黑白卷01 决胜2021年高考数学黑白卷(新高考地区使用卷)(解析版)

决胜2021年新高考数学模拟卷
数学 黑白卷（01）
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设U =R ，2{|60}A x x x =+-≥，{|1}B x x =≤-，则图示中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{13}x x -<≤∣
B ．{13}x x -≤≤∣
C ．{21}x x -≤≤∣
D ．{1}x
x ≤-∣ 2．设1z ，2z 为复数，“120z z ->”是“12z z >”（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）. A ．5040 B ．24 C ．315 D ．840
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年 D ．2023年 5．若6
01(12)(1)x a a x +=++2
626(1)(1)a x a x +++++，则3a =（ ）
A ．160
B ．160-
C ．80
D ．80-
6．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，若存在实数a ，使得()()1
12
f a f a =+=-
，且()f x 在(),1a a +上有最小值，没有最大值，则()f x 在()0,2019上的零点个数最少为（ ）
A ．1344
B ．1345
C ．1346
D ．1347
7．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长为2的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．16π
B ．
32π
3
C ．8π
D ．4π
8．函数()sin 2f x x x =-，若12,[]22
x x ππ
∈-，，且12()()0f x f x +>，则下列不等式中正确的是 A ．12x x > B ．12x x < C ．120x x +>
D ．120x x +<
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．3a b
+≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥
⎪⎝
⎭
C 22
a b
≥+
D ≥10．在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则（ ）
A ．异面直线1A
B 与11B D 所成角的余弦值为
5
B ．异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为3
5
C ．1//A B 平面11B
D C D ．点1B 到平面11BD A 的距离为
125
11．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>，其中A ，B 是双曲线的左右顶点，P 是
双曲线上位于第一象限上的动点，记PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k .则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =± B ．12k k 为定值
14
C ．双曲线上存在点P ，使得121k k +=
D ．设1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，若122
PF F S =△，则123
F PF π
∠=
12．已知函数1()2ln f x x x
=+
，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*
1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ） A ．21a a <
B ．1n a >
C ．100100S <
D ．112n n n a a a +⋅+<
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知随机变量()
2
~,X N μσ，若(0)(6)P X P X <=>，则μ=________．
14．平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2+a b 等于____
15．汽车前照灯主要由光源、反射镜及配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线C .在平面直角坐标系中，设抛物线
2:4C y x =，抛物线的准线记为l ，点(),4M m ，动点P 在抛物线上运动，若点P 到准线l 的距离等于
PM ，且满足此条件的点P 有且只有一个，则m =__________
16．已知四面体ABCD ，点O 为其内部一点，满足OA OB OC ===，2OD =，当四面体
ABCD 体积最大时，四面体ABCD 外接球的表面积为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．
（Ⅰ）求证：平面//PAB 平面EFG （Ⅱ）求二面角P AB C --的大小
18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1=a m ，213(2,)n n S S n n n *-+=≥∈N . （1）若3m =，求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在一个奇数m ，使得数列{}
1
123n -⋅中的项都在数列{}n a 中？若存在，找出符合条件的一个
奇数m ；若不存在，请说明理由.
19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c C
B A b a
-=-+.
（1）求A ； （2）若2a =，求
11
tan tan B C
+的最小值.
20．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月22日在北京市和河北省张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会.为了宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某校高三年级举办了冬奥会知识竞赛（总分100分），并随机抽取了n 名中学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知前三组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.
（Ⅰ）求实数a ，b 的值，并估计这n 名中学生的成绩平均值x ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（Ⅱ）已知抽取的n 名中学生中，男女生人数相等，男生喜欢花样滑冰的人数占男生人数的
1
4
，女生喜欢花样滑冰项的人数占女生人数的1
2
，且有95%的把握认为中学生喜欢花样滑冰与性别有关，求n 的最小值.
参考数据及公式如下：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，n a b c d =+++.
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，
2k ，3k ，且
123
111
k k k +=，记B 点的轨迹为E ． （1）求E 的方程；
（2）过(1,0)C 的直线与E 交于M ，N 两点，过线段MN 的中点D 且垂直于MN 的直线与x 轴交于H 点，若4MN DH =，求直线MN 的方程．
22．已知函数()2
1
x f x ax e
-=-．
（1）当1
2
a =
时，证明：()f x 在R 是单调减函数； （2）当0x >时，()ln f x ax x ≤，求a 的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】由不等式260x x +-≥，可化为26(3)(2)0x x x x --=-+≤，解得23x -≤≤， 即集合{|23}A x x =-≤≤，
又由{|1}B x x =≤-，可得阴影部分所表示的集合为{|13}U A B x x =-<≤. 故选：A. 2．B
【解析】由题意，例如复数122,1i z z i =+=+，可得1210z z -=>，但此时复数12,z z 为虚数，不能比较大小，所以充分性不成立；
反之：若12z z >，可得复数12,z z 都为实数，此时120z z ->，即必要性成立， 所以“120z z ->”是“12z z >” 必要不充分条件. 故选：B. 3．C
【解析】第一步，任选球与盒编号相同的三个数字，有3
735C =种情况；
第二步，余下放入盒子的四个球的编号与盒子编号均不相同，也即四个元素的错排问题.
不妨设，剩下的4个盒子的编号为4、5、6、7，剩下的小球为4、5、6、7根据题意有4,55,66,77,4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 4,55,76,47,6
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩，4,55,46,77,6⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,65,76,57,4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,65,76,47,5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,65,46,77,5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,75,46,57,6⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,75,66,57,4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,75,66,47,5⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩共9种情况， 根据乘法原理，共359315⨯=种放法，
故选：C . 4．C
【解析】由题意，设第n 年开始超过200万元，
则()
2018
130112%200n -⨯+>，即()
2018
2112% 1.3
n -+>
， 两边同时取以10为底的对数，可化为：()2018lg1.12lg2lg1.3n ->-，
解可得：lg2lg1.3
2018 3.8lg1.12
n -->≈；则2022n ≥.
故选：C ． 5．B
【解析】因为[]6
6
(12)12(1)x x +=-++，所以333
362(1)160a C =-=-，
故选：B. 6．B
【解析】由()()1
12
f a f a =+=-,且()f x 在(),1a a +上有最小值,没有最大值, 不妨令52()6a k k πωϕπ+=-
∈Z ,(1)2()6
a k k Z π
ωϕπ++=-∈, 两式相减得23πω=
,所以()f x 的最小正周期23T πω==,2()sin 3f x x πϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
, 当()00f =时,即k ϕπ=时,()f x 在()0,2019上的零点个数最少为2019
2113453
⨯-=.
故选：B 7．A
【解析】由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为2,
侧棱长为柱的外接球,
所以()()(
)(2
2
2
2
222R =++,所以2R =,
故该二十四等边体的外接球的表面积2244216S R πππ==⨯=, 故选:A 8．D
【解析】()()'
sin 2cos 20f x x x f
x x =-⇒=-<，所以函数()f x 在22ππ
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，上是减函数，又
()sin()2sin 2(sin 2)()f x x x x x x x f x -=-+=-+=--=-，所以函数()f x 在22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上是奇函数，
所以有()()()()121220()f x f x f x f x f x +>⇒>-=-，根据单调性有
12120x x x x ⇒+-<<，故本题选D.
9．AD
【解析】对于A
，3a b +≥≥<
，当且仅当a b ==时等号同时成立；对于B ，(
)11224a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭
，当且仅当a b =时取等号；
对于C
()2
2
22
a b a b a b a b ++≥
≥=++，当且仅当a b =时取等号； 对于D ，当12a =，13
b =
1
=
=
=
>
<故选AD. 10．ACD
【解析】因为11//A B D C ，所以11B D C ∠即为 异面直线1A B 与11B D
所成角， 又因为11115,5B D D C B C ===
，
所以222111111111c os 25
B D D
C B C B
D C B D D C +-∠==⨯，故A 正确.
因为111//,A B D C A B ⊄平面11B D C 1D C ⊂平面11B D C ， 所以1//A B 平面11B D C ，故C 正确. 因为111111B A B D B A BD V V --= ，
即111111111111
3232
A B A D B B A B A D h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ， 解得12
5
h = ，故D 正确. 故选:ACD 11．BD
【解析】A.
因为e =，解得12b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为12
y x =±，故错误； B. 设(),P x y ，则21222221
4
y y y b x a x a x a k a k =⋅===+--，故正确；
C. 设(),P x y ，则222222
2122212y y xy y x b x x
x a x a x a x a y a y y
k k +=+==⋅=⋅=⋅+---，因为点p 在第一象限，则10,2OP y k x ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，所以 12112x y k k +=⋅>，故错误；
D.
因为122
122PF F P S c y =⋅⋅=△
，所以P y =，又
c =，则
P P y x ==
，所以
P ⎝⎭，即
5P ⎛ ⎝⎭
，所以12,PF PF ==，由余弦定理得222122212121cos 22
PF PF F F F PF PF PF +-∠=
=⋅，由()120,F PF π∠∈，则123F PF π
∠=，故正确； 故选：BD
12．AB
【解析】A 选项，3
221112ln 2ln 4ln 2222
a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为22
2121
()x f x x x x
='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，
因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；
D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111
()0x h x x x x
-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1
ln 10n n
a a +->， 则22ln 20n n a a +
->，所以11
2ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝
⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.
故选：AB. 13．3 14
．【解析】因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为
60︒，故||||cos601a b a b ⋅=⋅=，
则2
2
22(2)44cos60a b a b a b a b +=+=
++⋅
244a b +=+=
故答案为：15．1-
【解析】抛物线2
:4C y x =，则准线l 的方程为1x =-,焦点()1,0F ，设200,4y P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
由点P 到准线l 的距离等于PM ，则2
014y +=所以22
2222
22000000128164244y y y y m m y y ⎛⎫⎛⎫++=-⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简可得：2
200181502
m y y m --++= 由满足此条件的点P 有且只有一个，所以()()2
21841502
m m -∆=--⨯⨯+= 即3215170m m m -++=，则()()2
12170m m m +-+=
由()2
2
2171160m m m -+=-+>，所以1m =-
故答案为：1- 16．49π
【解析】由OA OB OC ==得，点O 位于过ABC 的外心且垂直于面ABC 的直线上，若要四面体的体积最大，则在平面ABC 的同侧，且点D 满足OD ⊥平面ABC ，如图所示， 设外接球的球心O '，在平面ABC 上的射影为O ''，外接球的半径R O A '=，设
2,O D x O A O B O C ''''''''=+===、、A B C 为圆O ''上的三点，
所以O D 、())
221315152ABC
S x x ≤⨯⨯-=-，
所以)
()2152D ABC V x x -≤-+，
设())
()21524f x x x =
-+，则())()3534
f x x x '=--+， 易得()f x 在53x =处取得最大值，所以5
3
x =，
又2
2
2
O A O O AO ''''''=+，所以22
21151533R R ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得7
2
R =
，所以球的表面积2449S R ππ==. 故答案为：49π.
17．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
4
π
【解析】（1）由已知可得EG ∥PB ，从而可证EG ∥平面PAB ，则只要再证明EF ∥平面PAB ，即证EF ∥AB ，结合已知容易证，根据平面与平面平行的判定定理可得；（Ⅱ）结合已知中的垂直关系可知PAD ∠是二面角P AB C --的平面角，解RT ADP ∆可求得二面角
试题解析：（Ⅰ）证明：在PDC ∆中，,E F 分别是,PC PD 的中点∴//EF CD
//AB CD ∴//EF AB
EF ⊄平面ABP 且AB ⊂平面ABP ∴//EF 平面ABP
同理//EG 平面ABP
又EF EG E =∴平面//PAB 平面EFG -
（Ⅱ）PD ⊥平面ABCD ∴PD AB ⊥又AB AD ⊥ ，∴AB ⊥平面PAD ∴AB PA ⊥∴PAD ∠是二面角P AB C --的平面角．
在RT ADP ∆中，tan 1PD PD
PAD AD AB ∠=
== [0,)PAD π∠∈∴
4PAD π
∠=．
∴二面角P AB C --的大小为4
π。

考点：1．面面平行的判定；2．二面角求解 18．（1）*3,n a n n =∈N （2）存在；=3m
【解析】（1）当2n ≥时，由已知得213(2)n n S S n n -+=≥①
于是213(1)(2)n n S S n n ++=+≥② 由-②①得：163n n a a n ++=+③
于是2169
n n a a n +++=+④
由-④③得：26(2)n n a a n +-=≥
由1212S S +=，2315S S +=，可得26a =，39a =，又316a a -= 所以数列21{}k a -和*2{}()k a k N ∈分别是以12,a a 为首项，6为公差的等差数列
*213(1)663,k a k k k N -∴=+-⨯=-∈，即21n k =-时，3n a n = *26(1)66,k a k k k N =+-⨯=∈，即2n k =时，3n a n =
∴*
3,n a n n =∈N
（2）当1a m =时，由213(2)n n S S n n -+=≥可得2122a m =-，332a m =+ 所以数列2{}k a 和*2+1{}()k a k N ∈分别是以23,a a 为首项，6为公差的等差数列 22(1)6626k a a k k m ∴=+-⨯=-+
*213(1)6623,k a a k k m k N +=+-⨯=+-∈
由题设知，记1123n n b -=⋅，当m 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数
n b ∴不是数列2+1{}k a 中的项，n b 只可能是2{}k a 中的项
若1=12b 是数列2{}k a 中的项，由12626k m '=-+，得36m k '=- 取=3k '，得=3m ，此时26k a k =
由2n k b a =得11236n k -⨯=，即123n k -=⨯ 故n b 是数列{}n a 中的第123n -⨯项
19．（1）
3π；（2【解析】（1）由
()sin sin sin b c C
B A b a
-=-+，可得()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+，
由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=，
由余弦定理，得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 因为0A π<<，可得3
A π=.
（2）由（1）知3A π=
，设三角形的外接圆的半径为R ，可得2sin a R A ==，
又由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，
即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号， 又由
11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B C B C B C B C
++=+= ()sin sin sin sin sin sin B C A B C B C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=
⋅2R a bc ⋅==≥=， 其中R 是ABC 外接圆的半径， 所以11tan tan B C +
20．（Ⅰ）0.0050.025a b =⎧⎨=⎩
；69.5分；（Ⅱ）min 80n = 【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：0.045220.035
a b a b +=⎧⎨+=⎩，
解得0.0050.025a b =⎧⎨=⎩. 各组频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
0.05500.25600.45700.2800.059069.5x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）
x
221131224242 3.841351544
x x x x x K x x x x x ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅，29x ∴≥. 又4x k =，k N +∈，且各组的频数为正整数，故min 40x =，min 80n =.
21．（1）24(0,1)y x x x =≠≠；（2）10x -=或10x -=．
【解析】（1）设(,)B x y ，
所以121k =
，2y k x =，321
y k x -=-， 因为123111k k k +=，所以1122x x y y -+=-， 化简得24y x =．
所以曲线E 的方程为24(0,1)y x x x =≠≠．
（2）设直线MN 的方程为1x ty =+，联立214x ty y x
=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，
所以()
221641(4)1610t t ∆=-⨯⨯-=+>， 设()11,M x y ，()22,N x y ，
所以124y y t +=，124y y =-，
所以()241MN t ==+，
由D 为MN 的中点，所以221,2D t t +，
所以直线DH 的方程为()
2221y t t x t -=---，
所以H 点的坐标为()223,0t +，所以DH =
因为2MN DH =，所以()
241t +=
解得t =，
所以直线MN 的方程为10x -=或10x -=．
22．（1）证明见解析；（2）(],1-∞．
【解析】（1）当12a =
时，211()2x f x x e -=-，则()1x f x x e -'=-， 令()1x g x x e -=-，则()11x g x e -'=-，
当(,1)x ∈-∞时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()g x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，故()()0
110g x g e ≤=-=． 所以()0f x '≤，故()f x 在R 是单调减函数．
（2）当0x >时，()ln f x ax x ≤，等价于当0x >时，1
ln 0x e ax a x x
---≤恒成立； 设1()ln x e h x ax a x x -=--，则11121()x x x xe e a x e h x a a x x x x ---⎛⎫--'=--=- ⎪⎝⎭
， 由（1）知10x x e --≤，所以11x e x
-≥，当且仅当1x =时取得等号． 当1a ≤时，1
0x e a x
--≤，所以()0,1x ∈时，()0h x '>，(1,)x ∈+∞时，()0h x '<， ()h x 在()0,1上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，则()()max 110h x h a ==-≤，
所以1
ln 0x e ax a x x
---≤恒成立，满足题意． 当1a >时，()110h a =->，与当0x >时，1
ln 0x e ax a x x
---≤恒成立，矛盾，不合题意； 综上可知，a 的取值范围为(],1-∞．。