七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定鲁教版知识精讲

七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判
定某某教育版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定
二. 学习重难点：
运用梯形和等腰梯形的特征解决有关梯形的问题
三. 知识要点讲解：
同学们，前面我们研究了特殊的四边形——--平行四边形以及特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。

今天我们研究另外一类特殊的四边形——梯形。

1、梯形的意义：
①定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

②有关概念：
平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰，夹在两底之间的垂线段叫做高。

注：较长的底叫做下底、较短的底叫做上底。

2、等腰梯形：
定义：两腰相等的梯形叫做直角梯形。

探究：如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD，过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将等腰梯形ABCD沿直线EF对折。

你发现了什么？
我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下特征
等腰梯形的性质：
①等腰梯形同一底边上的两个内角相等；
②等腰梯形的两条对角线相等；
③两腰相等；
④是轴对称图形。

3、直角梯形——一条腰与底垂直的梯形叫做直角梯形。

4、梯形的研究方法：
思考：你能应用梯形的研究方法得到等腰梯形的性质吗？
探究：如图、四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，将腰AB平移到DE的位置。

（1）DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？
（2）图中有哪些相等的线段、相等的角？
证明：∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∠B=∠DEC，∴AB=DE ∵AB=CD，∴DE=CD ∴∠C=∠DEC，∴∠B=∠C
注：利用全等三角形也可以证明等腰梯形的对角线相等，不妨试一试！
做一做：
在一个三角形中怎样画一条线段，可得到一个梯形？自己画一画.
如图所示，在三角形中画一条线段得到一个梯形，并说明在不同情况下得到的分别是什么？
由上面可知：（3）（4）还可以得到等腰梯形. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯
形吗？
探究：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，腰BA、CD的延长线相交于点E，则梯形ABCD是等腰梯形吗？
证明：∵∠B=∠C ∴EB=EC，
又∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠C=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED
∴EB－EA=EC－ED，即：AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形
思考：利用平移的方法你能证明两底角相等的梯形是等腰梯形吗？
分析：将腰AB平移到DE，则四边形ABED是平行四边形，AB∥DE，∠B=∠DEC ∵∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∵AB=DE，∴AB=CD
∴四边形ABCD是等腰梯形。

5、等腰梯形的判定方法：
①、两腰相等的梯形②、同一底上两个角相等的梯形
【典型例题】
应用1：等腰梯形性质的运用
例1. 如图所示，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E。

试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形。

解：∵梯形ABCD是等腰梯形
∴∠B＝∠C （）
∴EB＝EC （）
∴△EBC 是等腰三角形。

又∵AB ＝DC ∴EB －AB ＝EC －CD ∴EA ＝ED
因此△EAD 也是等腰三角形。

例2. 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，CE ∥DA 。

AB ＝8，DC ＝5，DA ＝6，求△CEB 的周长。

解：∵AB ∥DC ，CE ∥DA ∴四边形AECD 是平行四边形， ∴CE ＝DA ＝CB ＝6 又∵AE ＝DC ＝5 ∴EB ＝AB －AE ＝8-5＝3 ∴△CEB 的周长为
CE ＋EB ＋BC ＝6＋3＋6＝15
应用2：梯形的有关计算：
例3. 已知：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC 的长。

解：将腰AB 平移到DE 的位置，由平移的性质和平行四边形的性质可知， 四边形ABED 是平行四边形，DE=AB=DC ，BE=AD 。

在等腰三角形△DEC 中，EC=BC －BE=BC －AD=4－2=2，CF=2
1
EC=1 ∴512CF DF DC 2222=+=+=
例4. 已知：在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，梯形ABCD 的面积S ＝18 cm 2，
求：下底AB 的长.
解：Rt △ADC 中，CD ＝222245-=-AD AC ＝3
∵S 梯形＝2
1
×（CD ＋AB ）×AD ∴18＝
21
×（3＋AB ）×4， ∴AB ＝2
18
－3＝6
应用3、等腰梯形的判定：
例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A 、∠C 互补，梯形ABCD 是等腰梯形吗？
答：梯形ABCD 是等腰梯形。

理由：∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B=180°，∵∠A ＋∠C=180°∴∠B=∠C ∴ 梯形ABCD 是等腰梯形（同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形）
例6. 如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ，AB ＝CD ，且AB 与CD 不平行， 则四边形ABCD 是等腰梯形吗？试说明理由.
解：将AB 平移至DE 位置（过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ） 则四边形ABED 是平行四边形 ∴AD ∥BE ∵AB 与CD 不平行 ∴四边形ABCD 是梯形 又∵∠B ＝∠C ∴四边形是等腰梯形
例7. 如图，四边形ABCD是由三个全等的正三角形围成的，它是等腰梯形吗？为什么？
答：四边形ABCD是等腰梯形。

理由：∵△ABE、△AED、△DEC都是正三角形，∴∠AEB=∠DEC=∠AED=60°
∴∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，∴点B、E、C在同一条直线上
∵∠DAE=∠AEB，∴AD∥BC∵AB=CD ∴四边形ABCD是等腰梯形
【课堂小结】
同学们，本节课我们主要研究了梯形以及特殊的梯形——-等腰梯形和直角梯形的概念，重点研究了等腰梯形的性质与判定，通过本节课的学习应重点理解梯形的研究方法，化梯形为平行四边形和三角形。

【模拟测试】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 下列结论正确的是（）.
A. 四边形可以分成平行四边形和梯形两类
B. 梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类
C. 平行四边形是梯形的特殊形式
D. 直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式
*2. 四边形ABCD中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形是（）.
A. 梯形
B. 等腰梯形
C. 直角梯形
D. 任意四边形
3. 一等腰梯形上底为9cm，下底为17cm，一底角为60°，则它的腰长为（）.
A. 8cm
B. 9cm
C.10cm
D.
**4. 等腰梯形ABCD中，对角线AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是（）.
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
二、填空题
*5. 等腰梯形ABCD的对角线相交于O点，∠BOC＝120°，∠BDC＝80°，
则∠DAB＝________.
6. 若等腰梯形的上底与一条腰长的和等于下底的长，则腰与上底的夹角为________.
*7. 一梯形的上底为4cm，过上底的一顶点作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是________.
8. 等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，两底分别为15cm和49cm，则其腰长为________.
9. 梯形ABCD的面积是24，AD∥BC，且AD＝5，BC＝7，那么梯形的高是________.
10. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，BC＝5，AD＝3，则CD＝________.
11. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝5，那么腰CD的取值X围是________.
12. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝1，△DBC是等边三角形，则BC＝________.
13. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，则∠D＝________.
三、解答题
14. 如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，试说明四边形BCED是等腰梯形.
15. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，
试说明AB＋AD＝BC.
*16. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长.
**17. 如图所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1 cm，下底BC＝4cm，对角线BD⊥AC，且BD＝3cm，求梯形ABCD的面积.
【试题答案】
一、DCAC
二、5、110°6、120°7、20cm 8、34cm 9、4 10、2 11、2<x<6 12、2
13、120°
三、14、证明：∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED
∴2∠ADE=180°－∠A ∵∠B=∠C ∴2∠B=180°－∠A
∴2∠B=2∠ADE
∴∠B=∠ADE
∴DE∥BC
∴四边形BCED是梯形
∵∠B=∠C ∴四边形BCED是等腰梯形
15、证明：过点A作AE∥CD
∴∠AEB=∠C=70°，又∵AD∥BC∴四边形AECD是平行四边形
∴EC=AD
又∵∠B=40°，∠AEB=70°，∴∠BAE=70°∴AB=BE
∴BC=BE+EC=AB+AD
16、∵CE∥AD，AB∥D C∴四边形AECD是平行四边形∴AD=CE，AE=CD=3cm
∵△CEB的周长为7cm∴CE+BE+BC=7cm∴AD+BE+BC=7cm
∴梯形ABCD的周长为：
AB+BC+CD+DA =AE+BE+BC+CD+DA =3+BE+BC+3+DA =6+BE+AD+BC =6+7=13（cm ）
17、解：将对角线AC 平移到DE ，则：四边形ACED 为平行四边形 ∴AC=DE ，AD=CE ，∠BDE=90°
∴BE=BC+CE=5， DE=435B D B E 2222=-=-∴AC=4
6342
1
BD AC 21S ABCD =⨯⨯=⨯⨯=
梯形（cm 2）。