四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科).docx

高中数学学习材料
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2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.
1．直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）
A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）
3．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图
象上所有的点的（）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
4．在复平面内，复数z=（a﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
6．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，2]，则输出的s属于（）
A．[0，1]B．[，]C．[0，]D．[1，）
7．过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则△MON 的面积的最小值为（）
A．2 B．2C．4 D．8
8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]
9．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=5，则a6+a7的最小值为（）
A．32 B．10+10C．20 D．28
10．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的
函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）
A．B．5 C．6 D．8
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．计算：lg25﹣2lg=．
12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是．
13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g 计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为元．
14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是．
15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）
⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；
（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．
17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．
18．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：
T n=b n﹣（n∈N*）．
（1）求S n与b n；
（2）比较S n b n与T n a n的大小，并说明理由．
19．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．
（I）求m的取值范围；
（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离
为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=xlnx﹣mx2．
（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若＞1对任意的x∈[，e2]恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4．（参考数据：e=2.71828…）
2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.
1．直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【考点】直线的倾斜角．
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，180°）．
∴tanθ=．
∴θ=60°．
故选：B．
2．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）
A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．
【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．
【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，
集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），
则A∩B=[0，+∞）．
故选C
3．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图
象上所有的点的（）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半
【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数
的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到
故选B．
4．在复平面内，复数z=（a﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．
【解答】解：a∈R，复数z=（a﹣1）+（a+1）i对应的点（a﹣1，a+1）位于第三象限的充
要条件是，解得a＜﹣1．
故选：D．
5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离
心率e==计算．
【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，
∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，
∴=，
则离心率e=====．
故选：B
6．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，2]，则输出的s属于（）
A．[0，1]B．[，]C．[0，]D．[1，）
【考点】程序框图．
【分析】该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜我们可得，分段函数
的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确定S的区间．
【解答】解：执行程序框图，有
输入的t∈[﹣1，2]，
S=，
输出S的值，
由﹣1时，S=2t∈[，）；
时，S=2t﹣t2=1﹣（t﹣1）2∈[0，1]，
此分段函数在t∈[﹣1，2]时，输出的s属于[0，]．
故选：C．
7．过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则△MON 的面积的最小值为（）
A．2 B．2C．4 D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），则S=|OF|•|x1﹣x2|，直线l方程为y=kx+1代入
x2=4y得：x2﹣4kx﹣4=0，由此能求出△OAB的面积．
【解答】解：抛物线焦点为（0，1），直线l方程为y=kx+1，
代入x2=4y得：x2﹣4kx﹣4=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
∴|x1﹣x2|=≥4，
∴S=|OF|•|x1﹣x2|≥2，
∴△MON的面积的最小值为2．
故选：A．
8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x
≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，
2]，即可得出．
【解答】解：如图所示，
由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．
可设点M（x，y）
A（0，0），B（2，0）．
∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，
由∈[0，2]，
∴•∈[﹣1，3]，
故选：C．
9．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=5，则a6+a7的最小值为（）
A．32 B．10+10C．20 D．28
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞1，由于a5+a4﹣a3﹣a2=5，可得（q2﹣1）（a3+a2）
=5．因此a6+a7=q4（a3+a2）==，再利用基本不等式的性
质即可得出．
【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞1，
∵a5+a4﹣a3﹣a2=5，
∴（q2﹣1）（a3+a2）=5．
则a6+a7=q4（a3+a2）===≥
+10=20，当且仅当q2=2，即q=时取等号．
故选：C．
10．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的
函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）
A．B．5 C．6 D．8
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可
得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．
【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，
（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），
∴f（2）=2++c=g（2）=1，
∴c=﹣1﹣，
∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，
∴f′（x）=x﹣=，
∵f（x）在x=2处有最小值，
∴f′（2）=0，
即b=8，故c=﹣5，
故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，
故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，
而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，
故f（x）的最大值为5，
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．计算：lg25﹣2lg=2．
【考点】对数的运算性质．
【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：lg25﹣2lg=lg25+lg4=lg100=2．
故答案为：2．
12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127．
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．
【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，
所以中位数是=127．
故答案为：127．
13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g 计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为 2.3元．
【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．
【分析】根据邮资标准进行求解即可．
【解答】解：邮寄一本重420g的书，其中100克付费0.7元，剩余420﹣100=320，
每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，
则需要付0.4×4=1.6元，
则共付费0.7+1.6=2.3元，
故答案为：2.3
14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，
则d1+d2的最小值是5﹣．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．
【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣
10|=（10﹣3cosu+4sinu），
d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u ﹣t），
∴它的最小值=5﹣．
故答案为：5﹣．
15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）
⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是[﹣2，﹣1）．
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．
【分析】利用定义比较的大小，从而化简f（x）的解析式，作其图象，结合图象解得．【解答】解：∵x2﹣2x﹣（x+3）﹣1=x2﹣3x﹣4=（x﹣4）（x+1），
∴f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3）=，
作函数y=f（x）的图象如下，
结合图象可知，
当﹣1＜﹣k≤2时，函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，
故答案为：[﹣2，﹣1）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；
（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．
（II）由频率分布直方图求出不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．
（III）所抽5人中有3人是在[40，50）年龄段，有2人是在[50，60）年龄段，由此利用列举法能求出从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．
【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，
∴随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…
（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，
100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，
∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…
（III）由（II）知，所抽5人中有3人是在[40，50）年龄段中取得，记为A1，A2，A3；
有2人是在[50，60）年龄段中取得，记为B1，B2，
∴从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者的可能有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共10种，其中[50，60）年龄段仅1人获奖的情况有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）共6种，
∴[50，60）年龄段仅1人获奖的概率为P=．…
17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=
﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．
（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）
的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．
【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x
=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x
=（cos2x﹣sin2x）
=cos（2x+），
∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．
∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，
∴x=或．
（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，
∴cos（2x+）∈[﹣1，]，
∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．
∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．
18．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：
T n=b n﹣（n∈N*）．
（1）求S n与b n；
（2）比较S n b n与T n a n的大小，并说明理由．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出差数列{a n}
的前n项和S n；由，能求出数列{b n}的通项公式．
（2）推导出S n b n=（n2+n）•3n﹣1，T n a n=n•（3n﹣1），利用作差法能比较S n b n与T n a n的大小．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
∵差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，
∴，解得，
∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，
S n==n2+n．…
∵数列{b n}的前n项和T n满足：T n=b n﹣（n∈N*），
∴，解得b1=1，
又，n∈N*，
﹣T n==，n∈N*，
∴T n
+1
即，n∈N*，
=3b n，即=3（常数），
整理得b n
+1
∴数列{b n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴b n=3n﹣1．…
（2）∵T n=b n﹣=，
∴S n b n=（n2+n）•3n﹣1，T n a n=n•（3n﹣1），
于是S n b n﹣T n a n=（n2+n）•3n﹣1﹣n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣2）+1]，…
当n=1时，S n b n﹣T n a n=0，即S n b n=T n a n；
当n≥2（n∈N*）时，S n b n﹣T n a n＞0，即S n b n＞T n a n．
∴综上，当n=1时，S n b n=T n a n；当n≥2（n∈N*）时，S n b n＞T n a n．…
19．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．
（I）求m的取值范围；
（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m的范围；
（Ⅱ）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．
【解答】解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；
令f（x）=x2+4x+m=0，
由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16﹣4m＞0
解得：m＜4且m≠0；
（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；
令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=﹣m﹣1，
∴圆C的方程为x2+y2+4x﹣（m+1）y+m=0．
∴x2+y2+4x﹣y+（﹣y+1）m=0
∴，
∴或，
∴圆C经过定点（0，1）和（﹣4，1）．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离
为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为，求出a，b，由
此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）假设存在直线m，依题意可设为x=ky﹣1，与椭圆联立，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质能求出m的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F（c，0），
则由题意有e==，=，
即a=，c=1，b=1，
∴椭圆C的方程为．…
（Ⅱ）假设存在直线m，依题意可设为x=ky﹣1，
于是，消去x，可得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，
令M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
于是y 1+y 2=
，x 1+x 2=k （y 1+y 2）﹣2=﹣
，…
∴MN 的中点A 的坐标为（﹣，
）．
∵PQ ⊥l ，
∴直线PQ 的方程为y ﹣=﹣k （x +），
令y=0，解得x=﹣
，即P （﹣
，0）． …
∵P 、Q 关于A 点对称，设Q （x 0，y 0），
∴﹣=（ x 0﹣
），
=（ y 0+0），
解得x 0=﹣
，y 0=
，即Q （﹣
，
）．…
∵点Q 在椭圆上，
∴（﹣）2+2（）2=2，
解得k 2=
，于是
，即，
∴m 的方程为y=
x +
或y=﹣
x ﹣
． …
21．已知函数f （x ）=xlnx ﹣mx 2．
（Ⅰ）当m=0时，求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若
＞1对任意的x ∈[
，e 2]恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）若x 1，x 2∈（，1），x 1+x 2＜1，求证：x 1x 2＜（x 1+x 2）4．（参考数据：e=2.71828…） 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）m=0时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题整理得
＜m ＜
，令g （x ）=
，令h （x ）=
，根据
函数的单调性求出m 的范围即可；
（Ⅲ）根据基本不等式的解法即可证明不等式． 【解答】解：（I ）当m=0时，f （x ）=xlnx ，x ＞0，得f ′（x ）=lnx +1，
由lnx +1＞0，解得x ＞，即f （x ）在（，+∞）上单调递增；
由lnx +1＜0，解得0＜x ＜，即f （x ）在（0，）上单调递减．
∴综上，f （x ）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．…
（II）已知x∈[，e2]，于是＞1变形为＞1，
从而＞，即0＜lnx﹣mx＜x﹣1，
整理得＜m＜…
令g（x）=，则g′（x）=＜0，即g（x）在[，e2]上是减函数，
∴g（x）max=g（）=﹣1，
令h（x）=，则h′（x）=，
当＜x＜e时，h′（x）＞0，即此时h（x）单调递增；
当e＜x＜e2时，h′（x）＜0，即此时h（x）单调递减，
而h（）=＞h（e2）=，
∴h（x）min=
∴﹣1＜m＜…
（III）由（I）知当m=0时，f（x）=xlnx在（，+∞）上是增函数，
∵＜x1＜x1+x2＜1，
∴f（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞f（x1）=x1lnx1，
即lnx1＜ln（x1+x2），同理lnx2＜ln（x1+x2），
所以lnx1+lnx2＜（+）ln（x1+x2）=（2++）ln（x1+x2），
又因为）2++≥4，当且仅当x1=x2时，取等号．
又x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，ln（x1+x2），
∴（2++）ln（x1+x2）≤4，
∴lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2），
∴x1x2＜（x1+x2）4．…
2016年10月16日。