必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数 2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成
立:①10a a
+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，
=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．213(1)
i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A ．(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．i(1+i)2
D ．i(1+i) 5．“复数3i i
a z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 7．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）
A ．1i --
B ．1i +
C ．55i +
D ．55
i - 8．复数5
1i i
-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2
i - 9．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）
A B C D 10．若
11i ai ++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2- 11．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）
A 1
B
C ．3
D ．2
12．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i =--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
第II 卷（非选择题）
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参考答案
二、填空题
13．设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______.
14．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.
15．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.
16．在复平面内，复数(3)2a a z i =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 17．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：
()1112221
21212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:
①若12z z ＞,则12z z ＞；
②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；
③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞；
④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞.
其中所有真命题的序号为______________.
18．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}
|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 19．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．
20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．
三、解答题
21．已知m R ∈，复数2(1i)(5i 3)(46i)z m m =+-+-+，当m 为何值时，
（1）z 为实数？
（2）z 为虚数？
（3）z 为纯虚数？
（4）z 在复平面内对应的点在第四象限？
22．已知1z i =+，i 为虚数单位.
（1）若234z z ω=+-，求ω；
（2）若2211
z az b i z z ++=--+，求实数a ，b 的值.
23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.
（1）求复数z ；
（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.
24．已知复数z 满足
z =，2z 的虚部为2，
（1）求复数z ；
（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 25．已知复数z 使得2z i R +∈，
2z R i
∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ； （2）若复数()2
z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 26．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i
-+++=+（,a b ∈R ）. （1）求,a b 的值；
（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据()2
222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.
【详解】
()2
222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；
213,25302
t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.
【详解】
解：对于①，当a i =时，10a a
+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，
对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，
对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，
故选B.
【点睛】
本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.
3．A
解析：A
【分析】
首先计算2
(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.
【详解】 ()2131331222
1i
i i i i ++==-+， 故选A.
【点睛】
该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.
4．A
【分析】
利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.
【详解】
由题意，对于A 中，复数2
(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；
对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；
对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；
对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.
【点睛】
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5．A
解析：A
【详解】 因为33ai z a i i
-=
=--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 6．B
解析：B
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,
可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，
则24201923020(1)22020i S i i i i i
i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i
--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2
(1)(1)(1)20202020202112
i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++=
==---， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 7．A
解析：A
化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.
【详解】
()()()1212i z i i -=++，
故()()()()()()()
()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .
【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.
【详解】 由复数的运算法则可知：51i i -()()()
1111122i i i i i +==-+-+， 则复数5
1i i
-的虚部是12. 本题选择A 选项.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．A
解析：A
【分析】
首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可.
【详解】 由题意可得：2211i z i i i i i +=
+=-++=-，
则1,z i z =+=
故选A .
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B
解析：B
设
11i bi ai
+=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】 设()1,,1i bi a b R ai
+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，
所以11
ab b -=⎧⎨=⎩， 解得11
a b =-⎧⎨=⎩， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.
11．A
解析：A
【分析】 根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.
【详解】
因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：22
1x y +=上的点；
又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，
所以min |12i |z +-为||1OA r -=，
故选：A ．
【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题. 12．A
解析：A
【分析】
先化简z ，求出a ，再判断即可.
【详解】
()()2202022211112121211222
a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，
z 不是纯虚数，则21022
a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±， 所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件.
故选：A .
【点睛】
本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
二、填空题
13．6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这 解析：6
【解析】
分析：先找到复数z 对应的点的轨迹，再求z 的最大值.
详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22
341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=， 所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，
所以z 1516=+=.故答案为6
点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi r ++=表示以点(a,b)为圆心r 为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然. 14．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所 解析：74
- 【分析】
首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为
()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.
【详解】
设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=) 则原方程2230zx zx ++=变为()()
222320ax ax bx bx i +++-=.
所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；
（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；
从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；
（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得
38a =-
，8
b =±，
所以838
z =-±.
综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故答案为：74
-
【点睛】
思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z . 15．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：
【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等
解析：1i --
【分析】
利用i 的幂的性质化简即可得答案.
【详解】
2019201633i i i i i =⋅==-，
()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
所以原式=1i --.
故答案为：1i --.
【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1
i i
=-等等. 16．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果
【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题
解析：66i -
【分析】
根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.
【详解】
解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．
故答案为：66i -
【点睛】
本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成
解析：②③
【分析】
根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.
【详解】
对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.
对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确.
对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.
对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③
【点睛】
本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.
18．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集
解析：b ≤≤
【解析】
【分析】
根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．
【详解】
由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部； 集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部
∵A∩B≠∅，
说明，两圆面有交点；
∴4≤．
可得：b ≤≤，
故答案：b ≤≤，
【点睛】
本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题
19．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题
解析：
【分析】
由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得．
【详解】
∵
i 在复平面内对应的点位于第二象限，
∴a ＜0，
由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去），
∴z=﹣
．
故答案为﹣
【点睛】
该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．
20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复
解析：2-32
π 【解析】
分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.
详解：设(,)z x yi x y R =+∈11,2y ≤≥ ，如图,2.3
AOB π∠=
因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )232332
πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi
三、解答题
21．（1）6m =或1m =-（2）6m ≠且1m ≠-（3）4m =（4）46m <<
【分析】
由题意得解得22
(34)(56)z m m m m i =--+--，
（1）由2560m m --=，求出m 即可；
（2）2560m m --≠，即可得出m ； （3）由22340560
m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得m 范围； （4）根据象限特征，由22340560
m m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得m 范围. 【详解】
解：()()()21i 5i 346i z m m =+-+-+=()()223456i m m m m --+--， （1）由2560m m --=得6m =或1m =-，
即当6m =或1m =-时，z 为实数；
（2）由2560m m --≠得6m ≠且1m ≠-，
即当6m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；
（3）由22340{560m m m m --=--≠，，
得4m =， 即当4m =时，z 为纯虚数；
（4）由22340{560m m m m -->--<，，
解得46m <<， 即当46m <<时，z 在复平面内对应的点在第四象限.
【点睛】
本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．
22．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨
=⎩
【分析】
（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω； （2）根据2211
z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】
（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，
()()2
13141i i i ω=++--=--∴，
ω∴=
（2）()()22211a b a z az b i z z i i
+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，
121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩
. 【点睛】
此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解. 23．(1) 12z i =-或2i z =-.
(2) 3m =±，5n =.
【分析】
（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可
复数z ；
（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值
【详解】
（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，
因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，
所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩
， 所以12z i =-或2i z =-.
（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，
当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.
因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨
-=⎩
，解得3m =±，5n =. 【点睛】
本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题
24．（1）1i +或1i --；（2）1
【分析】
（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），
由已知可得：22ab ==⎪⎩
2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩
． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；
（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，
∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），
故△ABC 的面积S 12
=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，
∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），
故△ABC 的面积S 12
=
⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．
【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．
25．（1）42i +；（2）()2,2-.
【分析】
(1)根据2z i R +∈、2z R i
∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、
虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围
【详解】
（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++
∵2z i R +∈
∴2y =- 又
22242255
z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x = 综上，有42z i =- ∴42z i =+
（2）∵m 为实数，且()()()
()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩
，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-
【点睛】
本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围
26．（1）3,1a b ==-（2【解析】
分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．
详解：（1）∵()()
21253i i a bi i -+++=+ 1033i i
==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-
（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+
()()331y y i =-+++
由题意可知：331y y -+=+，解得2y =-
∴
z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．。