2014-2015学年江苏省扬州市武坚中学九年级上学期期中数学试卷与解析

2014-2015学年江苏省扬州市武坚中学九年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每题只有一个正确答案）．
1．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
2．（3分）在等腰三角形中，有两条边的长度是方程x2﹣9x+18=0的根，那么它的周长是（）
A．12 B．15 C．12或15 D．9
3．（3分）下列说法中，正确的是（）
A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B．长度相等的两条弧是等弧
C．正多边形一定是轴对称图形
D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
4．（3分）某小组10个女生做仰卧起坐，仰卧起坐次数的测试数据如下表，则这组数据的平均数和中位数分别是（）
A．38.8和40 B．40和40 C．40和40.5 D．38.8和40.5
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解为0，则m的值为（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
6．（3分）圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A=70°．⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）
A．160°B．135°C．125° D．110°
8．（3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）
A．+1 B．C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分）．
9．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根分别为x1，x2，则x1﹣x2=．10．（3分）已知数据2，﹣1，3，5，6，5，这组数据的极差是．11．（3分）甲、乙、丙三名射击手的20次测试的平均成绩都是8环，方差分别
是S
甲2=0.4（环2），S
乙
2=3.2（环2），S
丙
2=1.6（环2），则成绩比较稳定的是．
12．（3分）一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为．13．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是．
14．（3分）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．15．（3分）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b=，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的两个根，那么x1*x2=．
16．（3分）如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=70°，BC=2，则图中阴影部分面积为．
17．（3分）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．
18．（3分）如图，将半径为2，圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）．
19．（8分）解方程：
（1）（2x﹣3）2﹣x2=0
（2）3x2+5x+1=0．
20．（8分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
21．（8分）已知|a﹣b+1|与是互为相反数，且关于x的方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22．（8分）某联欢会上有一个有奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，其余3张是哭脸．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有笑脸就有奖，没有笑脸就没有奖．
（1）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是．
（2）小明获得两次翻牌机会，他同时翻开两张纸牌．小明认为这样得奖的概率是小芳的两倍，你赞同他的观点吗？请用树形图或列表法进行分析说明．23．（10分）如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m 的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）
（1）若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？（2）农场老板又想将羊圈ABCD的面积重新建造成面积为320m2，从而可以养更多的羊，请聪明的你告诉他：他的这个想法能实现吗？为什么？
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．
（1）求证：∠A=2∠DCB；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
25．（10分）已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．
26．（10分）有一种可食用的野生菌，刚上市时，外商李经理以每千克30元的市场价格收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这种野生菌在冷库中最多保存140天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏导致不能出售．
（1）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试求出P与x之间的函数关系式；
（2）李经理将这批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以获得22500元的利润？
27．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC 于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．
28．（12分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C 的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
2014-2015学年江苏省扬州市武坚中学九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每题只有一个正确答案）．
1．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，
即（x﹣1）2=6．
故选：B．
2．（3分）在等腰三角形中，有两条边的长度是方程x2﹣9x+18=0的根，那么它的周长是（）
A．12 B．15 C．12或15 D．9
【解答】解：x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x﹣3=0，x﹣6=0，
x1=3，x2=6，
①等腰三角形的三边为3，3，6，
∵3+3=6，
∴不符合三角形三边关系定理，舍去；
②等腰三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+6+6=15；
故选：B．
3．（3分）下列说法中，正确的是（）
A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B．长度相等的两条弧是等弧
C．正多边形一定是轴对称图形
D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
【解答】解：A、在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧可能有一条是劣弧，一条是优弧，所以A选项错误；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项错误；
C、正多边形一定是轴对称图形，对称轴的条数等于它的边数，所以C选项正确；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项错误．
故选：C．
4．（3分）某小组10个女生做仰卧起坐，仰卧起坐次数的测试数据如下表，则这组数据的平均数和中位数分别是（）
A．38.8和40 B．40和40 C．40和40.5 D．38.8和40.5
【解答】解：平均数==40；
中位数==40.5．
故选：C．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解为0，则m的值为（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
【解答】解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0中，得
m2﹣4=0，
解得m=﹣2或2，
当m=2时，原方程二次项系数m﹣2=0，舍去，
故选：B．
6．（3分）圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【解答】解：圆锥的底面周长是：6πcm，
设母线长是l，则lπ=6π，
解得：l=6．
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A=70°．⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）
A．160°B．135°C．125° D．110°
【解答】解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°﹣∠A）=（180°﹣70°）=55°，
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣55°=125°．
故选：C．
8．（3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）
A．+1 B．C．D．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，
∴OE=AE=AB=1，
DE===，
∴OD的最大值为：+1．
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分）．
9．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根分别为x1，x2，则x1﹣x2=±2．
【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1•x2=﹣3，
所以x1﹣x2=±=±=±2．
故答案为±2．
10．（3分）已知数据2，﹣1，3，5，6，5，这组数据的极差是7．
【解答】解：由题意可知，数据中最大的值为6，最小值为﹣1，所以极差为6
﹣（﹣1）=7．
故填7．
11．（3分）甲、乙、丙三名射击手的20次测试的平均成绩都是8环，方差分别
是S
甲2=0.4（环2），S
乙
2=3.2（环2），S
丙
2=1.6（环2），则成绩比较稳定的是甲．
【解答】解：根据方差的定义，方差越小数据越稳定，因为S
甲
2=0.4（环2），S
乙2=3.2（环2），S
丙
2=1.6（环2），方差最小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的
是甲．
故填甲．
12．（3分）一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为2．【解答】解：∵数据1，2，a，4，5的平均数是3，
∴（1+2+a+4+5）÷5=3，
∴a=3，
∴这组数据的方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．
13．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是20%．
【解答】解：设每次降价的百分率为x．
150×（1﹣x）2=96
x=20%或180%（180%不符合题意，舍去）
答：平均每次降价的百分率为20%．
14．（3分）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．
【解答】解：连接OA、OB，
∵AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=30°，
∴∠D=180°﹣30°=150°．
故答案为：30°或150°．
15．（3分）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b=，例如：4*2，因
为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的两个根，那么x1*x2=±24．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的两个根，
∴（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得：x=2或6，
①当x1=2，x2=6时，x1﹡x2=2×6﹣62=﹣24；
②当x1=6，x2=2时，x1﹡x2=62﹣6×2=24．
故答案为：±24．
16．（3分）如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若
∠A=70°，BC=2，则图中阴影部分面积为．
【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=110°，
∴∠BOD+∠COE=360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣110°﹣110°=140°，
∵BC=2，
∴OB=OC=1，
==π．
∴S
阴影
故答案为：π．
17．（3分）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是4．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S
=S△MAB+S△NAB，
四边形MANB
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB 此时四边形MANB面积的最大值=S
四边形DAEB
（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．
故答案为：4．
18．（3分）如图，将半径为2，圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右
作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为π．
【解答】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°；
第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点P的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长=BA’=AB的弧长
第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°
所以，O点经过的路线总长S=π+π+π=π．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）．
19．（8分）解方程：
（1）（2x﹣3）2﹣x2=0
（2）3x2+5x+1=0．
【解答】解：（1）（2x﹣3﹣x）（2x﹣3+x）=0，
2x﹣3﹣x=0或2x﹣3+x=0，
所以x1=3，x2=1；
（2）△=25﹣4×3=13，
x=，
所以x1=，x2=．
20．（8分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是：60÷10%=600（人）；（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240=120（人），
C类所占的百分比是：×100%=20%，
A类所占的百分比是：×100%=30%．
；
（3）扇形统计图中C所对圆心角的度数是：360°×20%=72°；
（4）画树状图如下：
则他第二个吃到的恰好是C粽的概率是：=．
21．（8分）已知|a﹣b+1|与是互为相反数，且关于x的方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【解答】解：∵|a﹣b+1|+=0，
∴a﹣b+1=0，a﹣2b+4=0，
∴a=﹣2，b=﹣1，
原方程变形为kx2+﹣2x﹣1=0，
根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
22．（8分）某联欢会上有一个有奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，其余3张是哭脸．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有笑脸就有奖，没有笑脸就没有奖．
（1）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是
（或填0.4）．
（2）小明获得两次翻牌机会，他同时翻开两张纸牌．小明认为这样得奖的概率是小芳的两倍，你赞同他的观点吗？请用树形图或列表法进行分析说明．
【解答】解：（1）（或填0.4）；
（2）不赞同他的观点．
用A1、A2分别代表两张笑脸，B1、B2、B3分别代表三张哭脸，根据题意列表如下：
由表格可以看出，可能的结果有20种，其中得奖的结果有14种，因此小明得奖的概率，
因为＜，所以小明得奖的概率不是小芳的两倍．
23．（10分）如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m 的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）
（1）若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？（2）农场老板又想将羊圈ABCD的面积重新建造成面积为320m2，从而可以养更多的羊，请聪明的你告诉他：他的这个想法能实现吗？为什么？
【解答】解：（1）设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为（50﹣2x）米．依题意，得x•（50﹣2x）=300，
即，x2﹣25x+150=0，
解此方程，得x1=15，x2=10．
∵墙的长度不超过25m，
∴x2=10不合题意，应舍去．
∴垂直于墙的一边长AB为15米．
（2）不能．
因为由x•（50﹣2x）=320得x2﹣25x+160=0（6分）．
又∵b2﹣4ac=（25）2﹣4×1×160=﹣15＜0，
∴上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为320m2．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．
（1）求证：∠A=2∠DCB；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【解答】（1）证明：连接OD ， ∵AB 是⊙O 切线， ∴∠ODB=90°， ∴BE=OE=OD=2，
∴∠B=30°，∠DOB=60°， ∵OD=OC ，
∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°， ∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60°， ∴∠A=2∠DCB ；
（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2，
∴阴影部分的面积S=S △ODB ﹣S 扇形DOE =×2
×2﹣
=2
﹣π．
25．（10分）已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF ⊥AC ，垂足为F ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；
（2）当直线DF 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°；
在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，
∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A=60°，
∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DF．
∵DF与⊙O相切，
∴∠ADF=90°．
设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4﹣r，AD=4﹣2r．在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴AF=2AD=8﹣4r．
∴FC=4r﹣4；
在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，
∴4﹣r=2（4r﹣4），
解得，r=；
∴⊙O的半径是．
26．（10分）有一种可食用的野生菌，刚上市时，外商李经理以每千克30元的市场价格收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这种野生菌在冷库中最多保存140天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏导致不能出售．
（1）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试求出P与x之间的函数关系式；
（2）李经理将这批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以获得22500元的利润？
【解答】解：（1）y=（1000﹣3x）×（30+x），
=﹣3x2+910x320000，
即y=﹣3x2+910x+30000（1≤x≤140，且x为整数）；
（2）获得利润22500元时，w=（﹣3x2+910x+30000）﹣30×1000﹣310x=22500，解得x1=50，x2=150，
∵香菇在冷库中最多保存140天，
∴x=50．
答：李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放50天后出售．
27．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC 于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°，
∴∠1=∠5=∠2，
∴PD=PA，
∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°，且∠ADB=90°，
∴∠3=∠4，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是线段AF的中点；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
第21页（共25页）
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4．
即DE的长为2.4．
28．（12分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C 的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）连接PA，如图1所示．
∵PO⊥AD，
∴AO=DO．
∵AD=2，
∴
OA=．
第22页（共25页）
∵点P坐标为（﹣1，0），
∴OP=1．
∴PA==2．
∴BP=CP=2．
∴B（﹣3，0），C（1，0）．
（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．
四边形ACMB是矩形．
理由如下：
∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，
∴四边形ACMB是平行四边形．
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB=90°．
∴平行四边形ACMB是矩形．
过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．
在△MHP和△AOP中，
∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，
∴△MHP≌△AOP．
∴MH=OA=，PH=PO=1．
∴OH=2．
∴点M的坐标为（﹣2，）．
（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．
∵四边形ACMB是矩形，
∴∠BMC=90°．
∵EG⊥BO，
∴∠BGE=90°．
∴∠BMC=∠BGE=90°．
∵点Q是BE的中点，
第23页（共25页）
∴QM=QE=QB=QG．
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．
∵∠COA=90°，OC=1，OA=，
∴tan∠OCA=
=．
∴∠OCA=60°．
∴∠MBC=∠BCA=60°．
∴∠MQG=120°．
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．
第24页（共25页）
第25页（共25页）。

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………。