
c
a
a c
b
b b
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则9
31log i i a ==∑ ．
【答案】9
14．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，写出双曲线C 的一个标准方程： ．
【答案】2
2
14
y x -=（答案不唯一）
15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样
的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC a AC b AB c ===，，．延长线段CA 至点1A ， 使得1AA a =，以此类推得到点2121A B B C ，，，和2C ，
那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆． 已知435a b c ===，，，则由△ABC 生成的康威圆的半径为 ．
16．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线12
O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8．若P 为圆柱底面圆弧 CD
的中点，则 平面PAB 与球O 的交线长为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）
已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ．若n *∀∈N ，24n S λλ<-+（λ为偶数），
求λ的值．
【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为1235n n a a n ++=+，所以122
328211a a a a +=⎧⎨+=⎩，
，
即113283511a d a d +=⎧⎨+=⎩，
，
…… 2分 解得121a d ==，，所以2(1)1n a n n =+-=+． 经检验，1n a n =+符合题设，
所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+． …… 4分 （2）由（1）得，
11111(1)(2)12
n n a a n n n n +==-++++， …… 6分 所以()()()
1111111123341222n S n n n =-+-++-=-+++ ． …… 8分
因为n *∀∈N ，24n S λλ<-+，
所以2142λλ-+≥，即27(2)2
λ-≤．
因为λ为偶数，所以2λ=． ……10分
18．（12分）
在①()()b a c b a c ac +--+=；②cos()sin()A B A B +=-；③tan sin 2A B C +=这三个
条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且a =， ， ？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分． 【解】选择条件①和②．
因为()()b a c b a c ac +--+=，所以222a c b ac +-=， …… 2分
由余弦定理，得
2221cos 22
a c
b B a
c +-==．
因为0πB <<，所以π3B =． …… 4分
因为cos()sin()A B A B +=-，所以ππcos()sin()33A A +=-，
所以ππππcos cos sin sin sin cos cos sin 3333
A A A A -=-，
所以sin cos A A =． …… 6分 因为0πA <<，所以π4A =． …… 8分
在ABC △中，由正弦定理sin sin a b A B =ππ
sin sin 43b =． ……10分
所以π
3πsin 4
b =
= ……12分 选择条件①和③．
因为()()b a c b a c ac +--+=，所以222a c b ac +-=． …… 2分
由余弦定理，得2221cos 22
a c
b B a
c +-=
=． 因为0πB <<，所以π3B =． …… 4分 因为tan sin 2A B C +=，且πsin cos π22tan tan 22πcos sin 22
C C
A B C C C
-+-==
=-， 所以
cos 2sin 2sin cos 22sin 2
C
C C C C
==． …… 6分 因为0πC <<，所以cos 02C ≠，所以21sin 22
C =．
因为0πC <<，所以sin 02C >
，所以sin 2C =，可得π2C =． …… 8分
所以在Rt △ABC
中，πtan 3b a ==． ……12分
选择条件②和③．
因为cos()sin()A B A B +=-，
所以cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=-，
所以(sin cos )(sin cos )0A A B B -+=． …… 2分 所以sin cos A A =或sin cos B B =-．
因为0πA <<，0πB <<，
所以π4A =或3π4
B =． …… 4分
又因为tan sin 2A B C +=，且πsin cos π22tan tan 22πcos sin 22
C C
A B C C C
-+-==
=-， 所以
cos 2sin 2sin cos 22sin 2C
C C C C
==． …… 6分 因为0πC <<，所以cos 02C ≠，所以21sin 22
C =．
因为0πC <<，所以sin 02C >
，所以sin 2C =，可得π2C =． …… 8分
在ABC △中，πA B C ++=，所以π4A =，π2C =，π4B =． ……10分 所以ABC △
为等腰直角三角形，所以b a == ……12分
19．（12分）
2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式． 为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三 年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择
物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生
中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学 学习心得．记3人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．
P (K 2≥k )
0.050 0.010 0.001 k 3.841
6.635
10.828
附：2
2
()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【解】（1）
…… 2分
因为222
800(300150250100)(450250)16010.8285502504004005525211K ⨯⨯-⨯-===>⨯⨯⨯⨯⨯，
所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关． …… 6分 （2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人． …… 7分
随机变量X 的所有可能取值为0，1，2．
所以0323351(0)10C C P X C ===，1223353(1)5C C P X C ===，21233
5
3(2)10C C P X C ===． 所以X 的分布列为
……10分
所以1336()012105105
E X =⨯+⨯+⨯=．
答：X 的数学期望为65． ……12分 20．（12分）
如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF △沿直线BF 翻折至A BF '△，使得 平面A BF '⊥平面BCDEF ，O H ，分别为BF 和A C '的中点． （1）证明：OH ∥平面A EF '；
（2）求平面A BC '与平面A DE '所成锐二面角的余弦值．
D
A B
C
E
F 图1
图2
B
B
【解】（1）如图，取A E '的中点G ， 连结FG HG CE ，，． 又因为H 是A C '的中点，
所以HG ∥CE ，12
HG CE =．
又因为正六边形ABCDEF 中，BF ∥CE ，BF CE =，
所以HG ∥BF ，12
HG BF =． …… 2分
又O 为BF 的中点，所以HG ∥OF ，HG OF =，
所以四边形OFGH 为平行四边形，所以OH ∥FG ． …… 4分
因为FG ⊂平面A EF '，OH ⊄平面A EF '，
所以OH ∥平面A EF '． …… 6分 （2）由条件可知OA OB '⊥，OA OD '⊥，OD OB ⊥．
分别以OB OD OA '，，所在直线为
x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示
的空间直角坐标系O xyz -．
设正六边形ABCDEF 的边长为2
， 则00)B ，，
20)C ，，
(030)D ，，，(20)E ，，(001)A '
，，
， 所以(020)BC
= ，，，21)A C '=-
，，
10)ED = ，，(031)A D '=- ，，．
设平面A BC '的法向量为1111()x y z =，，n ，
由
1100BC A C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩
，，n n 得11112
020.y y z =⎧⎪+-=，
取11x =，可得1(10=，n ． …… 8分
设平面A DE '的法向量为2222()x y z =，，n ，
由
2200ED A D ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩
，，n n 得2221
030.
y y z +=-=⎪
⎩，
取21x =，可得2(1=--，n ． ……10分
设平面A BC '与平面A DE '所成锐二面角的大小为 ，
则12
1212cos cos ⋅=<>=
=⋅，n n n n n n ， 所以平面A BC '与平面A DE '
． ……12分
21．（12分）
已知函数22ln ()x f x x a x
=--．
（1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 有两个零点12x x ，，证明：121x x <． 【解】（1）函数22ln ()x f x x a x
=--的定义域为(0)+∞，．
322
2(1ln )2(ln 1)
()2x x x f x x x x -+-'=-=
． …… 1分 设3()ln 1r x x x =+-，所以21()30r x x x
'=+>，
所以函数3()ln 1r x x x =+-在(0)+∞，上单调递增． 又(1)0r =，列表如下：
…… 3分
所以当1x =时，函数22ln ()x f x x a x =--取得最小值为(1)1f a =-．…… 4分
因为()0f x ≥，即10a -≥，所以1a ≤．
所以a 的取值范围是(]1-∞，
． …… 5分 （2）不妨设12x x <．
由（1）可得，函数()f x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，
上单调递增． 所以1201x x <<<，2
101x <<． …… 6分 因为12()()0f x f x ==，
x
(01)，
1 (1)+∞，
()f x ' - 0 + ()f x
极小值
所以122211()()()()
f x f f x f x x -=-
2
2222222
1
2ln 2ln 1()()
1x x x a a x x x =-----
22222
11()(2ln )x x x x x =+--． …… 8分
设函数1()2ln (1)g x x x x x
=-->，
则222
(1)12()10(1)x g x x x x x -'=+-=>>，函数()g x 在(1)+∞，上单调递增． 所以2222
1()2ln (1)0g x x x g x =-->=， ……10分
所以121()()0f x f x ->，即12
1()()f x f x >．
又函数()22ln x f x x a x
=--在(01)，上单调递减．
所以12
101x x <<<，所以121x x <． ……12分
22．（12分）
已知点A ，B 在椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，
且OA AB ⊥．
（1）若a =1b =，直线OA 的方程为30x y -=，求直线OB 的斜率； （2）若△OAB 是等腰三角形（点O ，A ，B 按顺时针排列），求b a 的最大值．
【解】（1）由a =1b =，得椭圆方程为2
213
x y +=由221330x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，， 得3212x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 或321.2
x y ⎧=-⎪⎨
⎪=-⎩， 因为点A 在第一象限，所以3122
A (，
)． 又OA AB ⊥，
所以直线AB 的方程为133(22
y x -=--，即350x y +-=．
由2213350x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，
，得12717x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
或3212x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，， 所以12177B -(，)， …… 3分
所以直线OB 的斜率为1
1712127
OB
k -==-． …… 4分 （2）法1：设直线OA 的斜率为(0)k k >，则直线AB 的斜率为1k
-．
因为△OAB 是等腰直角三角形（点O ，A ，B 按顺时针排列）， 所以设11()A x y ，，22()B x y ，，1112(00)x y x x >><，，． 又OA AB =
=
112x =-．
所以121y x x =-，即211x x y =+． 又由OA AB ⊥，得
121121
1y y y x x x -⨯=--，所以211y y x =-． …… 6分 因为点11()A x y ，，1111()B x y y x +-，在椭圆22221y x a b
+=上， 所以22
1122
22
1
1112
21()()1x y a b x y y x a
b ⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，，所以22221111112222()()x y x y y x a b a b +-+=+， 整理得222221111
(
)2()0y y
b a b a x x --+=． …… 8分 所以222224()40a b a b ∆=--≥，即2222()()0a b ab a b ab -+--≥．
……10分
因为220a b ab -+>，
所以220a b ab --≥，即2(10b b
a a
+-≤，
所以b a ，
当222
12
212()12y a b a k x b b
-===-b a
12分
法2：设直线OA 的斜率为(0)k k >，倾斜角为(090)θθ︒<<︒．
因为△OAB 是等腰直角三角形（点O ，A ，B 按顺时针排列），且OA AB ⊥， 所以直线OB 的斜率为tan(45)OB k θ=-︒或tan(135)OB k θ=+︒． 所以1
1OB k k k
-=
+． …… 6分 设11()A x y ，，22()B x y ，，1112(00)x y x x >><，，． 由2222
1y kx y x a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22
2
1222
a b x b a k =+． 由2222111k y x k y x a
b -⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，
，
得22222222222222(1)1(1)(1)()1a b k a b x k b k a k b a k +==-++-++．
又OB =，所以222OA OB =，得2222
1212(1)1()1k k x x k -⎡⎤+=+⎢⎥+⎣⎦，
222222
22222222(1)12(1)1()
1(1)(1)a b k a b k k k b a k b k a k +-⎡⎤+=+⎢
⎥+⎣⎦+++-． 整理得222222()0b k b a k a +-+=， …… 8分 所以222224()40b a a b ∆=--≥，即22222()0a b a b --≥，
所以2222()()0a b ab a b ab -+--≥． ……10分 因为220a b ab -+>，
所以220a b ab --≥，即2(10b b a a +-≤，
所以b a ，
当222
2
22()12b a a k b b
-=-=-=时，b a
……12分。