必修三第02讲 ：抽样方法与变量间的相关关系

第二讲抽样方法与变量间的相关关系
A组
一、选择题
1.(2015北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
【答案】C
【解析】由题意抽样比为3201
=，∴该样本的老年教师人数为
16005
1
⨯ (人)，故选C.
900=180
5
2.（2016山东卷）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56
B.60
C.120
D.140
【答案】D
【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有200(0.160.080.04) 2.5140
⨯++⨯=（人），故选D.
3．（2015山东卷）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标
准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
A.①③ B .①④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【解析】由茎叶图知：
甲的数据为：26，28，29，31，31；
乙的数据为：28，29，30，31，32.
x 甲
26+28+29+31+31
=29
5
=，=
x
乙
28+29+30+31+32
=30
5
=
2= S
甲
22222 (26-29)+(28-29)+(29-29)+(31-29)+(31-29)
= 3.6
5
=
2= S
乙
22222 (28-30)+(29-30)+(30-30)+(31-30)+(32-30)
2
5
=
∴x
甲<x
乙
2>
S
甲
2
S
乙
故选B.
4.（2016北京卷）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远
决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )
A.2号学生进入30秒跳绳决赛
B.5号学生进入30秒跳绳决赛
C.8号学生进入30秒跳绳决赛
D.9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B
【解析】将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B.
5.(2015全国卷Ⅰ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图.以下结论不正确的是( )
A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D
【解析】从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减
趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D.
6.(2015福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
=+y bx a 0.76,-==b a y bx 据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元
B.11.8万元
C.12.0万元
D.12.2万元
【答案】B
【解析】回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b ＝0.76，∴a ＝0.4，由y ＝0.76x ＋0.4得当x ＝15万元时，y ＝11.8万元，故选B.
7.(2015安徽卷)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据
2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A.8
B.15
C.16
D.32 【答案】C
【解析】法一：设1210,,,x x x 的平均值为x ，则121010+++=x x x x
1s 则12101=[(2x -1)+(2x -1)(2x -1)]10++y 12101=
[2(x +x x )-10]2110++=-x ，
所以2s
1s ，故选C.
法二： 由方差的性质：1210,,,x x x 方差为2s 则1210,,,+++ax b ax b ax b
方差为22a s .因为1210,,,x x x 的标准差为8即方差为64，所以
12102-1,2-1,,2-1x x x 的方差为 464⨯，故选
C.
8．（2016黄冈模拟）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A ．②、③都不能为系统抽样
B ．②、④都不能为分层抽样
C ．①、④都可能为系统抽样
D ．①、③都可能为分层抽样
【答案】 D
【解析】 根据三种抽样方法的特征，如果是分层抽样，则各号段应占的比例为4∶3∶3，①②③均适合；如果是系统抽样，则抽取的样本号码应该构成公差为27的等差数列，且首项小于或等于27.其中①③的首项分别为7和11，适合；④的首项为30，不适合.故选
D.
二．填空题
9．（2016上海卷）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别
为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是
_________（米）
【答案】1.76
【解析】数字按大小顺序排列为1.69,1.72, 1.75, 1.77,1.78, 1.80，位于中间的数有两个，中位数为它们的平均值1.75+1.77=1.76
2，故答案为1.76
10．(2015湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间
[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
【答案】(1)3 (2)6 000
【解析】
(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2
＝1，解得a＝3.
(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 故答案为6 000
11．（2016江苏南通模拟）某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有________人．【答案】600
【解析】
在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，
则高二女生人数为0.19×2000=380人，
则高三人数为2000﹣650﹣370﹣380=600人，故答案为600．三．解答题
12．(2015衡水中学二模)已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001,002，…，800进行编号．
(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74
47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76(第7行)
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50
71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行)
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07
44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行)
(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
与数学成绩的等级人数，例如：表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42人．
①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ,b 的值；
②在地理成绩及格的学生中，已知10,8≥≥a b ，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
【解析】
(1)从第8行第7列的数开始向右读，依次检查的编号分别为
785,916(舍)955(舍)，667,199，…，故最先检查的3个人的编号为785,667,199.
(2)①7+9+30%100
=a ,∴a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17.
②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31.
10,8≥≥a b ，,∴a b 的所以可能为(10,21)，(11,20)，(12,19)，
(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，共14种．
记10,8≥≥a b ，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A.
则事件A 包括(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，共6个基本事件．63P(A)147
∴==即数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为37
.
13．(2015全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣
传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝
1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中8i i 1
1w =w =w 8=∑i . (1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直
线v +u αβ=的斜率和截距的最小二乘估计分别
为
1
82
1(u u)(v v)
,v u (u
u)βαβ==--==--∑∑n i i i i i 【解析】
(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传
费x 的回归方程类型．
(2)
令w =y 关于w 的线性回归方程． 由于81821(w w )(y y )108.8681.6
(w
w)==--
===-∑∑i
i i i i d ，c y dw=563-68 6.8=100.6=-⨯， 所以y 关于w 的线性回归方程为100.668w =+y ，
因此y
关于x 的回归方程为100.6=+y (3)①由(2)知，当x ＝49时，
年销售量y 的预报值100.6=+y ，
年利润z 的预报值z 0.257.64966.32=⨯-=
②根据(2)的结果知，年利润z 的
预报
值2z 0.2(100.6x x 20.1220.12=+-=-+=-+
13.6 6.82
==，即x ＝46.24时，z 取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
14.(2015淄博模拟)某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B 的考生有20人.
(1)求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；
(2)若等级A、B、C、D、E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；
(3)已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率.
【解析】
(1)因为“代数”科目中成绩等级为B的考生有20人.
所以该小组有20÷0.25＝80(人).
所以该小组同学中“几何”科目成绩等级为A的人数为
80×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝80×0.075＝6人.
(2)该考场考生“代数”科目的平均分为
1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.
(3)因为两科考试中，共有12人次得分等级为A.又恰有4人的两科成绩等级均为A.
所以还有4人有且只有一个科目得分为A.
设得到成绩等级为A的这8人编号为1～8号，其中1～4号是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，构成的所有基本事件有：
{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{1，7}，{1，8}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{2，7}，{2，8}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，6}，{4，7}，{4，8}，{5，
6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，共有28个基本事件.由于被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件B “随机抽取两人进行座谈交流，这两人的两科成绩等级均为A ”.所以事件B 中包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个.则63()2814
==P B . 15．（2016年北京卷）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？
（II ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
【解析】（I ）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米
的居民占45%．依题意，w至少定为3．
（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05
=（元）．
10.5
B组
一．选择题
1.（2016全国卷III）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在00C以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均气温高于200C的月份有5个
【答案】D
【解析】由图可知00C均爱虚线框内，所以各月的平均气温都在00C 以上，A正确；由图可知在七月的平均气温差大于7.50C，而一月的平均气温差小于7.50C，七月的平均气温差比一月的平均气温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均气温都大约在50C，基本相同，C 正确；由图可知平均气温高于200C的月份有3个或2个，所以不正确，故选D.
2.(2016陕西西安一模)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50
人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为( ) A.12 B.13 C.14 D.15
【答案】A
【解析】系统间隔=1 000÷50＝20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项，以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为 8(n-1)202012n a n =+⨯=-.由75120121000n ≤-≤，解得38.1550.6,n n N *≤≤∈.可得3950,n n N *≤≤∈，故做问卷C 的人数为12.故选A
3.(2015山东泰安一模)根据如下样本数据
得到的回归方程为=+y bx a .若=7.9a ，则x 每增加1个单位，y 的值就平均( )
A.增加1.4个单位
B.减少1.4个单位
C.增加1.2个单位
D.减少1.2个单位
【答案】B
【解析】因为回归方程为=+y bx a 恒过样本中心点(5，0.9)，所以b =－1.4，则x 每增加一个单位，y 就减少1.4个单位，故选B.
4.(2016山东青岛一模)已知数据x 1，x 2，x 3，…，x 50，500(单位：
公斤)，其中x 1，x 2，x 3，…，x 50，是某班50个学生的体重，设这50
个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则x 1，x 2，x 3，…，x 50，500
这51个数据的平均数、中位数分别与x 、y 比较，下列说法正确的是
( )
A.平均数增大，中位数一定变大
B.平均数增大，中位数可能不变
C.平均数可能不变，中位数可能不变
D.平均数可能不变，中位数可能变小
【答案】B
【解析】由题意，数据x 1，x 2，x 3，…，x 50，是某班50个学生的体重，
其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，故选B.
5.(2015广东东莞模拟)对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则不正确的说法是( )
A.若求得的回归方程为y^＝0.9x－0.3，则变量y和x之间具有正的线性相关关系
B.若这组样本数据分别是(1，1)，(2，1.5)，(4，3)，(5，4.5)，则其回归方程=+
y bx a必过点(3，2.5)
C.若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E1＝0.8.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为E2＝2.1，则模型1的拟合效果更好
D.若用相关指数R2(R2＝1－
2
1
2
1
()
()
n
i i
i
n
i
i
y y
y y
=
=
-
-
∑
∑
)来刻画回归效果，回归模型3
的相关指数R23＝0.32，回归模型4的相关指数R24＝0.91，则模型3的拟合效果更好
【答案】D
【解析】相关指数R2越接近于1拟合效果越好，故选D.
6.（2016襄阳四中周考）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的,m n的比值m
n
＝（）
A．1 B．1
3C．2
9
D．3
8
【答案】D 【解析】由茎叶图可知乙的中位数是3234332
+=，甲、乙两组数据中位数相同所以=3m ，则甲的平均数为3933+27333
+=，甲、乙两组数据平均数也相同，所以3234+38+20+334+=n ，解得=8n ，即3=8
m n 故选D. 7.（2016湖北重点高中联考）教师想从52个学生中，利用简单随机抽样的方法，抽取10名谈谈学习社会主义核心价值观的体会，一小孩在旁边随手拿了两个号签，教师没在意，在余下的50个号签中抽了10名学生，则其中的李明同学的签被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为 （ ）
A.51,261
B.265,261
C. 0,261
D.5
1,251 【答案】B
【解析】∵每一个个体被抽到的概率都为样本容量总体个数
，∴小孩从52个号签中拿了两个号签，李明同学的签被小孩拿去的概率为
21=5226
，李明同学的签被教师抽到的概率为105=5226，故选B. 8.（2016西大附中一模）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
A ．17
B ．16
C ．15
D ．14
【答案】B
【解析】因为在全校2000学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的
概率是0.19，所以二年级女生人数0.192000380x =⨯=.由此知三年级人数为：2000-（373+377）-（380+370）=500.又分层抽样的抽样比为 642000，则应在三年级抽取的学生人数为64500=16,2000
⨯故选B.
二．填空题
9.( 2016江苏卷)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________.
【答案】0.1
【解析】这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15
=++++=x ，则方差
2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案为0.1
10.(2016山东济宁一模)如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小
组的频率依次成等差数列，第2小组的频
数为10，则抽取的学生人数为________.
【答案】40
【解析】前3个小组的频率和为1－(0.037
5＋0.012 5)×5＝0.75，因为前3个小组的频率依次成等差数列，所
以第2小组的频率为13×0.75＝0.25，所以抽取的人数为10400.25
=.故答案为40.
11.(2015湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示
0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
0 1 2 2 3 3 3
1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[]139,151上的运动员人数是________.
【答案】4
【解析】将1～35号分成7组，每组5名运动员，由茎叶图可知，小于139的人数，刚好分2组.落在区间[]139,151的人数为20，共有4组。

再由系统抽样的性质可知：抽取4名，故答案为4.
11．（2016北京卷）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.
【答案】①16；②29
【解析】①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；故答案为16．
②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．
,,A B C C B
A
13914
2
三．解答题
12.（2016上海卷）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。

（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。

【解析】
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3
吨的人数为300000×0.13=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.
由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
13.（2016北京卷） A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
（1）试估计C 班的学生人数；
（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明） 【解析】
1μ0μ0μ1μ
⑴由表格知抽到C 班学生的概率是8
20
，则C 班学生为81004020
⨯=人
⑵在A
班中取到每个人的概率相同均为15
设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j = A 班中取到i j A C >的概率为i P 所求事件为D 则1234511111()5
5555
P D P P P P P =++++
12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
38
= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小，故拉低了平均值
14.（2016全国卷II ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A
的估计值；
（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于
基本保费的160％”.求()P B 的估计值；
（III ）求续保人本年度的平均保费估计值. 【解析】
（Ⅰ）事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，
一年内险次数小于2的频率为6050
0.55200
+= 故P(A)的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给
数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为3030
0.3200
+=，
故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：
调查200名续保人的平均保费为
0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
15.（2016全国卷I ）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.
（I ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；
（II ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，
求n 的最小值；
（III ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，
或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【解析】
（I ）当19≤x 时3800=y ；当19>x 时3800+500
195700=--y x x （）=500 所以y 与x 的函数解析式为3800,19
()5005700,19
≤⎧=∈⎨
->⎩x y x N x x
（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大
于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100
台机
频数
器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1
(380070430020
480010)
4000
100
???.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
4050)104500904000(100
1
=⨯+⨯.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.。