高考数学重难点第一讲(全国通用) 利用基本不等式求最值8大题型(原卷版及答案)(学生专用)

重难点1-1利用基本不等式求最值8大题型
【命题趋势】
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。

题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。

在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。

在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型
【满分技巧】
利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型
成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，
设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b
λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：15
2
5⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量
或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

【热点题型】
第2天掌握直接法及配凑法求最值模型
【题型1直接法求最值】
【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则
xy 的最大值为（
）A ．16
B ．25
C ．36
D ．49
【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（）A B ．2
C ．3
D ．4
【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（）
A ．
1
3
B C D ．
19
【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（）A ．2
B ．1
2
C ．
1
4
D ．4
【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足
()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（
）A ．16
B ．12
C ．8
D ．4
【题型2配凑法求最值】
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =________．
【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数
9
()(1)1
=+
>-f x x x x 的值域为______.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（）
A ．36
B ．25
C ．16
D ．9
【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+
，若0,0a b >>，且m n ⊥
，则11
3223a b a b
+++的最小值为（）
A ．
1
5
B ．
110
C ．
115
D ．
120
第3天掌握消元法及代换法求最值模型
【题型3
消元法求最值】
【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设2
2
0,0,12
y x y x ≥≥+=，则的最大值为（）
A ．1
B 2
2
C ．
4
D 【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4
a
b -的最小值为（）A ．1
B C ．2
D ．
【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xy
z
的最大值为（）A ．0
B ．2
C ．1
D ．3
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，
z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy
z
取得最大值时，212x y z +-的最大值为（
）A ．0B ．3C ．
94
D ．1
【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，
b ，
c 均为正实数，2ab ac +=，则118
a b c a b c
+++++的取值不可能是（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若
2222
1122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．
【题型4代换法求最值】
【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则
19
x y
+的最小值是_____．【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，
2a b +=，则4
b
a b +的最小值为_______.
【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______．
【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，
0y >，23x y +=，则
227
2x y x y
++++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8
D ．10
【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =
，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q
两点，(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ），则11
1x y ++的最小值为（
）
A ．
3
4
B ．1
C ．
43
D ．4
第4天掌握双换元法及齐次化求最值模型
【题型5
双换元法求最值】
【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，
且4x y +=，则22
12
x y x y +++的最小值是__________.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y 满
足()()38
1232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（
）A ．
54
B ．
83
C ．
43
D ．
5
2
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12
x y >>，不等式
22
4121
x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（）A ．8B ．16C ．
D ．【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则3
1
3213x y y +++的最小值是___________.
【题型6齐次化求最值】
【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则
2a b
a b a b
+++的最小值是____________.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实
数x ，y ，恒有()2222
x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则22
2
3x y xy y ++的最小值为
____．
第5天掌握构造不等式法及多次使用不等式求最值模型
【题型7
构造不等式法求最值】
【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________.
【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．
【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是
___________．
【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，142
5y x x y
+++
=，则2x y +的最小值为___________.【题型8多次使用不等式求最值】
【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则
242b
a b a
++的最小值为（）
A ．
B ．
C ．1
D ．1
【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式
()2
21112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）
A ．)+∞
B ．(0
C ．(]
0,2D ．[)
2,+∞【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则
1221c a b c ⎛⎫
++
⎪-⎝⎭
的最小值为（）A ．
92
B ．2
C ．6
D ．
21
2
【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππ
θ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，
不等式
()2
2
2
2cos 4b a c a b c
θ+++ 恒成立，则θ的取值范围是（
）
A ．,22ππ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
B ．,33ππ
⎡⎤-⎢⎣⎦
C ．,44ππ⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
D ．,66ππ
⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则222
2ab bc
a b c +++的
最大值为（）A ．1
2
B ．
1
4
C ．
22
D ．
32
第6天融会贯通限时练习（1）
1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足12
1x
y
+=，则x +2y 的最小值为（）A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知1
2,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（）
A ．2
B ．1
C ．4
D ．3
3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，
则4
log lo e e g a b +的最小值为（）A ．9lg2
B ．
21
2
C ．
252
D ．12
4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（）
A ．
1
9
B ．
16
C ．
13
D ．1
2
5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a 与
27b
的等比中项，则22231a b a b
+++的最小值为（
）
A ．9+
B ．
21
4
+C ．7
D ．
143
+6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分
别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u
r u u u r ，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（）A ．
4
3
B ．
103
C ．3
D ．2
7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数
()f x =的定义域为R ，则
2
2a b a
+的最小值是（）
A ．4
B ．6
C ．
D ．2
8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且1
1
()n
n x y y z x z +≥∈---N 恒
成立，则n的最大值为（）
A．2B．3C．4D．5
第7天
融会贯通限时练习（2）
1．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（）
A ．15a ≤
B ．1
a b +<C ．224445
3
a b ≤+≤
D ．2a b -≤
2．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（）
A ．
2168a a +>B ．219
a b
+≥C ≥
D ．3
5
42
2
a b a +-<
<-3．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（）
A ．
14
1
a b b +--的最小值为24B ．
141
a b b +--的最小值为25C ．2ab b a b --+的最大值为14
D ．2ab b a b --+的最大值为
116
4．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（）
A ．4
y x
x
=+
B ．0)y x =
>C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
D ．144x
x y -=+5．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足
474x y +=，则
21
32x y x y
+++的最小值为______.6．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则
22
a b a b
+-的最大值为___________.
7．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足
2
2
83
1322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．
8．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足
222120a ab b c ++-=，则当
a b
c
+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______.
答案：
第2天掌握直接法及配凑法求最值模型
【题型1直接法求最值】
例1（辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（）
A．16B．25
C．36
D．49
【答案】C
【解析】因为0,0x y >>，12x y +=≥36xy ≤，当且仅当6x y ==时取到等号，故xy 的最大值为36.故选：C
【变式1-1】（四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（）
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由已知3918x y +=可得23318x y +=，则21833x y =+≥+2381x y ≤，所以+24x y ≤，当且仅当=22x y =时取等号，即=2x ，=1y ，此时2xy =.故
选：B．
【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（）
A．
1
3
D．
19
【答案】C
【解析】解:由题知2222212a b a b b =+=++≥13
≤,当且仅当
a b ==
29
ab ．故选:C．【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y
＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（）
A．2B．1
2
C．
14
D．4
【答案】D
【解析】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴22
lg lg 4lg lg 422x y x y +⎛⎫⎛⎫
⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时等号成立．故选：D.
【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足
()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（
）A．16B．12
C．8
D．4
【答案】D
【解析】因为()()()()2
52522a b a b a b a b ⎡⎤+++++≤⎢⎥⎣⎦
，所以2
9(2)364a b +≥.又0,0a b >>.所以24a b +≥，当且仅当,33
8
2a b ==时，等号成立.故选：D
【题型2配凑法求最值】
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =值为________．【答案】9
2
-
【解析】因为30x -<<，所以()2299
22
x x f x -+==≥-=-，
当且仅当229x x -=，即x =()f x =92-.【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数
9
()(1)1
=+
>-f x x x x 的值域为______.【答案】[)
7,+∞
【解析】由题知，1x >，所以10x ->，所以()9
()11171
f x x x =-+
+≥=-，
当且仅当9
11
x x -=
-，即4x =时取等号，所以函数9()(1)1=+
>-f x x x x 的值域为[)7,+∞.
【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（）A．36B．25C．16
D．9
【答案】B
【解析】由7x y +=，得()()1210x y +++=，则()()()()2
1212252x y x y ⎡⎤
+++++≤=⎢⎥⎣⎦
，当且仅当12x y +=+，即4,3x y ==时，取等号，所以()()12x y ++的最大值为25.故选：B.
【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+
，若0,0a b >>，且m n ⊥
，则11
3223a b a b
+++的最小值为（）
A．
1
5
B．
110
C．
115
D．
120
【答案】A
【解析】根据题意，510m n a b ⋅=-++=
，即4a b +=，则()()322320a b a b +++=，又0,0a b >>，故
11
3223a b a b +++()()1113223203223a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣
⎦++⎝⎭1233211
22203223205a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=
++≥⨯+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当23323223a b a b a b a b
++=++，且4a b +=，即2a b ==时取得等号.故选：A.
第3天掌握消元法及代换法求最值模型
【题型3消元法求最值】
【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设2
2
0,0,12
y x y x ≥≥+=，则的最大值为（）
A．122
【答案】C
【解析】因为2
2
12
y x +=，所以22022y x =-≥，解得：[]0,1x ∈，
故22232224
x x +-===≤⨯=
，当且
仅当22232x x =-，即x 的最大值为
4
.【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4
a b -的最小值为（）
A．1
C．2D．【答案】B
【解析】,0a b > ,2240a ab -+=，则有22
a b a
=+，
22
4244a a a a b a a ∴-
=+-=+ 24a a =，即a =
时b =
【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、
z 满足22430x xy y z -+-=，则
xy
z
的最大值为（）
A．0B．2C．1D．3
【答案】C
【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，
则22
114433xy xy x y z x xy y y x ==-++-，当且仅当20y x =>时取等号.故
xy
z
的最大值为1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，
y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当
xy
z
取得最大值时，212x y z +-的最大值为（
）
A．0B．3C．
9
4
D．1
【答案】D
【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，
2234z x xy y ∴=-+．
∴22114343xy xy x y z x xy y y x ==-++- ，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．
∴222122121
(1)1122x y z y y y y
+-=+-=--+ ，当且仅当1y =时取等号，即2
1
2
x y z +-的最大值是1．故选：D
【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118a
b c a b c
+++++的取值不可能是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【解析】a ，b ，c 均为正实数，由2ab ac +=得：()2a b c +=，即2
b c a
+=，
所以22
11818282222a a a
a b c a b c a a a a a
+++=++=++++++
，由基本不等式得：2211828422a a a b c a b c a a +++=+≥++++，当且仅当222822a a a a +=+
，即2a =±
【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若
22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．
【答案】2【解析】()
()()()2
22222121112211444444204x y y x x x x x ⎛⎫
⎛⎫=--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭
，由212y x -=，所以211222y x x -=
=≤，所以112x ≤≤，所以(
)222112142042044x y x x ⎛⎫=-+≤-⨯⎪⎝⎭
⋅= ，
当且仅当1||x 时，等号成立，所以21x y ⋅2≤
，当且仅当21x y ==
21x y ==时取等号，所以21x y ⋅的最大值为2．
【题型4代换法求最值】
【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则1
9x y
+的最小值是_____．【答案】25
【解析】因为0,0x y >>，且41x y +=，所以
(
)1919346913254x y x y x y y x y x +=⎛⎫+=+ ⎪⎝+++⎭
+≥=，当且仅当36x y y x =，即13
,105
x y =
=时，等号成立.【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，
2a b +=，则4
b
a b +的最小值为_______.
【答案】2
【解析】因为0a >，0b >，且2a b +=
，所以
4422222b b a b b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪
⎝⎭，当且仅当222b a =时取等号故4
b a b +
的最小值为2
【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______．【答案】9
【解析】由2x y xy +=得
21
1y x
+=，又因为0x >，0y >，所以
()212222559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭
，当且仅当3x y ==时等号成
立，故2x y +的最小值为9．
【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，
0y >，23x y +=，则
227
2x y x y
++++的最小值为（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【解析】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>，
()()
22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++26≥+，
当且仅当2x y +=，即1
3x =，73y =时等号成立，即227
2x y x y
++++的最小值为6，故选：B.
【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，
G 为线段AM 上一点且2AG GM =
，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，
(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ），则111x y ++的最小值为（
）
A．
3
4
B．1C．
43
D．4
【答案】B
【解析】由于M 为线段BC 的中点，则
1122AM AB AC =+ ；又2AG GM = ，所以32AM AG = ，又(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ）；所以3222x y AG AP AQ =+
，则
33x y AG AP AQ =+ ；因为,,G P Q 三点共线，则133
x y
+=，化得()14x y ++=；由
()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
；当且仅当11x y y x
+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，11
1x y ++的最小值为1故选：B
第4天掌握双换元法及齐次化求最值模型
【题型5双换元法求最值】
【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，
且4x y +=，则22
12
x y x y +++的最小值是__________.【答案】
167
【解析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以
2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b
--+=++-++-++14
724(a b =--++1141()()
7a b a b =+++14
1(147b a a b =++++1161(577
≥+⨯+=；当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取
等号，则,x y 分别等于48,33时，2212x y x y +++的最小值是167
.
【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y 满足()()3
8
1232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（）
A．
5
4B．
83
C．
43
D．
52
【答案】D
【解析】()()3838232232x y xy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥
++++⎣⎦
，令2x y m +=，32x y n +=，
则2n m x -=
，34m n y -=，38367
75
2322222
x y n m xy x y x y m n =
+=+-≥-=++，
当且仅当362n m m n =且()()381232x y y x y x +=++，即x =y =所以52xy ≥，故xy 有最小值52
.故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12
x y >>，不等
式
22
4121
x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（）A．8B．16
C．
D．【答案】A
【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()
110,102
y b b x a a =+>=+>所以()()
22
22
114121a b x y y x b a ++++++++=
+≥=-
-()222228⎛=≥=⋅+= ⎝
；当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号；所以22
4121
x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A
【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则31
3213x y y
+++的最小值是___________.【答案】
8
5
【解析】设()()3213x y k x y y λμ++=+++，由对应系数相等得13123k λλμμ=⎧⎪
=+⎨⎪=⎩，得
13
1
9k λμ⎧=⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩；所以()()1113213939x y x y y ++=+++；整理得()()31132131010x y y =+++即()()()1
1961310
x y y =
+++；所以()()()311
319613321310
3213x y y x y y x y y ⎛⎫
+=
++++
⎪
++++⎝⎭()313196811032135
y x y x y y ⎛⎫++=+ ⎪++⎝⎭ .经验证当1
2
x y ==
时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】
【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都
是负实数，则
2a b
a b a b
+++的最小值是____________.
【答案】2
-【解析】22
22
22232a b a ab b a b a b a ab b +++=++++22132ab a ab b =-++1
123a b b a
=-++，因为,a b 都是负实数，所以20,
0a b b
a >>
，所以2a b b a +≥2a b b a =
时等号成立）.所以233a b b a
++≥
，所以123a b b a
≤
++，
所以1323a b b a -
≥=++
，所以1
1132
23a b b a
-≥+=++.即
2a b a b a b
+++
的最小值是2.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意
正实数x ，y ，恒有()2222
x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.
【答案】2
【解析】因为0,0x y >>，则()2
220x xy y x y xy -+=-+>，
则()2222
x y a x xy y +-+≤，即2
2
22
x y a x xy y
+-+≤，又222222
1
1x y xy x xy y x y +=-+-+，因为2
2
2x y xy +≥，所以221
12
xy x y -≥+，所以221
21xy x y
≤-
+，即22
222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max
2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.
【变式
6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则22
2
3x y xy y ++的最小
值为____．【答案】2
【解析】∵x ，y ＞0，则222
3x y xy y ++＝2
2
3
1x y x y
++，设x y ＝t ，t ＞0，则()()2
22221214
3311
t t x y t xy y t t +-++++==
+++＝（t +1）+41t +
当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ，故22
2
3x y xy y ++的最小值为2.
第5天掌握构造不等式法及多次使用不等式求最值模型
【题型7构造不等式法求最值】
【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________.【答案】9
【解析】由212ab a
b =++得，212ab
≥，
化简得)320≥，解得9ab ≥，所以ab 的最小值是9.
【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．【答案】4
【解析】由题知0,0,x y >>由基本不等式得2
2x y xy +⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭，即2
422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，令t x y =+，0t >，则有2
422t t ⎛⎫
+≤⨯ ⎪⎝⎭
，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，
即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为4.
【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．
【答案】
5
【解析】∵2
2
41x y xy ++=，∴2
2
2
2
325(2)31(2)(2)228x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭，
当且仅当2x y =时，等号成立，此时2
8(2)5
x y +≤，所以2x y +≤2x y +的
最大值是
5
.【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，142
5y x x y
+++=，则2x y +的最小值为___________.【答案】8
【解析】因为0x >，0y >，所以20x y +>；由
142
5y x x y
+++=两边同时乘xy ，得22425y y x x xy +++=，即2244254x y xy x y xy xy ++++=+，则()()2
229x y x y xy +++=，因为()2
2
22224x y x y xy ++⎛⎫≤= ⎪
⎝⎭
，所以()()2
2
29999222248x y xy xy x y +=⨯≤⨯=+，故()()()2
2
92228
x y x y x y +++≤+，整理得()()2
2820x y x y +-+≥，即
()()2280x y x y ++-≥，所以28x y +≥或20x y +≤（舍去），故2x y +的最小值为8.
【题型8多次使用不等式求最值】
【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则2
42b
a b
a +
+的最小值为（）
A．
B．C．1
D．1
【答案】B
【解析】因为0,0a b >>，所以24422224b a a a b a a ++≥=+≥，
当且仅当24b b
a =且42a a =，即a
b ==即2
42b
a b a ++的最小值为故选：B.
【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式
()2
21112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）
A．)+∞
B．(
0C．(]
0,2D．[)
2,+∞【答案】B
【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min 1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；02,20x a a x <<∴-> ，
又222211222(2)(2)(22)x a x x a x x a x a +≥=≥=+---，
上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in
1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，212a ∴≥
，解得a ≤0a ≠，又0a >，实数a
的取值范围是(
0.故选：B.
【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则
1221c a b c ⎛⎫
++ ⎪
-⎝⎭
的最小值为（）A．
92
B．2
C．6
D．
21
2
【答案】D
【解析】()()1
2
11
2
1
221
9
25542222
b
a
a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当2
3
a b ==时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）
所以()12292911212
c c a b c c ⎛⎫++≥-++≥ ⎪--⎝
⎭
9212
2
=，当且仅当()912
21
c c -=-，即53c =且23a b ==时，等号成立，故最小值为212，故选：D
【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +
∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，不等式
()2
2
2
2cos 4b a c a b c
θ+++ 恒成立，则θ的取值范围是（
）
A．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
B．,33ππ
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
C．,44ππ
⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
D．,66ππ
⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
【答案】C
【解析】因为,,,,22a b c ππ
θ+
⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦R ，不等式()222
2cos 4b a c
a b c θ+++ 恒成立，所以
()222max 2cos 4b a c a b c θ⎡⎤
+⎢⎥
++⎣⎦ ，因为,,a b c +∈R
，所以
)
))2
222222ab a
a b ⎤=≤
+=+⎥⎦
，当且仅当a =
时等号成立；
)
)
)2
2
22
222bc c
c c b ⎤=+
+⎥⎦
，当且仅当c 时等号成立.所以()
22222222
22244b a c ab bc a b c a b c ++=≤++++
=
，当且仅当a c ==时等号成立，所以
()22224b a c a b
c +++
，所以cos θ≥又因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,44ππ
θ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
.故选：C.
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则222
2ab bc
a b c +++的最大值为（）A．1
2B．
14
C．
22
【答案】A
【解析】因为a ，b 均为正实数，
则
2222222ab bc a c a c a b c b b ++=+++
+
12==≤=，当且仅当222a c b b
+=，且a c =，即a b c ==时取等号，则
222
2ab bc a b c +++的最大值为1
2．故选：A．
第8天融会贯通限时练习（1）
1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足1
2
1x
y
+=，则x +2y 的最小值为（）A．7B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，
当且仅当22y x
x y
=时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C
2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知1
2,2
x y x x >=+-，则y 的最小值为（）A．2B．1
C．4
D．3
【答案】C
【解析】因为2x >，所以1
20,
02
x x ->>-，由基本不等式得
11222422
y x x x x =+
=-++≥=--，当且仅当122x x -=-，即3x =时，
等号成立，则y 的最小值为4.故选：C
3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且
ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（
）A．9lg2B．
21
2
C．
252
D．12
【答案】C 【解析】n e 1
log l a a
=
，44l l e og n b b =，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >，
()41411
4log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=
+=⨯++ ⎪⎝⎭
14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当ln ln a b =时，即2
5
e a b ==时等号成立．所以4
log lo e e g a b +的最小值为25
2
．故选：C 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（）
A．
1
9
B．
16
C．
13
D．1
2
【答案】A
【解析】正数,a b 满足494a b +=，由基本不等式得：494a b +=≥19ab ≤
，当且仅当49a b =，即12,29
a b ==时，等号成立，ab 的最大值为1
9.故选：A
5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是
3a
与27b
的等比中项，则22231
a b a b
+++的最小值为（）
A．9+C．7
【答案】B
【解析】由等比中项定义知：3232739a b a b +⋅==，34a b ∴+=，
()2223121121163434544a b b a a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+++=++
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1521454
444⎛++≥++=+= ⎝（当且仅当6b a a b =，即8a =，(
43
3
b =
时取等号），即
2
2231a b a b +++6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线
分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u
r u u u r ，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（）A．
4
3
B．
103
C．3D．2
【答案】C
【解析】在ABC 中，E 为重心，所以
21()32AE AB AC =⋅+ 1()3AB AC =+
，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u
r u u u r ，（0x >，0y >）所以1AB AM x = ，1AC AN y = ，所以
111133AE AM AN x y =⋅+⋅ .因为M 、E 、N 三点共线，所以11
133x y
+=，
所以11(4)33x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
4143333y x x y =+++533≥+=（当且仅当
433y x x y =，即12
x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C．7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数
()f x =的定义域为R ，则
2
2a b a
+的最小值是（）
A．4B．6C．D．2
【答案】A
【解析】∵()f x =定义域为R，∴22()2()10x a b x a b -+++-≥在R 上恒成立，∴2[2()]4[2()1]0a b a b ∆=-+-⨯+-≤，即：2()2()10a b a b +-++≤∴2(1)0a b +-≤，解得：1a b +=又∵0,0a b >>
∴
2121212222a b b a b a b a -+=+=+-1212=()()224222a b a b b a b a ++-=++≥=当且仅当
22a b
b a
=，即21,33a b ==时取等号.故选：A.
8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()n
n x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（）A．2B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】因为x y z >>，所以0x y ->，0y z ->，0x z ->，
所以不等式11n x y y z x z +≥---恒成立等价于11()n x z x y y z ⎛⎫
≤-+ --⎝⎭
恒成立.
因为()()x z x y y z -=-+-≥，
11x y y z +≥--
所以1
1()44x z x y y z ⎛⎫
-⋅+
≥ ⎪--⎝⎭
（当且仅当x y y z -=-时等号成立），则要使1
1()n x z x y
y z ⎛⎫
≤-⋅+
⎪--⎝
⎭
恒成立，只需使4()n n ≤∈N ，故n 的最大值为4.故选：C
第9天融会贯通限时练习（2）
1．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数
a ，
b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（）
A．15a ≤
B．1
a b +<C．224445
3
a b ≤+≤
D．2a b -≤
【答案】ACD
【解析】由2241a ab b -+=，可得22410b ab a -+-=，关于b 的方程有解，
所以()()2
2
4410a a ∆=---≥，所以2415a ≤
，即a ≤A 正确；取0,1a b ==，2241a ab b -+=，则1a b +=，故B 错误；
由2
2
41a ab b -+=，可得2
2
141122a b ab ab +=+=+⋅，又2222
44222
a b a b ab ++-≤≤，令
224t a b =+，则()2122t t t -
≤-≤，所以4453t ≤≤，即2244
453
a b ≤+≤，故C 正确；由2241a ab b -+=，可得()2
231a b ab -+=，所以()()2
3213122
a b ab a b -=-=+⋅⋅-，
令2u a b =-，由()2
222a b a b -⎛⎫⋅-≤ ⎪⎝⎭
，可得22318u u ≤+，所以2
85u ≤，即25a b -≤，故D 正确.故选：ACD.
2．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（）
A．2168a a +>B．2
19
a b
+≥≥
D．35
422
a b a +-<
<-【答案】ACD
【解析】对于A 选项，()2
216840a a a +-=-≥，当且仅当4a =时等号成立，
当4a =时，由于220a b +-=，得22286b a =-=-=-，与b 为正数矛盾，故4a ≠，即得2168a a +>，故A 选项正确；对于B 选项，220a b +-= ，12
b
a ∴+=.又
0,0a b >> 2121159
22222
b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭，当且仅当b a
a b =，即23
a b ==时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，220a b +-= ，22b a ∴=-，()0,1a ∈.
()
2
2
2
2
2
2
4422584555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝
⎭ ，22
45a b ∴+≥，当且仅当45a =时等
号成立，≥
C 选项正确；对于
D 选项，220a b +-= ，22b a ∴=-，()0,1a ∈.
()()25522535
10122222
a a
b a a a a a a a a a ---+-+----∴
====--<<-----，当01a <<时，221a -<-<-，55522a ∴-<
<--，得351422a <--<-，即35
422
a b a +-<<-，故D 选项正确.故选：ACD
3．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（）
A．
14
1
a b b +--的最小值为24B．
141
a b b +--的最小值为25C．2ab b a b --+的最大值为14
D．2ab b a b --+的最大值为
116
【答案】BD
【解析】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，
()()()()441411411
a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=
+--()()414171b a b a b b --=++--
17≥+25=；当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的
最小值为25．又()()141a b b =-+-=≥()1412a b b -=-=
时，等号成立，所以()()2
1116
ab b a b a b b --+=-⋅-≤，故2ab b a b --+的最大值为
1
16
．故选：BD .4．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（）
A．4
y x
x
=+
B．0)
y x =
>C．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
D．144x
x y -=+【答案】BD
【解析】对于A，当0x >时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x
=，即2x =时取等
号；当0x <时，4
4[()]4y x x x
x
=+=--+-≤-=-，当且仅当4x x
-=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，A 错误；
对于B，
y =
，因为0x >1>，
4
3x =时取等号，所
以0)
y x =>的最小值为4，B 正确；
对于C，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4
sin [5,)sin y x x
=+
∈+∞，C 错误；
对于D，40x >，1444444x x x x y -=++
=≥，当且仅当444x x =，即12x =时取
等号，所以144x x y -=+的最小值为4，D 正确.故选：BD
5．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则21
32x y x y
+++的最小值为______.【答案】
9
4
【解析】因为474x y +=，所以
()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎣⎦++++⎝⎭
，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤
++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()
220,02233x y y y x y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x y x y ++++≥=+，当且仅当32474
x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以
()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84
,1515
x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为9
4
.6．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则
22
a b a +-的最大值为___________.
【解析】由题知，,a b ∈R ，且2
2
1b a -=，即22
1b a =+，所以221
a b a a b b
+-+=，当0a =时，2
1b =，即1b =±，此时11a +=±，所以22
a b a b
+-的最大值为1，当0a ≠时，2
222
1212211212a a a a a b b a a ⎛+⎫++==+≤+= ⎪+⎝⎭
，当且仅当1=a 时取等号，
此时1a b
+≤；所以
22
a a
b b
+-.综上，
22
a a
b b
+-的最大值
.
7．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足
22
83
1322x xy xy y
+=++，则xy 的最小值是_________．【答案】
52
【解析】根据题意，由2
2831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)
1(32)(2)
xy y x xy x xy xy y +++=++，即32222322
1)6914384384y x xy x x y xy y
x xy y y x ++=+++=+；所以222
222221691416914383844y y
y x xy x x y y y x xy x x
xy ++=+=+++++；又因为,x y 均是正数，令
()0,y t x =∈+∞，则2
2
16149
83
()4xy f t t t t t =++++=；所以，22221831
()44443
16149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+令2384)183
(g t t t t ++=+
，则
16
16
2112110101899()292718396
18327
2727
g t t t t t ⎛⎫=++=+
++≥= ⎪++⎝⎭当且仅当16
21996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即1
2t =时，等号成立；所以
2
181455
()441841827183
3
2f t t t t +=+=-
≥-=+；所以()f t 的最小值为min 5
()2
f t =;
即当1
,22y t x y x =
===
时，即x y ==时，等号成立.8．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足
222120a ab b c ++-=，则当
a b
c
+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______.【答案】
916
【解析】由222120a ab b c ++-=，可得()()
()2
2
2
22
31224a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭
，即4a b c +≤，当且仅当a b =时，等号成立，所以当
a b c
+取得最大值时，a b =，42a b a
c +==，所以。