实验4-二阶电路的动态响应

二阶电路的动态响应
一、实验原理
RLC 串联二阶电路
用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。

上图所示的线性RLC 串联电路是一个典型的二阶电路。

可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：
s 2
U 2=++c c c u dt du RC dt u d LC 〔4-1〕
初始值为
C
I C i dt
t du U u L t c c 0
00)0()()0(==
=-=--
求解该微分方程，可以得到电容上的电压u c (t )。

再根据：dt
du c
t i c
c =)( 可求得i c (t )，即回路电流i L (t )。

式〔4-1〕的特征方程为：01p p 2=++RC LC
特征值为：2
0222,11)2(2p ωαα-±-=-±-=LC
L R L R (4-2)
定义：衰减系数〔阻尼系数〕L
R
2=
α 自由振荡角频率〔固有频率〕LC
1
0=
ω 由式4-2 可知，RLC 串联电路的响应类型与元件参数有关。

1．零输入响应
动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。

电路如图4.2所示，设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始电流为0。

u L
t m
U 0
(1) C
L R 2>，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。

电路响应为：
)
()
()()()(2
1
2
1
120
121
20
t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---=--=
t ≥0
响应曲线如图4.3所示。

可以看出：u C (t)由两个单调下降的指数函数组成，
为非振荡的过渡过程。

整个放电过程中电流为正值， 且当2
11
2ln
P P P P t m -=时，电流
有极大值。

〔2〕C
L R 2=，响应临界振荡，称为临界阻尼情况。

电路响应为
t
t c te L
U
t i e t U t u ααα--=+=00)()1()( t ≥0
响应曲线如图4.4所示。

图4.4 二阶电路的临界阻尼过程
(3) C
L R 2<，响应是振荡性的，称为欠阻尼情况。

电路响应为
t e L
U t i t e U t u d t
d d t d
C ωωβωωωααsin )(),sin()(000
--=
+== t ≥0
其中衰减振荡角频率 2
2
2
0d 2L R LC 1⎪⎭⎫
⎝⎛-=
-=αωω ， α
ωβd arctan = 响应曲线如图4.5所示。

U 0
t
图4.5 二阶电路的欠阻尼过程 图 二阶电路的无阻尼过程
〔4〕当R ＝０时，响应是等幅振荡性的，称为无阻尼情况。

电路响应为
t L
U t i t U t u C 000
00sin )(cos )(ωωω=
= t ≥0 响应曲线如图4.6所示。

理想情况下，电压、电流是一组相位互差90度的曲线，由于无能耗，所以为等幅振荡。

等幅振荡角频率即为自由振荡角频率0ω，
注：在无源网络中，由于有导线、电感的直流电阻和电容器的介质损耗存在，R 不可能为零,故实验中不可能出现等幅振荡。

2．零状态响应
动态电路的初始储能为零，由外施激励引起的电路响应，称为零输入响应。

根据方程4-1，电路零状态响应的表达式为：
)
()
()t ()t (212112121
2t p t p S
t p t p S
S C e e p p L U i e p e p p p U U u ---=---=）
（0t ≥
与零输入响应相类似，电压、电流的变化规律取决于电路结构、电路参数，可以分为过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等三种充电过程。

3．状态轨迹
对于图4.1所示电路，也可以用两个一阶方程的联立〔即状态方程〕来求解：
L U L t Ri L t u dt
t di C
t i dt t du s
L C L L c ---==)()()
()
()( 初始值为
00
)0()0(I i U u L c ==--
其中，)(t u c 和)(t i L 为状态变量，对于所有t ≥0的不同时刻，由状态变量在状态平面上所确定的点的集合，就叫做状态轨迹。

二、实验内容
1、Multisim仿真
〔1〕从元器件库中选出可变电阻、电容、电感，创建如图电路图1
V1 10 V
R1
2k¦¸
Key=A
50%
L1
10mH
C1
22nF
1
2
S1
Key = Space
3
4
图1 RLC串联电路
〔2〕设置L=10mH，C=22nF，电容初始值为5V，电源电压为10V，利用Transient Analysis观测电容两端的电压。

〔3〕用Multisim瞬态仿真零输入响应〔改变电阻参数欠阻尼、临界、过阻尼三种情况〕；在同一张图上画出三条曲线，标出相应阻值。

〔4〕用Multisim 瞬态仿真完全响应〔改变电阻参数欠阻尼、临界、过阻尼三种情况〕；在同一张图上画出三条曲线，标出相应阻值。

〔5〕利用Multisim 中的函数发生器、示波器和波特图仪Bode Polotter 创建短路如图2，观测各种响应。

函数信号发生器设置：方波、频率1kHz 、幅度5V 、偏置0V ；
XFG1
XSC1
A B
Ext Trig
+
+
_
_
+_
R112kΩKey=A
50%C222nF
L210mH
12
3
—R=1348Ω —R=200Ω—R=1800Ω —R=1348Ω —R=200Ω—R=1800Ω
过阻尼R=1800Ω
欠阻尼R=200Ω
临界情况R=1348Ω
2、在电路板上按图焊接电路〔R 1=100Ω L =10mH C =47nF 〕
L
R 2
R 1
C
信号发生器
图4.8 二阶电路实验接线图
3、调节可变电阻器R 2的值，观察二阶电路的零输入响应和零状态响应又过阻尼过渡到临界阻尼，最后过渡到欠阻尼的变化过程，分别定性的描绘、记录典型变化波形，记录所测数据和波形。

过阻尼R
2=1800Ω临界阻尼R
2
=923Ω欠阻尼R
2
=100Ω
零输入响应波形
零状态响应波形
4、调节R2使示波器荧光屏上诚信啊稳定的欠阻尼波形，定量测定此时电路的衰减常数α和振荡频率ωd。

记录所测数据。

数据记录：
波形R L C 振荡周期
T d
第一波
峰峰值
h1
第二波
峰峰值
h2
250Ω10mH 47nF 130μs280mV
理论值测量值
衰减振荡角频率ωd
〔/
rad s〕
44401 48332
衰减系数α12500 14482
d
波形的影响
当欠阻尼响应时，衰减振荡角频率ωd越大，T d越小，则在同时间内波形振
荡得越快，振荡频率越高。

衰减系数α越大，波形衰减得越厉害，振荡得越慢，
振荡频率越低。

由观察可发现，在改变电阻R2时，T d并不改变，且ωd也不改变。

电阻R2越大，衰减得越厉害，衰减系数α越大，反之，电阻R2越小，α也越小。

三、实验结论
1、本次实验验证了二阶电路的元件参数对其动态响应〔欠阻尼、临界阻尼、
过阻尼〕的影响：当电路中有不同的R值时，电路所处的状态是不同的，电容两
端的电压波形随着R的变化而变化，当响应是非震荡性的，为过阻尼响应；C
R/
<,响应是非震荡
L
2
=，响应临界荡性，为临界阻尼响应；C
2
L
R/
性的，为欠阻尼响应；
2、同时本实验也验证了二阶电路的元件参数对衰减系数和振荡频率的影响。

当电路处于欠阻尼状态时，R的值越小，电路的振荡就越大，电路中的能量一部分被振荡释放，一部分被电阻发热消耗。

四、思考题
1、如果矩形脉冲的频率提高，对所观察的波形是否有影响？
答：无影响。

2、当RLC电路处于过阻尼情况时，假设再增加回路的电阻R，对过渡过程有何影响，当电路处于欠阻情况时，假设再减小回路的电阻R，对过渡过程又有何影响？为什么？在什么情况下电路到达稳态的时间最短？
答：过渡过程都将延长。

在电路处于临界阻尼状态下到达稳态的时间最短。

3、在欠阻尼过渡过程中，电路中能量的转化情况。

答：〔记电路电流第一次到达最大值时间为β〕在0＜ωt﹤β时，电感吸收能量，电容释放能量；在β＜ωt＜π-β时，电感释放能量，电容释放能量；π-β＜ωt＜π时，电感释放能量，电容吸收能量；在整个过程中，电阻都是消耗能量。