2004年高考全国卷Ⅲ理科数学试题及答案(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)

1
2004 年普通高等学校招生全国统一考试
数学 (理工农林医类)
（旧教材·全国卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷 1 至 1 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。

如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
sin αcos β= 1
[sin(α+ β) + sin(α- β)]
2 S 台侧
= 1 (c ' + c )l 2
cos αsin β= 1
[sin(α+ β) - sin(α- β)]
2 cos αcos β= 1
[cos(α+ β) + cos(α- β)]
其中 c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式
2 sin αsin β= - 1
[cos(α+ β) - cos(α- β)]
V = 4πR 3 球
3
2
其中 R 表示球的半径
一、选择题
1．设集合 M = {(x , y )x 2 + y 2 = 1, x ∈ R , y ∈ R }，
N = {(x , y )x 2 - y = 0, x ∈ R , y ∈ R }
， 则集合 M N 中元素的个数为 （
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．函数 y = sin x 的最小正周期是
（
）
2
A ．
π
B ． π
C ． 2π
2
D ． 4π
3．设数列{a n }是等差数列，且 a 2 = -6, a 8 = 6， S n 是数列{a n }的前 n 项和，则 （
）
2
3 3 2 2
2 1
3 A ． S
4 < S 5
B ． S 4 = S 5
C ． S 6 < S 5
D ． S 6 = S 5
4．圆 x 2 + y 2 - 4x = 0 在点 P (1, 3) 处的切线方程为
（
）
A ． x + 3y - 2 = 0
B ． x + 3y - 4 = 0
C ． x - 3y + 4 = 0
D ． x - 3y + 2 = 0
5．函数 y
的定义域为
（
）
A ． [- 2,-1) (1, 2 ]
B ． (-
2,-1) (1, 2 ) C ． [- 2,-1) (1,2]
2π 6．设复数 z 的辐角的主值为
，虚部为 3
D ． (-2,-1) (1,2)
，则 z 2 =
（ ）
A ． - 2 - 2 3i
B ． - 2 - 2i
C ． 2 + 3i
D ． 2 + 2i
7．设双曲线的焦点在 x 轴上，两条渐近线为 y = ± 1
x ，则该双曲线的离心率 e = （
）
2
A ． 5
B ． 5 5
C ．
D ．
2
4
8．不等式1 < x + 1 < 3 的解集为
（
）
A ． (0,2)
B ． (- 2,0) (2,4)
C ． (- 4,0)
D ． (- 4,-2) (0,2)
9．正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为
（
）
A ．
B ． 3
C ．
D ．
3
3
10．在△ABC 中，AB=3，BC= ，AC=4，则边 AC 上的高为
（
）
A ．
3 2 B ．
3 3
2
2
C ．
3
D ． 3 2
⎧⎪( x + 1)2 , x < 1 11．设函数 f ( x ) = ⎨
，则使得 f ( x ) ≥ 1的自变量 x 的取值范围为（ ）
⎪⎩4 - x - 1, x ≥ 1
A ． (- ∞,-2] [0,10]
B ． (- ∞,-2] [0,1]
3 5
2
4 2 3
3
3 C ． (- ∞,-2] [1,10] D ．[-2,0] [1,10]
12．将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名，则不同的分配方案共有（ ）
A ．12 种
B ．24 种
C ．36 种
D ．48 种
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13．用平面α截半径为 R 的球，如果球心到平面α的距离为 R
2
的表面积的比值为 .
，那么截得小圆的面积与球
14．函数 y = sin x + cos x 在区间⎡0, π⎤ 上的最小值为
.
⎣⎢ 2 ⎥⎦
15．已知函数 y = f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = 3x - 1，设 f ( x ) 的反函数是
y = g ( x ) ，则 g (-8) = .
16．设 P 是曲线 y 2 = 4( x - 1) 上的一个动点，则点 P 到点(0,1) 的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为
.
三、解答题（6 道题，共 76 分）
17．（本小题满分 12 分）已知α为锐角，且 tan α= 1 ，求
sin 2αcos α- sin α
的值.
2 sin 2αcos 2α
18．（本小题满分 12 分）解方程
4 x + 1 - 2 x = 11.
19．（本小题满分 12 分）某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室。

在温室内，
沿左．右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。

当矩形
温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。

最大种植面积是多少？
20．（本小题满分 12 分）三棱锥 P-ABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直，PA=PB=PC=3， （1）求证：AB ⊥ BC ；
（2）设 AB=BC= 2 ，求 AC 与平面 PBC 所成角的大小.
P
A
C
3
4
5
3 x
2 21．（本小题满分 12 分）设椭圆 + y 2 m + 1
= 1的两个焦点是 F 1 (-c ,0) 与 F 2 (c ,0), (c > 0) ，
且椭圆上存在一点 P ，使得直线 PF 1 与 PF 2 垂直. （1）求实数 m 的取值范围；
（2）设 L 是相应于焦点 F 的准线，直线 PF 与 L 相交于点Q ，若
= 2 - ，求
2 2
直线 PF 2 的方程.
22．（本小题满分 14 分）已知数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 S n = 2a n + (-1)n , n ≥ 1. （1）写出数列{a n }的前三项 a 1 , a 2 , a 3 ； （2）求数列{a n }的通项公式；
（3）证明：对任意的整数 m > 4 ，有 1
a 4
+ 1 + + 1 < 7
. a 5 a m 8
QF 2 PF 2
6
2004 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工类）参考答案（广西卷）
1.B
2.C
3.B
4.D
5.A
6.A
7.C
8.D
9.C 10.B 11.A 12.C 3
13．
16
14．1 15．－2
16
． 17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形 的
能力.满分 12 分.
解：原式 =
sin αcos 2α , 因 为 tan α= 1 时, sin α≠ 0, cos 2α≠= 0,
2 s in αcos αcos 2α2
1 1 2
所以 原式 =
. 因为α为锐角，由 tan α= 2 cos α 得cos α= 2 所以 原式 =
5 . 4
18．本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.满分 12 分.
解：当1 - 2 x
≥ 0,即x ≤ 0时，原方程化为 4 x
- 2 x
+ 1 = 11,
(2 x - 1 )2 = 41 ,
解得 2 x
= 1 ±
41
. 2 x = 1 - 41 < 0, 无解.
2 4
2 2 2 2
由 2 x
= 1 +
2
41 > 1知x > 0,舍去.
2
当 1 - 2 x
< 0,即x > 0 时，原方程化为 4 x
+ 2 x
- 1 = 11, (2 x + 1 )2 = 49 ,
2 4
解得 2 x
= - 1 ± 7
,
2 x = - 1 - 7
< 0,无解.
2 x = - 1 + 7 ,
2 2
2 2
2 2
x = log 2 3 > 0.
故原方程的解为x = log 2 3.
19．本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的 能
力.满分 12 分.
5
7
2ab 最大值 解：设矩形温室的左侧边长为 a m ，后侧边长为 b m ，则 a b=800.
蔬菜的种植面积
S = (a - 4)(b - 2) = ab - 4b - 2a + 8 = 808 - 2(a + 2b ).
所以 S ≤ 808 - 4 = 648(m 2
).
当 a = 2b ,即a = 40(m ), b = 20(m )时, S = 648(m 2
).
答：当矩形温室的左侧边长为 40m ，后侧边长为 20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648m 2.
20．本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能 力
和空间想象能力.满分 12 分.
（Ⅰ）证明：如图 1，取 AC 中点 D ，连结 PD 、BD. 因为 PA=PC ，所以 PD ⊥AC ，又已知面 PAC ⊥面 ABC ， 所以 PD ⊥面 ABC ，D 为垂足.
因为 PA=PB=PC ，所以 DA=DB=DC ，
可知 AC 为△ABC 的外接圆直径，因此 AB ⊥BC. （Ⅱ）解：如图 2，作 CF ⊥PB 于 F ，连结 AF 、DF. 因为△PBC ≌△PBA ，所以 AF ⊥PB ，AF=CF. 因此，PB ⊥平面 AFC ，
所以面 AFC ⊥面 PBC ，交线是 CF ，
因此直线 AC 在平面 PBC 内的射影为直线 CF ， ∠ACF 为 AC 与平面 PBC 所成的角.
在 Rt △ABC 中，AB=BC=2 ，所以 BD= 6.
在 Rt △PDC 中，DC= 6, PD = 3.
在 Rt △PDB 中， DF =
PD ⋅ DB
= PB
3 ⨯ 6 = 2.
3
在 Rt △FDC 中， tan ∠ACF =
DF
DC
, 所以∠ACF=30°. 3
即 AC 与平面 PBC 所成角为 30°.
21．本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.满分 12 分.
解：（Ⅰ）由题设有 m > 0, c = m . 设点 P 的坐标为(x 0 , y 0 ), 由 PF 1⊥PF 2，得
y 0 ⋅
y 0
= -1,
化简得
x 2 + y 2 = m .
①
x 0 - c x 0 + c
x 2 将①与
0 + y 2
= 1联立，解得
x 2
= m 2 - 1 , y 2 = 1 . m + 1
0 m 0
m 3 = 6 2 =
3 0
8
m + 1 -
m m - x 0 m
m 2 - 1 m 2
0 n n n -1 n n -1 n n -1 n -1 n -2
由 m > 0, x 2
= m 2 - 1
m
≥ 0, 得m ≥ 1.
m + 1
所以 m 的取值范围是 m ≥ 1.
（Ⅱ）准线 L 的方程为 x
Q 的坐标为(x 1 , y 1 ) ，则
x
= m + 1.
| QF 2 | = x 1 - c = . ②
| PF 2 | c - x 0
| QF | 1 2 将 x = 代入②，化简得 2 = m + m - 1.
由题设
| QF 2 | = 2 -
| PF 2 |
，得 m + | PF 2 |
| QF |
= 2 -
，
无解.
1 2
将 x = -
代入②，化简得 2 = m - m - 1. 0
由题设
| QF 2 | = 2 -
| PF 2 |
，得 m - | PF 2 |
= 2 -
.
解得 m=2.
从而 x 0 = -
3 , y = ±
2
, c = ，
2
得到 PF 2 的方程 y = ±( - 2)(x - 2).
22．本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前 n 项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.
（Ⅰ）解：由 a 1 = S 1 = 2a 1 - 1, 得a 1 = 1.
由 a 1 + a 2 = S 2 = 2a 2 + (-1)2
, 得a = 0.
由 a 1 + a 2 + a 3 = S 3 = 2a 3 + (-1)3
, 得a = 2. （Ⅱ）解：当 n ≥ 2时，有
a =S -S = 2(a - a ) + 2 ⨯ (-1)n ,
a = 2a + 2 ⨯ (-1)n -1 ,
a = 2a + 2
⨯ (-1)n -2 , …… a 2 = 2a 1 - 2.
所以 a n = 2n -1 a + 2n -1 ⨯ (-1) + 2n -2 ⨯ (-1)2 + + 2 ⨯ (-1)n -1
m
3 m 2
- 1 3 m 2 - 1 m 3 m 2
- 1 3 2 3 1 1
2 3
9
= 2n -1 + (-1) n [(-2) n -1 + (-2) n -2 + + (-2)] = 2
n -1
- (-1)
n
2[1 - (-2) n -1
] 3
= 2
[2n -2 + (-1) n -1 ]. 3
经验证 a 1 也满足上式，所以 a = 2 [2n -2 + (-1)n -1 ], n ≥ 1. n 3
（Ⅲ）证明：由通项公式得 a 4 = 2.
当 n ≥ 3 且 n 为奇数时， 1 + a n a 1 n +1 = 3 [ 2
1 + 2n -
2 + 1 1 ] 2n -1 - 1 = 3
⨯
2 2n -1 + 2n -2
22n -3 + 2n -1 - 2n -2 - 1 < 3 ⨯ 2n -1 + 2n -2 =
3
1 + 1
2
当 m > 4且m 为偶数时， 1 + 1 + + 1
22n -3 2 ( 2n -2 2n -1 ).
a 4
= 1 + ( 1 + 1 ) + + ( 1 a 5
a m
+ 1 ) < 1 + 3 ( 1 + 1
+ + 1
)
a 4 a 5 a 6 a m -1 a m 2 2 23 24
2m -4 = 1 + 3 ⨯ 1 ⨯ (1 - 1 ) < 1 + 3 = 7 . 2 2 4 2m -4 2 8 8 1 1 1 1 1
1 1 7
当 m > 4且m 为奇数时， a 4 + + +
a 5 a m < + a 4 a 5 + + a m + < . a m +1
8 所以对任意整数 m >4，有 1
a 4
+ 1 + + 1
a 5
a m < 7
. 8。