磁场小节

∫ B⋅ dl = µ ∑I
l 0 s
i
电流正、负号的规定： 与 成右螺旋为正 成右螺旋为正， 电流正、负号的规定：I与L成右螺旋为正，反之为负
I I L I>0 I<0
I
L
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注意： 注意： ①安培环流定理只是说B的线积分值只与穿过回路的电流 安培环流定理只是说 的线积分值只与穿过回路的电流 有关，而回路上各点的B值则与所有在场电流有关 值则与所有在场电流有关。 有关，而回路上各点的 值则与所有在场电流有关。 ②如果没有电流穿过某积分回路，只能说在该回路上B的 如果没有电流穿过某积分回路，只能说在该回路上 的 线积分为零，而回路上各点的B值不一定为零 值不一定为零。 线积分为零，而回路上各点的 值不一定为零。
l
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F = Fx i + Fy j + Fz k
三、磁场对载流线圈的作用
1、匀强磁场对载流线圈的作用
F
1
I
a π-θ
l2
d θ
φ
l1
F1 = Bl1 Isin(π - θ ) = B l1 I sin θ
F2 = B l1 I sin θ
pm c
B
∴
F = Bl Ι
若带电粒子的定向运动速度为v, 导线截面为s， 若带电粒子的定向运动速度为 , 导线截面为 ， 带电粒子 数密度为n，则在dt时间内过截面 时间内过截面s的带电粒子数 数密度为 ，则在 时间内过截面 的带电粒子数
dN = nsdl = nsvdt
于是在电流元中的电流强度为
µ 0 q v × r0 B= 4π r 2
方向垂直纸面向里， 方向垂直纸面向里，且所有电流 元在P点产生的磁感应强度的方向 元在 点产生的磁感应强度的方向 相同， 相同，所以
B = ∫ dB = ∫
l
l
µ 0 Idl sin θ 4π r 2
µ0 I (sin βFra Baidu bibliotek2 − sin β 1 ) = 4πa
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角的有关规定： ※关于β 角的有关规定：
2R
½
圆电流的中心的
1 µ0 I B= 2 2R
1 µ0I B = n 2R
1/n
圆电流的中心的
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运动电荷的磁场
已知由电流元激发的磁场为
µ0 Idl × r0 dB = 4π r 2
＋ ＋
Ｉ
＋ v v ＋ ＋ v ＋ v ＋
＋
v
v
v v S ＋ v
Ｉ
dl = vdt
β 角增加的方向与电流方向相同，则为正，反之，则为负 角增加的方向与电流方向相同，则为正，反之，
Ｉ
β１
I
I
β2 β１
o
β2
o
P
β１
P
o I
β2
P
β1 > 0, β 2 > 0
β 1 < 0, β 2 > 0
β1 < 0, β 2 > 0
※长直电流的磁场
β1 → −
π
2
, β2 →
π
2
µ0I B= 2πa
c
d
B
i
B
××× ××× ×××××× ××× ××× ×××××× b a
如图，平板两边均为与平面平行的匀强场， 解 如图，平板两边均为与平面平行的匀强场，但方向相反 取如图矩形积分回路abcd，则 ， 取如图矩形积分回路
∫ B ⋅ dl = ∫
l
ab
B1dl +
∫
bc
B2 dl +
∫
cd
B3 dl +
R
I
r
r
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = B ⋅ 2πr
l l
B
r > R
µ0 ∑ I = µ0I
I r 2I I= ⋅ πr 2 = 2 ∑ π R2 R
µ0 I B 外＝ 2π r
r<R
µ0 Ir B内＝ 2π R 2
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（3）无限大载流平板外的场（设单位长度上的电流为i） 无限大载流平板外的场（设单位长度上的电流为 ） 载流平板外的场
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（1）载流直导线的磁场： 载流直导线的磁场：
解：取电流元Idl ，P点对电流 取电流元 点对电流 元的位矢为r，电流元在P点产生的 元的位矢为 ，电流元在 点产生的 磁感应强度大小为
I
Idl l
β1
θ
r
a
β2
β
dB P
µ 0 Idl sin θ dB = 4π r 2
3 2
b
I F
F4 = Bl 2 I = F3
∑F
1
+ F 2 + F3 + F 4 = 0
2
即线圈在均匀磁场受合力为零。 即线圈在均匀磁场受合力为零。
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但是由图可见， 产生一力偶矩、 但是由图可见，F3和F4产生一力偶矩、其大小为
l l M = F cos θ + F cos θ = F l cos θ = F 3 l 1 sin ϕ 2 2
∫ B ⋅ dl = ∫ B dl + ∫ B dl + ∫ B dl + ∫ B dl = Bab
1 2 3 4 l ab bc cd da
B = µ 0 nI
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（2）长直载流圆柱体（设轴向电流 I 均 长直载流圆柱体（ 匀分布在半径R的截面上） 匀分布在半径 的截面上） 磁场是轴对称的， 解：磁场是轴对称的，过圆 柱体外一点Ｐ， Ｐ，取同轴圆周 柱体外一点Ｐ，取同轴圆周 l 为积分回路， 为积分回路，则
§9-1 磁场 磁感应强度
磁矩： 定义载流线圈的面积∆S 与线圈中的电流I 的乘 磁矩： 定义载流线圈的面积 与线圈中的电流 积为磁矩(多匝线圈还要乘以线圈匝数 积为磁矩(多匝线圈还要乘以线圈匝数)，即
P = NI ∆ S n
m
I
式中N 为线圈的匝数， 式中 为线圈的匝数，n0为线圈的 法线方向， 组成右螺旋。 法线方向，Pm与I 组成右螺旋。
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（2）
圆电流的磁场
Id l
r
dB ⊥
I R0
θ
dB/⊥
θ
dB dB // x
dB /
解： dB 在垂直于由 d l 和 r 组成的平面上。 组成的平面上。 ∵
∴
dB 在由 r、x 组成的平面内，并且和 r 垂直。 组成的平面内， 垂直。
µ0 I dl sin 2 µ0 I dl = dB = 4π r 2 4π r
dF = Idl × B
F = ∫ Idl × B
L
安培定律的积分形式
这是矢量积分。一般情况下把它们分解到不同方向上， 这是矢量积分。一般情况下把它们分解到不同方向上，求每 一方向的分力，最后再求总的合力。 一方向的分力，最后再求总的合力。如
Fx = ∫ dF x
l
Fy = ∫ dF y
l
Fz = ∫ dF z
∫
da
B4 dl
= 2 B ⋅ ab = µ 0i ⋅ ab
∴B =
µ 0i
2
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§9-3 磁场对载流导线的作用 一、安培定律
一段电流元Idl在磁场中所受的力 ，其大小与电流元Idl 一段电流元 在磁场中所受的力dF，其大小与电流元 在磁场中所受的力 成正比，与电流元所在处的磁感应强度B成正比 成正比， 成正比，与电流元所在处的磁感应强度 成正比，与电流元 Idl和B的夹角的正弦成正比，即 的夹角的正弦成正比， 和 的夹角的正弦成正比 即
1 1 3 4 3 1
F
1
∵ F = Bl Ι
3 2
I
l2
a π-θ F4
φ
d θ
M = Bl 2 Il1 sin ϕ
= BIS ⋅ sin ϕ
载流平面矩形线圈的磁矩 Pm = I S
∴ M = Pm B sin ϕ
F
b
3
l1
pm c
B
I F
磁矩的方向n与磁场 的夹角 磁矩的方向 与磁场B的夹角ϕ 与磁场
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3）用磁力线描述磁场强弱 规定： 规定：通过垂直于磁力线方向的单位面积的磁力线数等 于这一点磁感应强度的大小。 于这一点磁感应强度的大小。即
dφ m B= dS ⊥
穿过dS 面的磁力线条数。 dφm是⊥穿过 面的磁力线条数。 B的另一单位 的另一单位
1T = 1Wb / m 2
2
π
由于对称性 所以
B = ∫ dB =0
⊥ ⊥
B = Bx =
2 R
∫ dB ⋅ sin θ π
=
µ 0 IR 2
2( R + x )
2 2 3 2
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轴线上任一点P的磁场 轴线上任一点 的磁场
B=
B=
µ0
R2I
2 (R 2 + x2 ) 32
圆电流中心的磁场
µ0 I
I
µ 0 Idl × r0 dB = 4π r2
Idl
dB
P
θ
r
定律应用
µ 0 Idl × r0 B=∫ l 4π r2
由Idl×r 确定电流元在 P点的 dB 的方向 点的 向选定的坐标轴投影， 将 d B 向选定的坐标轴投影，然后分别求出
Bx = ∫ dBx
By = ∫ dBy
Bz = ∫ dBz
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二、 安培环流定理的应用
利用安培环流定理可以求某些具有特殊对称性的电流分 利用安培环流定理可以求某些具有特殊对称性的电流分 的磁场。 布的磁场。 首先要分析磁场分布的对称性； 1、 首先要分析磁场分布的对称性； 选择一个合适的积分回路或者使某一段积分线上B为 2、 选择一个合适的积分回路或者使某一段积分线上 为 常数，或者使某一段积分线路上B处处与 垂直； 处处与dl 常数，或者使某一段积分线路上 处处与 垂直； 3、利用
dQ I= = qnsv dt
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§9-2 安培环路定理 一、 安培环路定理
I r
dϕ
dl
磁感应强度B沿任一闭合回路 的线积分 等于穿过以l为 磁感应强度 沿任一闭合回路l的线积分，等于穿过以 为 沿任一闭合回路 的线积分， 周界所围面积的电流的代数和的µ 周界所围面积的电流的代数和的 0倍 ,即
n0
B
dS⊥
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磁通量 穿过磁场中某一曲面的磁力线总数， 穿过磁场中某一曲面的磁力线总数，称为穿过该曲面的磁 通量，用符号Φ 表示。 通量，用符号 m表示。
dΦm = B ⋅ dS
θ
n
B
Φ m = ∫ B ⋅ ds
s
ds
S
磁场中的高斯定理 由于磁力线是无头无尾的闭合曲线， 由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以穿过任意闭合曲面 的总磁通量必为零。 的总磁通量必为零。
∫ B ⋅ ds ≡ 0
s
1)磁力线是无头无尾的闭合曲线 2)磁场是无源场 磁力线是无头无尾的闭合曲线， 这说明 1)磁力线是无头无尾的闭合曲线，2)磁场是无源场 涡旋场），3)磁场无磁单极存在 ），3)磁场无磁单极存在。 （涡旋场），3)磁场无磁单极存在。
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毕奥－ 毕奥－沙伐尔定律
2
M = P ×B
m
力矩的作用效果总使得线圈的磁矩 的方向一致。 力矩的作用效果总使得线圈的磁矩Pm与B的方向一致。 总使得线圈的磁矩 的方向一致
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2、在非匀强磁场中的载流线圈： 在非匀强磁场中的载流线圈：
c(d)
●
B
f2
×
a(b)
f
f1
此时线圈在力矩的作用下使线圈的磁矩与线圈中心所在处 的磁场方向趋于一致， 向着强场方向移去 移去。 的磁场方向趋于一致，并向着强场方向移去。
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四、磁力的功
1、载流导线在磁场中运动时磁力的功 设一均匀磁场B垂直纸面向外 闭合回路abcd的边 可以 垂直纸面向外， 的边ab可以 设一均匀磁场 垂直纸面向外，闭合回路 的边 滑动， 长为 电流I， 边受力 长为l， 沿da和cb滑动，ab长为 ，电流 ，ab边受力 和 滑动
m
3）磁感应强度的单位 特斯拉＝ 高斯（1T＝ GS） 1特斯拉＝104高斯（1T＝104GS）
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磁力线 1）什么是磁力线？ 什么是磁力线？ 常见电流磁力线：直电流，圆电流，通电螺线管的磁力线。 常见电流磁力线：直电流，圆电流，通电螺线管的磁力线。
I
2）磁力线特性 ①、磁力线是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场。 磁力线是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场。 任何两条磁力线在空间不相交。 ②、任何两条磁力线在空间不相交。 磁力线的环绕方向与电流方向之间遵守右螺旋法则。 ③、磁力线的环绕方向与电流方向之间遵守右螺旋法则。
∫ B ⋅ dl
l
。 = µ 0 ∑ I i 求B。
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为线圈单位长度匝数） (1) 长直密绕螺线管内部磁场 （n为线圈单位长度匝数） 为线圈单位长度匝数
B
a
dl
b
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ c d
取矩形闭合回路abcd 按图中规定的回路绕向积分， 取矩形闭合回路abcd，按图中规定的回路绕向积分，则有
Pm
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磁感应强度 1）磁场方向： 磁场方向： 使线圈磁矩处于稳定平衡位 使线圈磁矩处于稳定平衡位 稳定平衡 置时的磁矩的方向。 置时的磁矩的方向。 2）磁感应强度的大小
I
Pm
B
M max B= pm
M 是试验线圈受到的最大磁力矩、 是试验线圈受到的最大磁力矩、
max
P 是试验线圈的磁矩。 是试验线圈的磁矩。