2024届新高考数学“8+4+4”小题期末狂练(8)解析版

加油！有志者事竟成
答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！
2024届高三“8+4+4”小题期末冲刺练（8）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，
，则（ ）
{}
0,1,2,3,4A ={}
02,Z B x x x =≤≤∈A B = A. B. C.
D.
{}0,2{}1,2{}0,1,2{}1,2,4【答案】C
【解析】，∴. {}
{}02,Z 0,1,2B x x x =≤≤∈={}0,1,2A B = 故选: C.
2.设复数，且满足，则（ ） ()i 0R z x y x y =+>∈，218i z =z =A. B.
C. D.
32i +33i +32i -33i -【答案】B
【解析】由题意，得，
()2
222i 2i 18i z x y x y xy =+=-+=∴解得或∵，∴．
220,218,
x y xy ⎧-=⎨=⎩3,3x y =⎧⎨=⎩3,3.x y =-⎧⎨=-⎩0x >33i z =+故选:B ．
3.已知平面向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ） ()2,1a =- ()2,c t =
4t >a c
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必
要条件 【答案】C
【解析】因为，，
()2,1a =- ()2,c t =
向量与夹角为锐角，即需且与不共线，
a
b
·0a c > a c
得，解得：，
22022t t -⨯+>⎧⎨-≠⎩
4t >所以“”是“向量与的夹角为锐角”的充要条件.故C 项正确.
4t >a c
故选：C.
4.函数的图象大致为（ ）
()2cos x x
f x x
+= A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】，
()
()()()2
2cos cos x x x x
f x f x x
x
-+-+-=
=-=--则函数为奇函数，故排除， ()f x A D ，当时，，故排除， 1x =()11cos10f =+>B 故选：C ．
5.已知抛物线的焦点为F ，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，
2
4y x =(1,0)A -P PF
PA
=（ ）
PF
A. 1
B. 2
C.
D. 4
【答案】B
【解析】由题知，抛物线的准线方程为，，过P 作垂直于准线于，连接=1x -(1,0)A -PQ Q PA ，由抛物线定义知. PQ PF =
sin PF PQ PAQ PA
PA
∴=
=∠由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线
PF
PA PAQ ∠PAF ∠PA 与抛物线相切.
PA 设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
PA (1)y k x =+，整理得： 24(1)
y x
y k x ⎧=⎨
=+⎩2222(24)0k x k x k ++﹣＝则，解得
(
)
2
2
42440k k ∆=﹣﹣＝ 1.k =±即，解得，代入得
2210x x +-＝1x =24y x = 2.y =±或，再利用焦半径公式得
(1,2)P ∴(1,2)P -2PF =
故选：B.
6.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯PP 过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层PP 式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分PP 之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L ，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L ，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（ ） PP lg 20.30≈lg 30.48≈A. 9 B. 8
C. 7
D. 6
【答案】A
【解析】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，
n PP y 128018033n
n
y ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令，解得，两边取常用对数得，即
28023n ⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭21340n
⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
21lg lg 340n ≤3lg lg 402n ≥即，因为，，
()lg3lg 212lg 2n
-≥+lg 20.30≈lg 30.48≈所以
，解得，因为，所以的最小值为9． ()0.480.30 1.60n -≥80
9
n ≥*N n ∈n 故选：A
7.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令{}n a 1
n n n
a b a +=
{}n b {}n a ，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，1
n n n
b c b +=
{}n c {}n a {}n A 128641024L ，且它的二阶商数列是常数列，则（ ） 7A =A. B.
C.
D.
152192212282【答案】C
【解析】设数列的一阶商数列为，二阶商数列为，
{}n A {}n b {}n c 则，，， 1221b ==28
42
b ==21
12b c b ==
又数列的二阶商数列是常数列， {}n A {}n c 则， 12n c c ==则满足
， {}n b 1
2n n n
b c b +==所以数列是为首项，为公比的等比数列， {}n b 22则，
1
22
2n n n b -=⋅=所以， 1
2n n n
A A +=则
，，，，，， 112n n n A A --=2122n n n A A ---=3232n n n A A ---=L 2322A A =121
2A
A =等式左右分别相乘可得123211
22222n n n n A A ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()123212n n n -+-+-+++= ()()
1112
2n n -+-=()122n n -=， 所以，
()()112
2
12
2
n n n n n A A --=⋅=则，
()771212
7
2
2A -==故选：C. 8.已知函数，设，则2
1()cos 22
f x x x =+-()()()0.320.3lo
g 0.2,log 0.2,0.2a f b f c f ===（ ） A .
B. a c b >>a b c >>
C.
D.
c b a >>b c a >>【答案】B
【解析】函数的定义域为，，故
21()cos 22
f x x x =
+-R 21
()()cos()2()2f x x x f x -=-+--=为偶函数， 2
1()cos 22
f x x x =
+-当时，，令，则，即
0x ≥()sin f x x x '=-()sin g x x x =-()1cos 0g x x '=-≥在上单调递增，故，所以，则在上
()sin g x x x =-[0,)+∞()(0)0g x g ≥=()0f x '≥()f x [0,)+∞单调递增， 由于，，22
21
log 0.2log log 5(3,2)5
==-∈--0.30.30.32log 0.09log 0.2log 0.31=>>=
，所以．
0.300.21<<a b c >>故选：B ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9.下列命题正确的是（ ）
A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为7 126,,,x x x 12621,21,,21x x x ---
B. 若，则． ()0.6,()0.8,(|)0.5P A P B P A B ===2(|)3
P B A =
C. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 2n ≥12,,,n x x x 若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为()(,1,2,,)i i x y i n = 1
12
y x =-
+ 12
-D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为
e kx y c =ln z y =，则的值分别是和4 ˆ40.3z
x =+,c k 0.3e 【答案】BD
【解析】对于选项A ：若样本数据的方差为2，则数据的方126,,,x x x 12621,21,,21x x x --- 差为，故A 不正确；
22287⨯=≠对于选项B ：若，则
()0.6,()0.8,(|)0.5P A P B P A B ===，故B 正确；
()()(|)0.80.52
(|)()()0.63
P AB P B P A B P B A P A P A ⨯=
===对于选项C ：在一组样本数据，（，，不全相等）的1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 2n ≥12,,,n x x x 散点图中，若所有样本点都在直线上，其中是线性回归方程
()(,1,2,,)i i x y i n = 112
y x =-
+1
2-的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，
当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C 不正确；
对于选项D ：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
e kx
y c =ln z y =则，由题线性回归方程为，则，故ln ln ln e ln kx z y c c kx ==+=+ˆ40.3z x =+ln 0.3,4c k ==的值分别是和4，故D 正确.
,c k 0.3e 故选：BD .
10.若直线与圆相交于两点，则长度可能等于（ ）
:1l y kx =+()2
2:29C x y -+=,A B AB
A. 2
B. 4
C. D. 7
【答案】BC
【解析】由圆，可得圆心，半径为，
()2
2:29C x y -+=(2,0)C 3r =
又由直线恒过定点，且点在圆的内部，可得 1y kx =+(0,1)M (0,1)M C MC =当直线时，此时直线与圆相交，截得的弦长最短， l MC ⊥l C AB
此时，
4AB =当直线过圆心时，此时截得的弦长最长，此时， l AB 26AB r ==所以弦长的取值范围为，结合选项，选项B 、C 符合题意. AB []4,6故选：BC.
11.已知函数，下列说法正确的是（ ）
(
)3()ln 1()x
f x e
ax a R =++∈A. 若是偶函数，则 B. 若函数是偶函数，则
()y f x =3
2
a =-
()y f x =3a =-C. 若，函数存在最小值 D. 若函数存在极值，则实数a 的取值范围是
2a =-
(3,0)-【答案】ACD
【解析】对于A 、B 中，函数的定义域为，且， R ()()f x f x -=则，则，
(
)()33ln 1()ln 1x
x
e
a x e ax -++-=++331
ln 21
x x e ax e -+=-+则，故恒成立，故，故A 正确，B 错误； 3ln 2x e ax =-32x ax =-3
2
a =-
对于C 中，当时，，可得，
2a =-()3()ln 12x
f x e x =+-33333
(++)111
x x x e f x e e '==-令，即，解得， ()0f x '=3+3011x e -
=ln 2
3
x =
所以当时，，单调递减， ln 2
(,)3
x ∈-∞()0f x '<()f x 当时，，单调递增， ln 2
(
,)3
x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以，所以C 正确； ()min ln 2
()3
f x f =对于D 中：，
33
()(3)1
x f x a e '=+-+因为存在极值，则有零点，令，即， ()f x ()0f x '=()0f x '=33
(3)01
x
a e +-
=+所以
，则，即，解得，所以D 正确. ln()
3
3
a
a x -+=
03
a a ->+(3)0a a +<30a -<<故选：ACD
12.某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在1
3
比赛结束时（ ） A. 甲队积分为9分的概率为
B. 四支球队的积分总和可能为15分
127
C. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分
2243
的概率为
8243
【答案】ABD
【解析】对于选项A ：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为，故A 正确；
1111
33327
⨯⨯
=对于选项B ：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，
所以四支球队的积分总和可能为15分，故B 正确； 对于选项C ：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为
， 13
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C 错误；
3
11242333243⎛⎫
⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
对于选项D ：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲，
133
⨯若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，
2
13⎛⎫
⎪⎝⎭
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率；
2
123⎛⎫
⎪⎝⎭
23②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
2
13⎛⎫
⎪⎝⎭
③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；
2
13⎛⎫
⎪⎝⎭13
综上概率为，故D 正确．
2222
11121118
323333333243
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：ABD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分． 13.若关于x 的不等式在区间上有解，则实数a 的取值范围是______. 220ax x a -+≤[]0,2【答案】
(],1-∞【解析】因为，所以由得， []0,2x ∈220ax x a -+≤2
21
x
a x ≤
+因为关于x 的不等式在区间上有解，所以，
2
20ax x a -+≤[]0,22max
21x a x ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭当时，，当时，， 0x =22
01x
x =+0x ≠222111x x x x =≤=++当且仅当时，等号成立， 1x =综上
的最大值为1， 221
x
x +故，即实数a 的取值范围是. 1a ≤(],1-∞故答案为：.
(],1-∞14.已知的展开式中的系数为__________. 5
(21)x y -+4x y 【答案】 10-【
解
析
】
由
，
则其
展
开式的通项
5(21)x y -+， ()()()()()55555555C 122C C 12C C r
r
r
r
r r r k r k k r k r k
r r r T x y x y x
y -------=⋅+⋅-=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅
令，解得，
54
1r k r --=⎧⎨
=⎩
1,0r k ==所以的展开式中的系数为.
5
(21)x y -+4x y ()()1
1
1010551542C C 2C C 10--⋅⋅=-⋅⋅=-故答案为：.
10-
15.已知函数，如图A ，B 是直线与曲线的两个交点，()sin()f x x ωϕ=+y =
()y f x =且，则___________.
2π03f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
π12=AB (2023π)f =
【答案】
【解析】不妨设，
0ω>12,A x B x ⎛⎛ ⎝⎝
可得， ()()12sin sin x x ωϕωϕ+=+=2πsin 0
3ωϕ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭由图可知在一个周期内， 2π,,,03⎛⎫
⎪⎝⎭
A B 则，，， 1π2π3ωϕ+=
+x k 22π
2π3x k ωϕ+=+2π2π2π,3
ωϕ+=+∈k k Z 又因为，即，可得，解得， π||12=AB 21π12-=x x 21ππ
123
ωωω-=
=x x 4ω=则，解得， 2π42π2π,3ϕ⨯+=+∈k k Z 2π2π,3
ϕ=-+∈k k Z 所以， 2π2π()sin 42πsin 4,33⎛
⎫⎛
⎫=-
+=-∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭f x x k x k Z 可知的最小正周期， ()f x 2ππ
42
T =
=
所以. ()π2π2π(2023π)20460sin sin 233⎛⎫⎛⎫=⨯
==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f
故答案为：.
16.如图，在直三棱柱中，，，，为线段111ABC A B C -13AA =6BC =AB AC ==P 11A B 上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为A BC P --11A AC P -__________.
【解析】
如图，作，交于，则，
1PM //AA AB M 13PM AA ==过作交于点，连接.
M MN BC ⊥BC N PN 因为为直三棱柱，则平面，且， 111ABC A B C -1AA ⊥ABC 1PM //AA 则平面，且平面，所以， PM ⊥ABC BC ⊂ABC PM BC ⊥又，，平面， MN BC ⊥PM MN M ⋂=,PM MN ⊂PMN 所以平面，平面，所以， BC ⊥PMN PN ⊂PMN PN BC ⊥则是二面角的平面角，
PNM ∠A BC P --所以，所以，
tan 3PM
PNM MN ∠==1MN =
又，，所以，所以 AB AC ==6BC =MB =AM =1A P =
可把三棱锥补成棱长为，的长方体，
11A AC P -3
则三棱锥的外接球的半径为 11A AC P -R ==
所以三棱锥的外接球的体积为. 11A AC P -34π3=。