2023年中考数学难点突破----二次函数专题研究之二次函数图象中的圆

PC 1 PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2
【例3】（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与轴，y轴分 别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
解：（1）直线y=-5x+5,x=0时，y=5 ，∴C(0,5) ； 当y=-5x+5=0时，x=1; ∴A(1,0)
【例2】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x轴交于A （﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点． （2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝ ，求点P的坐标；
（2）如图甲中，连接OP．设P（m， m2﹣m﹣4）． 由题意，A（﹣2，0），C（0，﹣4）， ∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP， ∴ ＝ ×2×4+×4×m﹣ ×2×（﹣ m2+m+4）， 整理得， m2+2m﹣15＝0， 解得m＝3或﹣5（舍弃）， ∴P（3，﹣ ）．
∴设抛物线表达式为：y=a(x+4)(x﹣2)
把C（0，4）带入得:4=a(0+4)(0﹣2)
∴a=﹣0.5
∴抛物线表达式为：y=﹣0.5(x+4)(x﹣2)=﹣0.5x2﹣x+4
【例4】（2018威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣4，0)，
B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于
【例4】（2018威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4，0)， B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴 交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式； 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； 解：（1）∵二次函数的图像过点A（-4，0）和点C（2，0），
（3）如图2，若点是半径为2的○B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时， PC 1 PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2
（3）如图2，在轴上取点D(4,0)，连接PD、CD，∴BD=5-4=1
∵AB=4,BP=2，∴ BD BP 1
BP AB 2
PBD ABP PBD∽ABP
难点突破---二次函数
知识点十
二次函数图象中的圆
知识点十：二次函数图像中的圆
抛物线与圆形结合是中考近几年的新的热点 之一，其表现形式是以抛物线为载体，探讨坐 标系中的几何图形的某些性质，考查形式多以 某种几何图形与圆的位置关系。这类问题一般 转化为计算线段长的问题。
【例1】（2020•济宁）我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m,n)、 半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准 方程是(x-1)2+(y=2)2=9．在平面直角坐标系中，圆C与轴交于点A，B，且点
MH
1 4(m2 2
6m 5) 2m2
12m 10 2(m 3)2
8
M
S四边形AMBC SABC SABM 10 [2 m 3)2 8 2(m 3)2 18
∵当m=3，即M(3,-4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18.
【例3】（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与轴，y轴分 别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
∴
PD BD 1 AP BP 2
PD 1 AP PC 1 PA PC PD
2
2
∴当点C、P、D在同一直线上时，
PC 1 PA PC PD CD 最小
2
CD OC2 OD2 52 42 41
PC 1 PA 的最小值为
2
41
。
【例4】（2018威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(﹣4，0)， B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于 点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
,此时点N坐标为（﹣1， ）
当点N在x轴下方时，点N坐标为(﹣1，﹣ )
当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在．
故答案为：（﹣1， ）、（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）
1、（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2,1））在二次函数的图象上， 过点作轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
【例1】（2020•济宁）我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m,n)、 半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准 方程是(x-1)2+(y=2)2=9．在平面直角坐标系中，圆C与轴交于点A，B，且点
B的坐标为(8,0)，与y轴相切于点D(0,4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为E． （2）试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．
3
①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP
当x= 1 时，y=﹣
3
∴DN=MP= , ∴点N坐标为（﹣1， ）
②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等
则点M横坐标为﹣ ,则M纵坐标为﹣
由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离
当点N在D点上方时，点N纵坐标为
【例3】（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与轴，y轴分 别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，
四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若点是半径为2的○B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，
2
E(m,n)．
由题意A（﹣2，0），AM＝PM，
∴32+t2＝(m﹣1)2+[ (m+2)(m﹣4)﹣t]2，
解得t＝1+ (m+2)(m﹣4)，
∵ME＝PM，PE⊥AB，
∴t＝
，
∴n＝2t﹣ (m+2)(m﹣4)＝2[1+ (m+2)(m﹣4)]﹣ (m+2)(m﹣4)＝2，
∴DE＝2， ∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．
解:(3)∵点B坐标为(2，0)，C点坐标为(0，4), ∴BC=
∵EF为BC中垂线, ∴BE=
在Rt△BEF和Rt△BOC中，cos∠CBF=
,∴
∴BF=5，EF=
，OF=3
设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切,如图：
①当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1
方程是(x-1)2+(y=2)2=9．在平面直角坐标系中，圆C与轴交于点A，B，且点
B的坐标为(8,0)，与y轴相切于点D(0,4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求圆C的标准方程； 解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设○O的半径为r．
∵与y轴相切于点D(0,4)， ∴CD⊥OD，
∵DC2=12+(4﹣m)2，DB2=m2+(2+1)2
∴12+(4﹣m)2=m2+(2+1)2
解得：m=1
∴点D坐标为（﹣1，1）
【例4】(3)点P在x轴上，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于R．求点P的坐标；
【分析】（3）由题意画示意图可以发现由两种可能性，确定方案后利用锐角三角函
数定义构造方程，求出半径及点P坐标；
【例2】（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点
E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，
求DE的长．
解：（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．
理由：如图乙，连接AM，PM，EM，设M(1，t)，
P m, 1 m 2m 4
∵∠CDO=∠CMO=∠DOM=900，∴四边形ODCM是矩形，
∴CM=OD=4，CD=OM=r，
∵B(8,0)，∴OB=8， ∴BM=8-r，
在Rt△CMB中，∵BC2=CM2+BM2，
∴r2=42+(8-r)2， 解得r=5， ∴C(5,4)，
M
∴○C的标准方程为(x-5)2+(y-4)2=25．
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°∴四边形P1Q1ER1是正方形
∴ER1=P1Q1=r1,在Rt△BEF和Rt△FR1P1中, tan∠1=
∴
, ∴r1= ,∵sin∠1=
∴FP1=
，OP1=
1 3
∴点
1 3
P1( ,0)
②同理，当圆心P132在直线BC右侧时，可求r2= ，OP2=7, ∴P2坐标为（7，0）
a1 4
【例2】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x 轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线 上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝ ，求点P的坐标； （3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点 E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若 不变，求DE的长．
点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（2）求点D的坐标；
【分析】（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；
解：（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣1
∵线段BC的中垂线与对称轴点D坐标为（﹣1，m）
过点C做CG⊥l于G，连DC，DB, ∴DC=DB
在Rt△DCG和Rt△DBH中
B的坐标为(8,0)，与y轴相切于点D(0,4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为E． （1）求圆C的标准方程； （2）试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．
【例1】（2020•济宁）我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m,n)、
半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准
（1）求二次函数的表达式； （2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标； （3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和
【例4】(4)点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，
M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则写出N点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的
性质，同一对角线 上的两个端点到另一对角线距离相等．
解：（4）存在;当点P坐标为（ 1 ，0）时，
【例2】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x 轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线 上的一个动点． （1）求二次函数的解析式；
解：（1）∵二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点， ∴二次函数的解析式为y＝ （x+2)(x﹣4）， 即y＝ x2﹣x﹣4．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）求点D的坐标； （3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标； （4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P， M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说 明理由．
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C
∴
解得：
∴抛物线解析式为
当
时，解得：
【例3】（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与轴，y轴分 别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一 位置时， 四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)， ∴AB=5-1=4，OC=5
SABC
1 2
AB
OC
1 4 5 10 2
H
∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M(m,m2-6m+5)(1＜m＜5)，
∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5
•
SABM
1 2
AB