1.2.2 直角三角形全等的判定同步练习(答案版)

1.2.2 直角三角形全等的判定
1.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,则这两个直角三角形全等的依是
(C)
A.SSS
B.AAS
C.SAS
D.HL
2．如图，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要添加的条件是(B)
A．∠BAC＝∠BAD
B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD
D．以上都不正确
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(B)
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和一条直角边对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D，BD＝BC，连接BE，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(C)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
【点拨】由已知可证Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴DE＝CE.
∴AE＋DE＝AE＋CE＝AC＝6 cm.
5.如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝134°，
则∠EDF的度数为(A)
A．44° B．36° C．46° D．34°
【点拨】∵BD＝CF，BE＝CD，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)．
∴∠BDE＝∠CFD.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD＝46°，∠EDF＋∠EDB＝90°，
∴∠EDF＝90°－46°＝44°.
【答案】A
6．如图，在△ABC中，△C＝90°，AD＝AC，DE△AB交BC于点E.若△B＝28°，则△AEC＝(B)
A．28°B．59°
C．60°D．62°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE 相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D) A．3对B．4对C．5对D．6对
8．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC.下列结论：
①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD.
其中正确的有(B)
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．(中考·凉山州)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.下列结论：
①EM＝FN；②CD＝DN；
③∠F AN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.
其中正确的有(C)
A．1个B．2个C．3个D．4个
10.(中考·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF
⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)
A．a＋c B．b＋c
C．a－b＋c D．a＋b－c
【点拨】∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°.
∴∠A＝∠C.
又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE(AAS)．
∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b.
∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋(b－c)＝a＋b－c.
【答案】D
二．填空题
11.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件__AB=AC__ ,若加条件∠B=∠C,则可用_______AAS__________判定.
第11题图第12题图第13题图
12.如图所示,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD=OP,则△AOD与△AOP全等的理由是____HL或斜边直角边定理_____
13.如图所示,已知AB⊥CD,垂足为点B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是__AC=DE____
14．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝___7_____．
【点拨】∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°.
∵AD＝BE，DE＝EC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC.∴AE＝BC.
∵AD＋BC＝7，∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
三．计算证明题
15.如图，在△ABC中，AB＝42，D为BC上一点，AD＝BD＝4，在AD上找一点E，使BE＝AC.
(1)判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)求证：△BDE≌△ADC.
解：(1)△ABD是等腰直角三角形．理由：
在△ABD中，∵AD＝BD＝4，∴AD2＋BD2＝32.
又∵AB＝42，∴AB2＝32，
∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD为等腰直角三角形．
(2)证明：∵∠ADB＝90°且∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴△ADC 和△BDE 为直角三角形．
在Rt △ADC 和Rt △BDE 中，⎩⎨⎧AC ＝BE ，AD ＝BD ，
∴Rt △ADC ≌Rt △BDE (HL)．
16．如图，AC △BC ，AD △BD ，AD ＝BC ，CE △AB ，DF △AB ，垂足分别是E ，F .求证：CE ＝DF .
证明：∵AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝∠AEC ＝∠BFD ＝90°.
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，BC ＝AD ，
∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，
∴AC ＝BD ，∠CAE ＝∠DBF .
∵在△ACE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠CAE ＝∠DBF ，
∠AEC ＝∠BFD ，AC ＝BD ，
∴△ACE ≌△BDF (AAS)，∴CE ＝DF .
17．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.
(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AB＝CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
(2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
18.【中考·哈尔滨】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
(1) 如图①，求证：AE ＝BD ； (2) 如图②，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．
（1）证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，
∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，
∠ACB ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，∴∠BCD ＝∠ACE ，
在△ACE 与△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，
∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，
∴△ACE ≌△BCD (SAS)，∴AE ＝BD .
（2）解：△ACB ≌△DCE ，
△EMC ≌△BNC ，
△AON ≌△DOM ，
△AOB ≌△DOE.
19．如图，∠C ＝∠D ，AC ＝AD .
求证：BC ＝BD .
【思路点拨】当图中的一对三角形根据已知条件无法证明全等时，可通过作辅助线将图形进行分割或添补，构造全等三角形．本题可过点A 分别作BC ，BD 的垂线，构造出几组全等的直角三角形．
证明：过点A 作AM ⊥BC ，AN ⊥BD ，分别交BC ，BD 的延长线于点M ，N ，∴∠M ＝∠N ＝90°.
∵∠ACB ＝∠ADB ，∴∠ACM ＝∠ADN .
在△ACM 和△ADN 中，⎩⎨⎧∠M ＝∠N ，
∠ACM ＝∠ADN ，AC ＝AD ，
∴△ACM ≌△ADN (AAS)．∴AM ＝AN ，CM ＝DN .
在Rt △ABM 和Rt △ABN 中，⎩⎨⎧AB ＝AB ，AM ＝AN ，
∴Rt △ABM ≌Rt △ABN (HL)．∴BM ＝BN .
∴BM －CM ＝BN －DN ，即BC ＝BD .
20.如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 从点B 出发沿线段BA 移动,同时,点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动,点P,Q 移动的速度相同,PQ 与直线BC 相交于点D.
(1)如图①,求证PD=QD.
(2)如图②,过点P 作直线BC 的垂线,垂足为E,当P,Q 在移动过程中,线段BE,ED,CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.
图3 图4
(1)证明:如图3,过点P作PF//AC交BC于点F.
∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∴PF//AQ,
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠PFB.
∴BP=FP.∴FP=CQ.在△PFD和△QCD中,∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.
(2)解:ED的长度保持不变.理由如下:
如图4,过点P作PF//AC交BC于点F.由(1)知PB=PF.
△PE△BF,△BE=EF.
由(1)知△PFD△△QCD,△FD=CD.
△ED=EF+FD=BE+CD=1
BC.
2
△ED的长度为定值.。