专题3 解直角三角形章末重难点突破(举一反三)

专题1.3 解直角三角形章末重难点突破
【考点1锐角三角函数的定义】
【例1】（2021秋•包河区期末）如图，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 与CE 相交于O ，则图中线段的比不能表示sin A 的式子为（ ）
A ．
BD AB
B ．
CD OC
C ．
AE
AD
D ．
BE
OB
【变式1-1】（2021•吴兴区一模）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ：AB ＝3：5，则tan A 的值为（ ）
A ．3
5
B ．4
3
C ．3
4
D ．4
5
【变式1-2】（2021秋•商河县校级期末）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，那么下列各式中，正确的是（ ） A ．sinA =2
3
B ．cosA =23
C ．tanA =23
D ．tan B =23
【变式1-3】（2021•下城区模拟）如图，△ACB 中，∠ACB ＝Rt ∠，已知∠B ＝α，∠ADC ＝β，AB ＝a ，则BD 的长可表示为（ ）
A ．a •（cos α﹣cos β）
B ．
a
tanβ−tanα
C ．a cos α−a⋅sinα
tanβ
D ．a •cos α﹣a sin α•a •tan β
【考点2 网格中的锐角三角函数值计算】
【例2】（2021秋•卧龙区校级月考）如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin C 为（ ）
A ．
√10
10
B ．1
3
C ．1
4
D ．
√24
【变式2-1】（2021秋•高平市期末）如图，点A 、B 、C 在正方形网格的格点上，sin ∠BAC ＝（ ）
A ．√1313
B ．√2613
C ．√2626
D ．√26
【变式2-2】（2021•建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点E ，则∠AED 的正切值是（ ）
A ．2
B ．1
2
C ．2
3
D ．
√55
【变式2-3】（2021秋•新吴区期末）如图，△ABC 的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin ∠C 2
= ．
【考点3同角/互余两角三角函数的关系】
【例3】（2021•温江区校级自主招生）已知sinα+cosα=7
5，0°＜α＜45°，则tan α＝（ ） A ．3
4
B ．4
3
C ．34
或4
3
D ．3
5
【变式3-1】（2021•浙江自主招生）已知：实常数a 、b 、c 、d 同时满足下列两个等式：①a sin θ+b cos θ﹣c ＝0；②a cos θ﹣b sin θ+d ＝0（其中θ为任意锐角），则a 、b 、c 、d 之间的关系式是： ． 【变式3-2】（2021秋•虹口区校级期中）下列结论（其中α是锐角）： ①sin α+cos α≤1；
②cos2α＝2cos α；
③当0°＜α＜β＜90°时，0＜sin α＜sin β＜1； ④sin α＝cos α•tan α．
其中正确的有 （填序号）．
【变式3-3】（2021秋•常州期末）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．给出下列四个结论：①sin α＝sin B ；②sin β＝sin C ；③sin B ＝cos C ；④sin α＝cos β．其中正确的结论有 ．
【考点4 特殊角的三角函数值计算及其新定义问题】
【例1】（2021•安庆模拟）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β，cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β
例：sin75°＝sin （30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°=√2+√6
4
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
（2）我们知道：tanα=sinα
cosα，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．
【变式4-1】（2021秋•临泽县校级月考）（1）2sin60°+3tan30° （2）sin 260°+cos 260°﹣tan45° （3）cos60°−tan45°+sin60°
tan30°+sin30°
（4）√2
2
sin45°+sin60°−2cos45°．
【变式4-2】（2021•丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872
＝0.9873，sin 2
37°+sin 2
53°≈0.602
+0.802
＝1.0000，sin 2
45°+sin 2
45°＝（√22）2+（√22
）2
＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，有sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1． （1）当α＝30°时，验证sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1是否成立． （2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【变式4-3】（2021•温州模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sin α＝sin （180°﹣α），cos α＝﹣cos （180°﹣α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A ，B 是这个三角形的两个顶点，sin A ，cos B 是方程4x 2﹣mx ﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m 的值及∠A 和∠B 的大小．
【考点5 解直角三角形】
【例5】（2021•淄博）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ．若BC ＝4，△AEF 的面积为5，则sin ∠CEF 的值为（ ）
A ．3
5
B ．
√5
5
C ．4
5
D ．
2√55
【变式5-1】（2021•蚌埠模拟）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，如果BD ＝9，DC ＝5，cos B =3
5，E 为AC 的中点，那么sin ∠EDC 的值为（ ）
A ．1
5
B ．
5
13
C ．
1213
D ．
5
12
【变式5-2】（2021秋•东明县期末）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AD 、AE 分别是BC 边的中线和高，若cos B =3
5，BC ＝10． （1）求AB 的长； （2）求AE 的长； （3）求sin ∠ADB 的值．
【变式5-3】（2021秋•解放区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A =3
5，BC ＝12，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ． 求：（1）线段CD 的长； （2）cos ∠ABE 的值．
【考点6 构造直角三角形解直角三角形（作垂线）】
【例6】（2021•宁波模拟）如图，AC ，BD 为四边形ABCD 的对角线，AC ⊥BC ，AB ⊥AD ，CA ＝CD ．若tan ∠BAC =
√3
3
．则tan ∠DBC 的值是（ ）
A ．
√21
14
B ．1
3
C ．
5√7
14
D ．
√35
【变式6-1】（2021•宜宾）如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD 、BE 的交点，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是（ ）
A ．1
2
B ．2
C ．
√63
D ．
√64
【变式6-2】（2021•绍兴）如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B =1
4，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连结CE ，则
CE AD
的值为（ ）
A ．3
2
B ．√3
C ．
√15
2
D ．2
【变式6-3】（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC =1
2，AD ＝2，BD ＝4，连接CD ，则CD 长的最大值是（ ）
A ．2√5+34
B ．2√5+1
C ．2√5+32
D ．2√5+2
【考点7 解直角三角形的应用（实物建模问题）】
【例7】（2021•历下区三模）3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD 长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB 约为4千米，路线的转弯角∠B 为157.5°，∠C 为150°，又测得∠D ＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC 的长为（ ）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，√3≈1.7）
A ．14.62千米
B ．14.64千米
C ．14.66千米
D ．14.68千米
【变式7-1】（2021秋•潜山市期末）为庆祝国庆，某公司要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝36°），从顶点A 开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F 、J 两点间的距离等于（√5−1）米，则需要安装闪光灯的盏数是（ ）（参考数据：sin18°=
√5−1
4
）
A．70B．80C．79D．71
【变式7-2】（2021春•北碚区校级月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）
A．86.2米B．114.2米C．126.9米D．142.2米
【变式7-3】（2021•义乌市模拟）如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为分米．
【考点8 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）】
【例8】（2021秋•莱芜区期中）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的
坡比为i＝1：5
12
，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，
当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【变式8-1】（2021•济宁二模）郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD＝6米，匝道BD和AD每米造价均为4000元，那么设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09．tan15°≈0.27，结果保留整数）
【变式8-2】（2021•市南区二模）在2020年5月27日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠峰顶部．已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长AB＝AC＝45cm，上
坡时大腿之间的夹角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度为i=8
15．问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少
步才能将自己所处位置的海拔提高50米？
（结果保留整数，sin65°≈9
10，tan65°≈
15
7，cos65°≈
21
50）
【变式8-3】（2021•灌云县模拟）如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：
（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；
（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD 的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．
【考点9 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】
【例9】（2021•东港区校级二模）应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t−3
2t
2．求在飞
机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
【变式9-1】（2021•鹿邑县二模）无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，√3≈1.73）
【变式9-2】（2021春•吴兴区校级期中）第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、
民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．
（参考数据：sin53°≈4
5，cos53°≈
3
5，tan53°≈
4
3）
【变式9-3】（2021•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【考点10解直角三角形的应用（方位角问题）】
【例10】（2021•长清区一模）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（）
A．40√3海里B．（20√3+10）海里
C．40海里D．（10√3+10）海里
【变式10-1】（2021秋•李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为m．
【变式10-2】（2021秋•和平区校级月考）如图，甲船以每小时30√2海里的速度向正北方向航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处沿北偏东15°方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由A1处航行到A2处，乙船航行到甲船位置（即A2处）的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10√2海里，求乙船每小时航行多少海里．
【变式10-3】（2021•咸宁模拟）我国南海某海域有一个固定侦测点A，该侦测点的可侦测半径为10√2海里．某天，在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域，且往正东方向匀速航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域，我方立即通知（通知时间忽略不计）位于点A北偏东37°方向，且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦截．
（1）求可疑船只的速度及点B到直线CD的距离；
（2）若军舰航行速度为20海里/时，可侦测半径为10海里，问军舰最快几小时可以侦测到可疑船只？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）。