非线性极化率的微观表示

第二章
非线性极化率的微观表示
§4 局域场的影响
局域场修正的缘由
在稀疏介质（气体）中，微观粒子之间的距离很远，粒子间相互作用可以忽略，粒子体系的演化完全由外加光场支配。

前面给出的关于非线性极化率张量元的微观表示仅对于稀疏介质才是严格正确的。

而在凝聚态物质中，粒子之间的相互作用无法忽略，感应的偶极矩-偶极矩相互作用变的重要，体系演化必须在外加光场的情形下加以修正。

以下修正的适用范围：
具有各向同性的或者立方对称、具有完全局域的束缚电子的介质
§4 局域场的影响
稀疏介质
极化强度：
单个分子的极化强度
()"
G G G #I G G I G I G ++•+=E E E E E E P )3()2()1(χχχω())
(ωωp N P G G =()"
G G G #I G G I G G ++•+=loc loc loc loc loc loc E E E E E E p )3()2()
1(αααω)
()
(n n N α
χ
I I =E
E loc G G =
不同张量元之间的关系
1.
本征置换对称性
二阶极化率
其本质上描述的是同一个过程
)
,,,,(2121)
(r r m m m r ωωωωχαααα""−)
()(),()
2(ωωωi n k m j P E E ⇒)
()(),,()(),(),()()(),,()(),(),()2()2()2()
2(m j n k m n j
k i i m n n k m j n m k j i i n m E E P j k E E P k j ωωωωωχ
ωωωωωωωωχωωω−=⇒+−=⇒+)
54.2()
,,(),,()2()2(m n j
k i n m k
j i ωωωχ
ωωωχ
−=−
三阶极化率
)
()(),(),()
3(ωωωωi q l n k m j P E E E ⇒)
()()(),,,()(),)(,)(,()
()()(),,,()(),)(,)(,()()()(),,,()(),)(,)(,()3()
3()3()
3()3()
3(m j n k q l m n q ilkj
i m n q q l m j n k q m n ikjl
i q m n q l n k m j q n m ijkl
i q n m E E E P j k l E E E P l j k E E E P l k j ωωωωωωωχωωωωωωωωωωωχωωωωωωωωωωωχωωωω−=⇒−=⇒−=⇒"
)
,,,(),,,()
55.2(),,,(),,,()
,,,(),,,()3()3()3()3()3()3(m n q ilkj
n m q iljk
m q n iklj
n q m ijlk
q m n ikjl
q n m ijkl ωωωωχωωωωχωωωωχωωωωχωωωωχωωωωχ−=−=−=−=−=−
阶极化率
按频率与偏振配对的方式进行任意的置换（r!种置换）
都表示同一个物理过程与现象其非线性极化率张量相等
r )
()(,),(),()
(2211ωωωωααααr m m m P E E E r r ⇒")
,(),(),(),(),(2121r m j m i m m m r j i αωαωαωαωαω""")
56.2(),,,,,,,,()
,,,,,,,,(21212
1
2
1)
()
(r i j r i j r
j
i
r
j
i
m m m m m r m m m m m r ωωωωωωχωωωωωωχαααααααααααα""""""""""""−=−
2.
全置换对称性
当所有参与的光波频率及其和、差组合都远离介质的共振频率时，的置换对称性可以扩展到（合计(r+1)!种置
换）例：二、三阶极化率{}
),(),)(,(2121r m m m r αωαωαω"{
}
),(),)(,)(,(2121r m m m r αωαωαωαω")
57.2(),,,,,,()
,,,,,,(21212121)
()(r i r i r
i r i m m m m r m m m m r ωωωωωχωωωωωχαααααααααα""""""""−=−)
58.2()
,,(),,(),,()
2()2()2(ωωωχωωωχωωωχ−=−=−m n i j k m m k i j n m k j i )
59.2(),,,(),,,()
,,,(),,,()3()3()3()3(ωωωωχωωωωχωωωωχ
ωωωωχ−=−=−=−n m q ljki
q m n kjil
q n m jikl q n m ijkl
Kleinman 对称性
进一步，若介质非线性微观机制为电子，且在所考察的频率范围内没有共振、耗散、色散，则其非线性极化的色散性质可以忽略
3.
时间反演对称性
真实性条件
光场、极化强度均为实数
)
60.2()
',','(),,()2()2(n m ijk
n m ijk ωωωχωωωχ−=−)
(*)()(*)(ωωωωP P E E =−=−[][]
[][
][
][
]
*
*2*1*21)
(2121)
(*
)
()
()()(),,,,()
()()(),,,,()(21212121r r r r r r r r r
r r E E E E E E P
ωωωωωωωχ
ωωωωωωωχωααααααααααααααα
""""""−=−=∗
对称操作A
j j
ij i i i x A x x x A ∑=→'}'{}{:j j
ij i i i E A E E E A ∑=→'}'{}{:j
j
ij i i i P A P P P A ∑=→'}
'{}{:r
r
r
E E E P r r αααα
αααααααχ"""2
1
2121)
()
(∑=
r
r
r E E E P r r β
ββββββββββχ''''212121)
()("""∑=)
62.2(22112121
21
)
()
(r
r r
r r
A A A A r r βαβαβαα
ααααααβββββ
αβχχ"""
"∑∑=
例1：反演对称中心（中心对称）
具有反演中心的介质，其偶数阶非线性极化率为零
ia
ia A δ−=0)1()1()1()2()2()2(=⇒−⋅−=−ijk
ijk
ijk
χχ
χ
)1()1()2(2)2()2(=⇒−⋅=−n ijk n
n ijk n ijk "
""
χ
χ
χ
2.频率置换
二阶极化
外加光场二阶极化
)(),(),(),(2121ωωωωz z y y E E E E )
(21)
2(ωωω+=x P )
()(),,()()(),,()()(),,()
()(),,()(2112)2(1212)2(2121)2(2121)2()2(ωωωωωχ
ωωωωωχωωωωωχωωωωωχωy z xzy
z y xyz y z xzy z y xyz
x
E E E E E E E E P −+−+⇒−+−=
)
()(),,(2)()(),,(2)(2121)2(2121)2()2(ωωωωωχ
ωωωωωχωy z xzy
z y xyz
x
E E E E P −+−=
即：在的情况下，的频率排序可以由
本征置换对称性二加以固定一般的：
同频率置换
相同频率的场进行置换不会对极化产生附加贡献
21ωω≠),,()2(n m ijk
ωωωχ−)
64.2()()(),,(2)()2()
2(n k m j n m jk
ijk
n m i E E P ωωωωωχ
ωωω−=+=∑Ω
=Ω
==221ωωω)
(),(ΩΩz y E E )
()(),,()()(),,()()
2()2()2(ΩΩΩΩ−+ΩΩΩΩ−=y z xzy z y xyz x E E E E P ωχωχω)
65.2()
()(),,()2()2()
2(m k m j m m jk
ijk m i E E P ωωωωωχ
ωω−==∑。