2021-2022学年云南省名校联盟高一上学期期末考试数学试题(解析版)

云南省名校联盟2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{0，1，2，3，5，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，6}B．{0，1，2}C．{0，2，6}D．{0，2，3，6} 2．函数y＝+ln（x﹣4）的定义域为（）
A．（4，7）B．（4，7〗C．（﹣∞，7〗D．（4，+∞）
3．已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（）
A．1B．C．2D．
4．已知a＝log35，b＝π，c＝2﹣0.1，则（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
5．设p：sinα＜，q：0＜α＜，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．20世纪30年代，查尔斯•里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A﹣lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），则里氏7.5级地震的最大振幅余里氏4级地震的最大振幅的比值约为（）（参考数据：．）
A．790B．1580C．3160D．6320
7．已知角θ的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．
8．函数的图象大致为（）
A．B．C．D．
9．将函数f（x）＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则（）
A．g（x+）为奇函数
B．g（x）的图象关于直线x＝对称
C．g（x）的图象关于点（﹣，0）对称
D．g（x）在（0，）上单调递减
10．已知，则＝（）
A．B．C．D．
11．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（2+x），当﹣2≤x≤0时，f（x）单调递增，则（）
A．
B．
C．
D．
12．设函数则下列说法错误的是（）
A．当a＝1时，f（x）的值域为（﹣∞，4〗
B．当f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2〗时，a≤1
C．当1≤a≤3时，函数g（x）＝f（x）﹣3有2个零点
D．当a＝3时，关于x的方程有3个实数解
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知a＞0，b＞0，且ab＝2，则2a+b的最小值为，此时a+b＝．14．已知，，则sin（α+β）＝．15．已知幂函数f（x）的图象过点（﹣2，﹣8），且f（a+1）≤﹣f（a﹣3），则a的取值范围是．
16．已知f（x）不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数f（x）：．①定义域为R；②；③1+f（2x）＝2f2（x）；④．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求值：
（1），
（2）．
18．（12分）已知非空集合A＝{x|2a﹣3＜x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）当a＝0时，求A∪B，A∩（∁R B）；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的〖解析〗式；
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的m（m＞1）倍（纵坐标不变）后，得到函数y＝（x）的图象，若g（x）在（0，）上有最大值，求m的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝，a＞0．
（1）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）若f（x）为奇函数，求关于x的不等式f（2ax）＜f（4a）的解集．
21．（12分）已知函数f（x）＝log a（x+2）+log a（1﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）若a＝3，求f（x）的单调区间；
（2）已知f（x）有最大值，且∀x∈（﹣2，1），∃b∈〖0，1〗，f（x）＜22b﹣1，求a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．
（1）若至少存在两个，使得f（x0）＝1，求ω的取值范围；
（2）若f（x）再（π，）上单调递增，且存在，且存在f（m）＜0，求ω的取值集合．
▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．C
〖解析〗∵集合A＝{0，1，2，3，5，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，
∴A∩B＝{0，2，6}．故选：C．
2．B
〖解析〗要使原函数有意义，则，解得4＜x≤7．
∴函数y＝+ln（x﹣4）的定义域为（4，7〗．故选：B．
3．C
〖解析〗设半径为r，圆心角为α，面积S＝r2α，则α＝＝＝2．故选：C．4．B
〖解析〗∵log33＜log35＜log39＝2，∴1＜a＜2，
∵0＜2﹣0.1＜20＝1，∴0＜c＜1，∴c＜a＜b，故选：B．
5．B
〖解析〗由sinα＜，可得2kπ﹣＜α＜2kπ+（k∈Z），
故由sinα＜，不能够推出0＜α＜，
由0＜α＜，可推出sinα＜，故p是q的必要不充分条件，故选：B．
6．C
〖解析〗设里氏7.5级地震的最大振幅余里氏4级地震的最大振幅分别为A1，A2，
则，所以A1＝107.5A0，A2＝104A0，故＝＝103.5＝1000≈3160．故
选：C．
7．D
〖解析〗∵角θ的终边经过点，
∴sinθ＝＝，cosθ＝，
∴＝cosθ﹣sinθ＝+＝，故选：D．
8．D
〖解析〗f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cos x＝﹣f（x），
即函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除，A，B，
当0＜x＜1时，cos x＞0，＝1﹣＞0，排除C，故选：D．
9．D
〖解析〗由题可知g（x）＝cos（2x），
则不是奇函数，所以A错误，
因为，，所以B，C均错误，故选：D．
10．B
〖解析〗令，故，，
故．故选：B．
11．A
〖解析〗∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）＝f（﹣x），
又f（﹣x））＝﹣f（x+2），∴f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝f（x），
则f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（505×4+1）＝f（1），
∵＜＜，∴1＜tan＜，
（﹣1，0）．
∵当﹣2≤x≤0时，f（x）单调递增，∴当0≤x≤2时，f（x）单调递减．
∵||＜1＜|tan|，∴．故选：A．12．C
〖解析〗A．当a＝1时，f（x）＝，如图，
所以f（x）的值域为（﹣∞，4〗，故A正确；
B．f（x）在（﹣∞，1〗和（1，2〗单调递增，
因为f（x）的单调递增区间是（﹣∞，2〗，
所以2+a≤﹣1+4，即a≤1，故B正确；
C．当x＞1时，由f（x）＝3，得x＝3，
当x≤1时，令f（x）＝2x+a＝3，得2x＝3﹣a，
此方程有唯一解，得0＜3﹣a≤2，
即1≤a＜3，此时函数有2个零点，故C错误；
D．当a＝3时，函数图象y＝f（x）与y＝如图所示，
由图可知，有3个交点，所以方程f（x）＝有3个解，故D正确．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．4；3
〖解析〗∵a＞0，b＞0，且ab＝2，∴2a+b≥2＝2＝4，
当且仅当a＝1，b＝2时取等号，
∴2a+b的最小值为4，此时a+b＝3．
故〖答案〗为：4；3．
14．
〖解析〗因为，，
所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝，故〖答案〗为：．
15．（﹣∞，1〗
〖解析〗设幂函数f（x）＝xα，
将点（﹣2，﹣8）代入函数的〖解析〗式得：（﹣2）α＝﹣8＝（﹣2）3，解得：α＝3，故f（x）＝x3，f（x）在R上递增且是奇函数，
若f（a+1）≤﹣f（a﹣3），则f（a+1）≤f（3﹣a），
故a+1≤3﹣a，解得：a≤1，故〖答案〗为：（﹣∞，1〗．
16．f（x）＝cos8x（〖答案〗不唯一）
〖解析〗由题意得函数f（x）是以T＝为周期的周期函数，
由f（2x）＝2f2（x）﹣1联想三角函数二倍角公式，而．
故满足题意的函数可以是f（x）＝cos8x．
故〖答案〗为：f（x）＝cos8x（〖答案〗不唯一）．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）
＝5﹣9×+1＝6﹣9×＝6﹣4＝2．
（2）
＝log66+lg10﹣3+e ln8＝1﹣3+8＝6．
18．解：（1）A＝{x|﹣3＜x＜0}，B＝{x|（x+2）（x﹣4）≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，
故A∪B＝{x|﹣3＜x≤4}，A∩（∁R B）＝（﹣3，﹣2）；
（2）根据题意得A⊆B．∵A≠∅，∴，解得，
故a的取值范围．
19．解：（1）由图可知，则，
解得ω＝6．将点代入f（x）＝sin（6x+φ），得+φ＝kπ（k∈Z），
因为|φ|＜，所以φ＝．
故f（x）的〖解析〗式为f（x）＝sin（6x+）．
（2）依题意可得，因为g（x）在上有最大值，且当时，，所以，
又m＞1，所以1＜m＜8，即m的取值范围是（1，8）．
20．解：（1）函数f（x）在R上单调递增．
证明：f（x）的定义域为R，∀x1，x2∈R，且x1＜x2，
有，
因为a＞0，x1﹣x2＜0，可得，所以＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上单调递增．
（2）由题意得f（0）＝0，即1﹣a＝0，解得a＝1．
则f（x）＝，可得f（﹣x）+f（x）＝+＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x）为奇函数，
由（1）可知f（x）在R上单调递增，
所以由f（2x）＜f（4），得2x＜4，解得x＜2，
故不等式的解集为（﹣∞，2）．
21．解：（1）由，可得﹣2＜x＜1，即f（x）的定义域为（﹣2，1），
当a＝3时，f（x）＝log3（﹣x2﹣x+2），
令t＝﹣x2﹣x+2（﹣2＜x＜1），则y＝log3t，
由y＝log3t在t∈（0，+∞）递增，t＝﹣x2﹣x+2在（﹣2，﹣）递增，在（﹣，1）递
减，故f（x）的单调递增区间为（﹣2，﹣），单调递减区间为（﹣，1）；
（2）f（x）＝log a（﹣x2﹣x+2），t＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，可得t∈（0，〗，
2021-2022学年期末考试试题
因为f（x）有最大值，所以y＝log a t在（0，〗上有最大值，
则a＞1，y max＝log a，
因为b∈〖0，1〗，所以22b﹣1∈〖，2〗，
因为∀x∈（﹣2，1），∃b∈〖0，1〗，f（x）＜22b﹣1，所以log a＜2，
所以a2＞，解得a＞，故a的取值范围是（，+∞）．
22．解：（1）由题意知，f（x）的图像在上至少有两个最高点．
因为，ω＞0，所以，因此，
解得ω＞5，故ω的取值范围为（5，+∞）．
（2）依题意得，又ω＞0，所以．
当时，，
又，f（m）＜0，所以，即．当k≤0或k≥2时，；当k＝1时，，又，则．
故ω的取值集合为．
11。