高 斯 求 和
高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
高斯求和的故事
高斯求和的故事高斯求和是数学中一个著名的故事，它讲述了数学天才高斯在小学时代惊人的计算能力，以及他是如何发现求和公式的。
这个故事不仅展示了高斯的聪明才智，也启发了无数学生对数学的兴趣和热爱。
故事发生在18世纪的德国，当时的小学生高斯在课堂上遇到了一道特别的数学题目，计算1到100的所有整数之和。
老师原本以为这个题目会让学生们花费很长时间去计算，但是高斯却在几分钟内就给出了正确答案，5050。
这个令人惊讶的答案引起了老师和同学们的好奇，他们纷纷询问高斯是如何做到这一点的。
高斯告诉他们，他发现了一个规律，1加上100等于101，2加上99等于101，3加上98等于101……依次类推，所有的数对加起来都等于101。
而100个数中有50对这样的数对，所以答案就是101乘以50，即5050。
高斯的发现让大家大开眼界，他用简洁的方法解决了一个看似复杂的问题，展示了他出色的数学天赋。
这个故事也成为了数学教育中的经典案例，启发了许多学生对数学的兴趣和热爱。
高斯求和公式不仅仅适用于1到100的整数求和，它还可以推广到任意连续整数的求和问题。
这个公式的发现，不仅让数学计算变得更加简单和高效，也展示了高斯在数学领域的非凡成就。
在数学教育中，高斯求和故事也被用来鼓励学生们发现问题的本质，寻找规律和方法，以简洁的方式解决复杂的数学问题。
这个故事告诉我们，数学并不是一件枯燥乏味的事情，而是充满乐趣和挑战的，只要我们用心去发现和理解，就能够领略到数学的美妙之处。
高斯求和的故事，不仅仅是一则关于数学的故事，更是一则关于智慧和勇气的故事。
它激励着我们在面对困难和挑战时，勇于探索，勇于创新，相信自己的能力，不断前行。
这个故事也让我们明白，每一个看似普通的问题背后，都可能隐藏着深刻的数学规律和美妙的数学世界。
因此，高斯求和的故事不仅仅是一则数学故事，更是一则关于智慧和勇气的启示。
它告诉我们，只要我们用心去发现和理解，数学就会成为我们生活中的乐趣和挑战，让我们在追求知识的道路上不断前行。
高斯定理1+2+
高斯定理1+2+ (100)Gauss定理Gauss定理是由十九世纪德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在他的1786年著作中推导出来的一个重要定理，被称为高斯定理或高斯求和定理，它可以利用数学表达式用简洁的方式表达出某些数字的和，也可以用于算出一定范围内正整数的和。
一、高斯定理的基本定义高斯定理的基本定义是：若将一个事物的数目N连续排列，用符号S表示这个事物的和，则S可以用如下公式表示：S=N (N+1) / 2二、高斯定理的应用1、高斯定理可以用来求正整数序列的和。
例如：若有如下正整数序列：1,2,3, ..., 98, 99, 100，则用高斯定理求该序列的和为：S=100 (101) / 2=50502、高斯定理也可以用来求负整数序列的和。
例如：若有如下负整数序列：-1、-2、-3、...、-98, -99, -100，则用高斯定理求该序列的和为：S=（-100）（-101）/ 2 = -50503、高斯定理还可以用来解决数列的乘积与求余数的问题。
例如：对于代数方程组a+b = 15，a*b = 56，则可以用高斯定理进行求解：a+b = 15a*b = 56即可求得a = 7,b = 8四、高斯定理的推广1、求和高斯定理的推广：高斯定理的推广就是求和定理，对于于数字序列m, m + r, …, m + (n-1)r，可用下列公式进行求和:Sn = (n/2)*[2m + (n-1)r]其中n为数字序列中元素的总数。
例如：对于序列2, 4, 6, 8, 10中元素的和，可运用求和定理，得：Sn = (5/2)*[2*2 + (5-1)*2] = 302、积分高斯定理的推广：高斯定理的推广就是积分定理，对于于函数y = f(x)在[a, b]上的定积分，可用如下公式进行求解：I = (b - a) / 2 * [f(a) + f(b) + 2Σf(x)]，其中f(x)为离散函数，a、b分别为函数f(x)定积分的下上限，n为f(x)函数离散点的个数。
高斯求加公式
高斯求加公式
高斯求和公式是数学中一种常见的求和方法，也称为高斯算术平均数公式。
该公式可以帮助我们快速求解连续整数之和，以及一些数列的和等问题。
高斯求和公式的表达式为：S = (a1 + an) × n / 2
其中，S表示连续整数之和，a1表示第一个数，an表示最后一个数，n表示连续整数的个数。
例如，要求1至100的连续整数之和，我们可以使用高斯求和公式进行计算。
根据公式，a1=1，an=100，n=100，代入公式即可得到结果：S = (1 + 100) × 100 / 2 = 5050。
除了连续整数之和外，高斯求和公式还可以用于求解等差数列的和。
等差数列是指每一项与它前一项之差相等的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
假设要求公差为d，首项为a1，末项为an的等差数列的和，则可以使用以下公式进行计算：
S = (a1 + an) × n / 2 = (a1 + a1 + (n-1)d) × n / 2 = (2a1 + (n-1)d) × n / 2
例如，要求公差为3，首项为2，末项为20的等差数列的和，我们可以使用高斯求和公式进行计算。
根据公式，a1=2，an=20，
n=(an-a1)/d+1=7，代入公式即可得到结果：S = (2 + 20) × 7 / 2 = 77。
总之，高斯求和公式是一种十分实用的数学工具，可以帮助我们
快速求解一些常见的数学问题。
第4讲 小升初奥数高斯求和、新定义
高斯求和、新定义一、高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？和=（首项+末项）×项数÷2；（项数=（末项-首项）÷公差+1）例1、1＋2＋3＋...＋1999＝11＋12＋13＋...＋31＝3＋7＋11＋ (99)例2、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？举一反三、数一数图中各有多少个三角形。
例3、求100以内除以3余2的所有数的和。
举一反三、在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？例4、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？举一反三、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？【巩固练习】1、计算下图中，共有多少个长方形。
2、奥数6班开学第一天每两位同学互相握手一次，全班10人，共握手多少次？二、定义新运算我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
例1、对于任意数a ，b ，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b 。
求12*4的值。
举一反三、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
四年级奥数：高斯求和
四年级奥数：高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050.高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51.1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050.小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项.后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列.由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2.例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数.由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000.注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）.原式=（11+31）×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数.根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）.例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍.问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）.2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成.例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.练习31.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋ (200)（2）17＋19＋21＋ (39)（3）5＋8＋11＋14＋ (50)（4）3＋10＋17＋24＋ (101)2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和.3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和.4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下.问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和.6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？答案与提示练习31.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780.2.1127. 提示：项数=（93-5）÷4+1=23.3.2565. 提示：末项=13+5×（30-1）=158.4.180次. 解：（1+2+…+12）×2+24=180（次）.5.1650. 解：2+5+8+…+98=1650.6.45个.提示：十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个.。
高斯求和--小升初专项训练 学生版
高斯求和第一关已知首项、末项和项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n =a 1+a n 2×n 1.计算：1+3+5+7+⋯+192.计算：110+111+112+⋯+1263.计算：4+8+12+16+20+⋯+2012+20164.100以内的偶数和是多少？5.计算：1-2+3-4+⋯+97-98+996.计算：(2+4+6+⋯+200)-(1+3+5+⋯+199)7.计算：(1+3+5+⋯+2009+2011)-(2+4+6+⋯+2008+2010)8.计算：1930+1830+⋯+130-39150-38150-⋯-11509.计算(2003+2005+2007+2009+2011+2013+2015)÷710.下面算式中的★表示相同的数，求★1×★+2×★+3×★+4×★+⋯+11×★+12×★+13×★=200211.计算：(1+1.56)+(2+1.56×2)+(3+1.56×3)+⋯+(99+1.56×99)+(100+1.56×100)12.计算：(100+99×1)+(99+99×2)+(98+99×3)+⋯+(2+99×99)+(1+99×100)13.计算：1 2+23+13+34+24+14+45+35+25+15+⋯+1920+1820+⋯+12014.计算：1 2+13+⋯+12016+23+24+⋯+22016+34+35+⋯+32016+⋯+20142015+2014 2016+ 2015201615.如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是多少？16.加工一架梯子，扶杆长为4米，上下横档的长分别为0.35米、0.62米，中间还有7根横档，横档平行且间距均匀．制这架梯子共需多少米的毛竹？(损耗与接头均不计，结果保留一位小数)17.在通往城堡的笔直的道路上，将军这样安排了100个哨兵，他们从城堡门口开始，依次排在相邻两名哨兵之间的距离均为1米．请问，哨兵中任意两人的距离的总和为多少米？18.周长不超过100(包括100)，且边长为自然数的所有正方形的周长之和是多少？19.观鸟协会组织会员到湖边观鸟，会员们发现在一棵大树上：第1分钟飞来1只鸟，第2分钟飞来2只鸟，第3分钟飞走3只鸟，第4分钟飞来4只鸟，第5分钟飞来5只鸟，第6分钟又飞走6只鸟，⋯，照此规律请你算出第66分钟时树上共有多少只鸟？20.在1-100这100个自然数中，所有不能被6整除的数的和为多少？21.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？22.求：1~999这些连续自然数所有数字之和是多少？23.数1，2，3，4，⋯，10000按下列方式排列：任取其中一数，并划去该数所在的行与列．这样做了100次以后，求所取出的100个数的和？第二关已知首项、公差及项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和．2.计算：2+4+6+8+⋯前198项的和3.计算：17+22+27+32+⋯前100项的和4.计算：131+140+149+158+⋯前98项的和5.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完．这本书共有多少页？6.一个剧院，第一排有20个座位，以后每排总比前一排多2个座位，一共是25排．这个剧院共有多少个座位？7.同学们做广播操，一共排了8排，第一排有4人，以后每排比前一排多1人，一共有多少人做广播操？8.一堆木料，最上面一层有4根，最下面一层有20根，每相邻两层之间相差2根，这堆木料共有多少根？9.果果从小学三年级开始每年的植树节时都植树，三年级时植了2棵，以后每年都比前一年多植树2棵．那么，果果高中毕业时一共植树多少棵？10.有一串数：1,12,22,13,23,33,14,24,34,44,15,25,35,45,55，⋯它前2004个数的和是多少？11.1995003这个数，最多可以拆成多少个不同的非零自然数相加的和？第三关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.计算：1+2+⋯+8+9+10+9+8+⋯+2+12.一个时钟只有在整点时才敲出响声，凌晨1时敲1下，凌晨2时敲2下⋯中午12时敲12下，下午1时敲1下，下午2时敲2下⋯夜里12时敲12下，那么一昼夜该时钟共要敲多少下？3.1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+99+100+99+98+⋯+4+3+2+14.在一根绳子上串了价格不同的一些珠子共31个，其中正中间那一个最贵，从某一端算起，后一个珠子比前一个贵3元．直至到中间那个为止；若从另一端算起，后一个珠子比前一个贵4元，直至到中间那个为止．这串珠子总价值为2260元，那么中间的那一颗珠子价值多少元？5.张教授连续做实验若干小时．开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针与分针重合．已知这个挂钟只在整点报时(几点就报几下，如下午1点敲1下)，整个实验过程中挂钟共敲了39下．问：(1)张教授的实验一共做了多少小时？(2)他做完实验时，挂钟敲了多少下？第四关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上二位乘客，第三站上三位乘客，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？2.小明读一本书．第一天读了8页，第二天读了11页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天他读了32页，正好读完．这本书有多少页？3.一个堆放铅笔的V形架的最下层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支．这个V形架上共放了多少支铅笔？4.一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了1个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依此类推，后面的小猴都比他前面的小猴多摘了1个野果，最后，每只小猴分得8个野果，这群小猴一共有多少只？5.小明往一个大池里扔石子，第一次扔1个石子，第二次扔2个石子，第三次扔3个石子，第四次扔4个石子⋯，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔多少次？第五关【知识点】1.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某数时，结果是2014，后来发现中间有个数多加了一次，多加的那个数是多少？2.王涛将连续的自然数1，2，3，⋯逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是多少？3.小强练习加法计算，他从1加到某个数时，和是1993，但他发现计算时少加了一个数，小强少加了的那个数是多少？4.从15开始的若干个连续自然数，如果去掉其中一个，剩下的数的平均数是311217，则去掉的自然数是多少？第六关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.蜗牛每小时都比前1小时多爬0.1米，第10个小时蜗牛爬了1.9米，第1小时蜗牛爬了多少米？2.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是多少？。
高斯求和法的项数公式
高斯求和法的项数公式高斯求和法是数学中一种常见的求和方法，可以用来计算等差数列的和。
高斯求和法的项数公式是其中的重要部分，它可以帮助我们快速计算出等差数列的和，而不需要逐个相加。
下面我们来详细介绍一下高斯求和法的项数公式。
我们先来回顾一下等差数列的概念。
等差数列是指数列中的每个数之间的差都相等的数列。
我们用a表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的第n项可以表示为：an = a + (n-1)d。
而高斯求和法的项数公式可以帮助我们直接计算等差数列的和，而不需要逐个相加。
项数公式的表达式为：Sn = n/2 * (a + an)。
其中，Sn表示等差数列的和，n表示项数，a表示首项，an表示第n项。
项数公式的原理是将等差数列的每一项与对应的倒数项相加，每一对的和都是公差d，总共有n/2对。
所以，我们可以将公差d 乘以n/2即可得到等差数列的和。
举个例子来说明高斯求和法的项数公式的使用方法。
假设我们要计算等差数列1，3，5，7，9的和。
首先，我们可以确定该等差数列的首项a为1，公差d为2，项数n为5。
根据项数公式，我们可以直接计算出等差数列的和：S5 = 5/2 * (1 + 9) = 5 * 10 = 50。
因此，等差数列1，3，5，7，9的和为50。
高斯求和法的项数公式在实际应用中有着广泛的用途。
比如在计算机科学中，我们经常需要对一组数据进行求和操作。
如果这组数据满足等差数列的特点，那么我们就可以利用高斯求和法的项数公式来快速计算出它们的和，从而提高计算效率。
除了等差数列，高斯求和法的项数公式还可以用于计算一些特殊的数列的和，比如等比数列。
对于等比数列，我们可以对其取对数，将其转化为等差数列，然后再利用高斯求和法的项数公式来计算。
在使用高斯求和法的项数公式时，需要注意的是要确保等差数列的首项和公差都是已知的，并且项数是正整数。
如果条件不满足，那么就无法使用高斯求和法来计算等差数列的和。
奇数个高斯求和公式
奇数个高斯求和公式高斯求和公式是指将一组连续的奇数相加的公式，公式的结果可以用来表示自然数的和。
这个公式最早是由德国数学家高斯在他幼年时候被他的老师用作惩罚时给他出的一个问题而发现的。
在解这个问题的过程中，高斯发现了一种用于求解连续奇数和的方法。
下面将详细介绍高斯求和公式。
首先，我们来考虑一组连续奇数的和是如何推导出来的。
假设我们要求解的连续奇数序列从1开始，以2递增，一直加到第n个奇数。
那么这个序列可以表示为1,3,5,...,2n-1、我们的目标是求解这个序列的和。
如果我们将这个序列进行反序排列，在加法运算中，每个奇数都会得到两次。
例如，序列1,3,5可以看作是(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)。
由于求和公式是针对连续奇数序列而言的，所以我们可以将这个公式应用于任意奇数个数的和。
现在，我们考虑将这个序列进行反序排列后与原序列相加。
我们可以将两个序列表示为：1,3,5,...,2n-12n-1,2n-3,2n-5,...,1将上面两个序列对应的元素相加，我们可以得到一个具有n个2n的和的序列，即：(2n)+(2n)+(2n)+...+(2n)=n(2n)因此，原始的序列与反序排列后的序列的和为：S=(1+2n)+(1+2n)+(1+2n)+...+(1+2n)=n(2n)然而，我们在计算这个序列的和时，多加了一个2n。
因此，我们需要将多出来的2n从总和S中减去：S=n(2n)-2n=2n(n-1)+n以上就是高斯求和公式的推导过程。
这个公式表明，一组连续奇数的和等于该奇数的个数乘以这组数的平均数。
举例来说，如果我们要求解奇数序列1,3,5,7的和，根据高斯求和公式，我们可以得到：S=4(2*4-1)/2+4=16同样地，我们也可以用正常的加法运算来验证这个结果：1+3+5+7=16现在我们来考虑更一般化的情况。
假设我们要求解奇数序列1,3,5,...,(2n-1)的和。
根据高斯求和公式，我们可以得到：S=n(2n)=n^2+n例如，对于奇数序列1,3,5,7,9的和，我们可以得到：S=5(2*5-1)/2+5=25同样地，我们也可以用正常的加法运算来验证这个结果：1+3+5+7+9=25在解决数学问题或者计算奇数和时，高斯求和公式可以大大简化计算的过程。
高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 + 2+ 3+ 4+-+ 99+ 100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：文档来自于网络搜索1 + 100=2 + 99= 3+ 98 = ••• = 49+ 52= 50+ 51。
1〜100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为(1+100)X 100-2= 5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：文档来自于网络搜索(1)1, 2, 3, 4, 5, (100)(2)1, 3, 5, 7, 9, (99)(3)8, 15, 22, 29, 36, (71)其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
文档来自于网络搜索由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和二(首项+末项)X项数+ 2。
例 1 1 + 2+ 3 + -+ 1999=?分析与解：这串加数1, 2, 3,…，1999是等差数列，首项是1,末项是1999, 共有1999个数。
由等差数列求和公式可得文档来自于网络搜索原式二（1+ 1999）X 1999-2= 1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例 2 11 + 12 + 13 + •••+ 31 = ?分析与解：这串加数11, 12, 13,…，31是等差数列，首项是11,末项是31 , 共有31-11 + 1 = 21 （项）。
高斯求和
高斯求和若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？例2 11＋12＋13＋…＋31＝？例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。
2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
高斯求和
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差 数列的和。 3.求首项是13，公差是5的等差数列的前 30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数 等于该钟点数，每半点钟也敲一下。 问：时钟一昼夜敲打多少次？ 5.求100以内除以3余2的所有数的和。 6.在所有的两位数中，十位数比个位 数大的数共有多少个？
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项 的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公 式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
练习3
1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…， 31是等差数列，首项是11，末项是31，共有 31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441
在利用等差数列求和公式时，有时项数并 不是一目了然的，这时就需要先求出项数。 根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数 列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
高斯求和公式推导过程
高斯求和公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高斯（Carl Friedrich Gauss）是一位著名的数学家和物理学家，他在数学领域做出了许多重要贡献，其中之一就是高斯求和公式。
高斯求和公式是一种用来求解等差数列和的公式，也叫高斯求和公式，它能够快速求解某个范围内所有整数之和的问题。
在本文中，我将向大家介绍高斯求和公式的推导过程，希望对大家理解和掌握这一数学公式有所帮助。
让我们来看一下等差数列的数学定义。
一个等差数列是由首项a1和公差d确定的序列，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的一般形式可以表示为：a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，……，an。
其中a1为首项，d为公差，n为等差数列的项数。
对于等差数列的求和问题，我们通常会用高斯求和公式来求解。
高斯求和公式的推导过程可以通过以下步骤来完成：第一步，设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则等差数列的最后一项可以表示为an=a1+(n-1)d。
第二步，将等差数列从头到尾按照正序排列并逆序排列，即将等差数列的前n项与后n项相加，可以得到一个和为2S，其中S表示等差数列的和。
第三步，将正序排列和逆序排列的等差数列相加，可以得到如下公式：a1 + a2 + ... + an + an + an-1 + ... + a1 = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + (a1 + (n-1)d)) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2根据上式可得高斯求和公式为：S = n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2通过上述推导过程，我们得到了高斯求和公式S = n * (a1 + an) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (n * a1 + n^2d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2。
c语言中高斯求和用数组
C语言中高斯求和用数组1. 什么是高斯求和高斯求和，也称为等差数列求和，是指对一个等差数列中的所有元素进行求和的操作。
在数学中，等差数列是指一个数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等的数列。
高斯求和公式可以用来计算等差数列的和，其公式为：其中n表示数列的项数，a1表示第一项的值，an表示最后一项的值。
2. 使用数组进行高斯求和在C语言中，我们可以使用数组来存储等差数列的元素，并通过遍历数组的方式求和。
下面是一个示例代码：#include <stdio.h>int main() {int n, i;int sum = 0;printf("请输入等差数列的项数n：");scanf("%d", &n);int arr[n]; // 声明一个大小为n的数组printf("请输入等差数列的第一项的值a1：");scanf("%d", &arr[0]);printf("请输入等差数列的公差d：");int d;scanf("%d", &d);// 计算等差数列的每一项的值，并将其存储到数组中for (i = 1; i < n; i++) {arr[i] = arr[i-1] + d;}// 求和for (i = 0; i < n; i++) {sum += arr[i];}printf("等差数列的和为：%d\n", sum);return 0;}在上述代码中，我们首先需要用户输入等差数列的项数n、第一项的值a1和公差d。
然后，我们声明一个大小为n的数组，用来存储等差数列的每一项的值。
接下来，我们使用一个循环计算等差数列的每一项的值，并将其存储到数组中。
最后，我们再使用一个循环对数组中的元素进行求和，得到等差数列的和。
高斯求和
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9， (99)
（3）8，15，22，29，36， (71)
例11＋2＋3＋…＋1999＝？
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
例33＋7＋11＋…＋99＝？
例4 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？。
高斯求和讲解
第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
未项公式是什么意思
未项公式是什么意思
末项公式即高斯求和公式：末项=首项+(项数-1)*公差；项数=(末项-首项)/公差+1；首项=末项-(项数-1)*公差；和=(首项+末项)*项数/2。
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d
表示。
等差数列
例如：1,3,5,7,9……2n-1。
通项公式为：an=a1+(n-1)*d。
首项a1=1，公差d=2。
通项公式推导：
a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d……an-a(n-1)=d,将上述式子左右分别相加，得出
an-a1=(n-1)*d→an=a1+(n-1)*d。
前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2
Sn=[n*(a1+an)]/2
Sn=d/2*n²+（a1-d/2）*n
注：以上n均属于正整数。
等差数列公式包括：求和、通项、项数、公差......等。