集合有关概念和集合间的基本关系

集合有关概念和集合间的基本关系Credit is the best character, there is no one, so people should look at their character first.
1. 了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；
2. 能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题；
3. 理解集合之间包含与相等的含义;能识别给定集合的子集；
4. 在具体情境中;了解全集与空集的含义；
5. 理解两个集合中的交集的含义;会求两个简单集合的交集.
二、重点、难点：
1. 重点：集合的表示方法;元素和集合的关系;集合与集合之间的关系
2. 难点：有关⊆∈,的理解和应用
三、考点分析：
本讲的内容是中学数学最基本的内容之一;基础问题往往体现集合的概念、运算及简单的运用;经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等知识中;在高考中占有重要地位.
1. 集合
1集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合
有限集
2集合的元素特性：确定性、互异性、无序性
3集合的表示方法：
①列举法—把集合中的元素一一列举出来;写在花括号内表示集合的
方法；
②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来;写在花括号内表示集
合的方法.
4常见集合的符号表示:
2. 集合间的基本关系：
一般地;由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合;称为集合A 与集合B 的交集.
知识点一：集合的基本概念
例1. 在以下六种写法中;错误写法的个数是
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
思路分析：
题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号⊆∈和的区别.对写法1、2、3、5、6考查集合与集合间符号的运用;对写法4考查元素与集合之间符号的运用.
解题思路：对写法1是要理解集合的大小;写法2是表示空集与任意集合的关系;写法3表示集合相等的概念;写法4是表示实数0与空集的关系;写法5是集合的表示;写法6是对集合中元素的认识.
解答过程：
1是两个集合的关系;不能用“∈”；
2空集是任何非空集合的真子集;故写法正确；
3集合中的元素具有无序性;只要集合中的所有元素相同;两个集合就相等； 4φ表示空集;空集中无任何元素;所以应是φ∉0;故写法不正确；
5集合符号“{}”本身就表示全体元素之意;故此“全体”两字不应写；
6等式左边集合的元素是平面上的原点;而右边集合的元素是数零;故不相等. 故本题选B
题后思考：本题考查集合的有关基本概念;尤其要注意区别⊆∈和两个符号的不同含义.
例2. 已知{}33,)1(,222++++=a a a a A ;若A ∈1;求实数a 的值.
思路分析：
题意分析：本题主要考查元素与集合之间的关系;集合中元素的有关性质. 解题思路：
解答过程：
{}1,0,1A ,1a 12a =-==+时，当不符合集合性质;舍去；
题后思考：本题主要考查元素在集合中的性质;要学会用分类的思想考虑问题;并且要通过集合中元素的唯一性验证集合.
例3. 已知集合{}{}012,082222=-++==--=a ax x x B x x x A ;当A B ⊆时;求实数a 的取值范围.
思路分析：
题意分析：本题考查了子集的有关概念和应用;对于集合{}4,2-=A 中含有确定的两个元素－2;4;如果集合B 是集合A 的子集;则集合B 中的元素应是集合A 中的元素;另外还考查了分类的思想.
解题思路：本题应从如何使方程01222=-++a ax x 的解集成为集合A 的子集入手;寻求集合B 可能的情况;但无论如何不能使集合B 中含有集合A 以外的元素;尤其不能忘记集合B 可能是空集.
解答过程：由已知得{}4,2-=A ;B 是关于x 的方程01222=-++a ax x 的解集;因为A B ⊆;所以{}{}{}φ,4,2,4,,2--=B
1若{},2-=B 则012)2(2(22=-+-+-a a ）
;解得24-==a a 或;当04=∆=时，恰有a ；
2若{},4=B 则0124422=-++a a ;解得舍去，此时02>∆-=a ；
3若{},4,2-=B 则由12知02>∆-=，此时a 符合题意；
4若φ=B 时;由0<∆解得44-<>a a 或.
综上所述;所求实数a 的取值范围是424≥-=-<a a a 或或.
题后思考：①在本题的讨论中;当{}4B =时的真正含义是：集合B 中的一元二次方程有两个相等的实根4x x 21==；
②当B 为单元素集时;也可利用韦达定理求出a 的值；
③在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况;事实上;我们应首先考虑空集. 知识点二：集合的运算交集
例4. 若{}{}==--===B A ,032,122 则x x x B x x A
A . {}3
B . {}1
C . φ
D . {}1-
思路分析：
题意分析：本题考查交集的定义和一元二次方程的解.
解题思路：先解方程12=x 得出集合A 的元素用列举法表示出来;解
0322=--x x ;用列举法把集合B 中的元素表示出来;再求B A .
解答过程：由12=x 得{},11A 1-=∴±=，
x ; 由0322=--x x 得{}1,3-B 31=∴-=，或x {}1-B A =∴ ;故选D .
题后思考：本题主要考查交集的定义;因此;只要对定义的内容清楚应不难写出答案.
例5. 设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A 则x x B x
A . {}13<<-x x
B . {}21<<x x
C . {}3->x x
D . {}1<x x
思路分析：
题意分析：本题考查集合A 和B 的交集;A 和B 两个集合都是与不等式有关的;则求集合A 和B 的交集时;我们需要借助于数轴;用数形结合的方法来解题更形象.
解题思路：先解出A 中元素应满足的范围;再在数轴上表示出A 中元素满足的范围;然后在数轴上表示出B 中元素所满足的范围;由数轴得出最终的结果. 解答过程：由{}1,1312<=∴<<+x x A x x 解得.
又由{}23<<-=x x B ;{}1x 3x B A <<-=∴ ;故选A .
题后思考：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题.
一般步骤是：①先把每个集合中满足不等式的解集解出来；
②用数轴表示出来；
③根据数轴的图像得出最终的答案.尤其要注意的是有没有“等号”;在数轴上表示为实心点或空心点;以及能否取到该值.
例6. 已知{}{}，
若或φ=>-<=+≤≤=B A .51,32x A x x x B a x a 求a 的取值范围.
思路分析：
题意分析：本题考查A 和B 的交集为空集;B 为已知的集合;A 集合中包含的元素随着a 的变化而变化;需要合理的讨论.
解题思路：先在数轴上得出B 集合;再由φ=B A ;确定出A 集合的位置;再解关于A 集合的不等式.但不要忘了φ=A 这个特殊情况;在解题过程中很有可能会遗漏.
解答过程：1若φ=A ;由φ=B A 知;此时3,32>∴+>a a a ；
2若得如图：由,B A ,φφ=≠ A
综上所述;a 的取值范围是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-3221a a a 或. 题后思考：①出现交集为空集的情况;首先要考虑集合中有没有空集;即分类讨论；
②与不等式有关的集合运算中;用数轴分析法直观清晰;应重点考虑； ③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细分析.
①关于集合的运算;一般应把各参与运算的集合化简到最简形式;再进行运算；
②出现交集为空集的情况;首先考虑集合中有没有空集；
③与不等式有关的集合运算中;多注意用数轴法表示；
④对于含参数的集合问题;在根据集合的互异性进行处理时;有时需要用到分类讨论、数形结合的思想.
答题时间：45分钟
一、选择题
1. 集合{}5N x <∈x 的另一种表示方法是
A . {}4,3,2,1,0
B . {}4,3,2,1
C . {}5,4,3,2,1,0
D . {
}5,4,3,2,1 2. 已知集合{}{}10,21x <<=<<-=x x B x A ;则
A .
B A > B . B A ⊂
C . A B ⊂
D . B A ⊆
3. 下列五个关系式：
①{}00⊂；②{}00∈；③{}φ=0；④{}0∈φ；⑤{}0⊂φ其中正确的有
A . ①③
B . ①⑤
C . ②④
D . ②⑤ 4. 设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=N M .31,23Z m M 则n Z n N m A . {}1,0
B . {}1,01，-
C . {}2,1,0
D . {}2,1,01，- 5. 已知{}{}
=-==-==N M ,1,1M 22 那么x y y N x y x
A . φ
B . M
C . N
D . R *6. 设R b a ∈,;集合{}⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1;则=-a b A . 1 B . －1 C . 2 D . －2
7. 集合{}
的范围是则实数且a R x a x x x M,,02M 2⊂∈=-+=φ
A . 1-≤a
B . 1≤a
C . 1-≥a
D . 1≥a 二、填空题
8. 已知集合{}{}，
且B A ,a x x B ,R x ,2x x A ⊆≤=∈≤=则实数a 的取值范围是____.
9. 已知{}{}=∈+-==∈+==N M ,,1,,12M 22 那么R x x y y N R x x y y ______.
10. 若{
}{}1,x B ,x ,3,1A 2==且}x ,3,1{B A = ;则这样的x 的不同值有________个.
11. 已知集合{}{}=⊆=-=m A B B m A 则实数若集合,.4,3,,3,1________.
三、解答题
*12. 设{}{}，若B B A ,01)1(2,04x 222==-+++==+= a x a x x B x x A 求a 的值.
一、选择题
1. A 解析：由5<x 且是自然数;得x 为0;1;2;3;4
2. C 解析：
3. D 解析：①{}00⊂应是{}00∈；所以②正确；③{}φ=0;空集不含任何元素;所以{}φ≠0；④{}0∈φ集合与集合之间不能用“∈”;所以⑤{}0⊂φ正确.
4. B 解析：{}{}{}{}{}1,0,1N M .3,2,1,0,131,
1,0,1,223Z m M -=-=≤≤-∈=--=<<-∈= 则n Z n N m
5. C 解析：{}{}
{},11,1M 22-≥=-===-==y y x y y N R x y x 则{}N y y N M =-≥=1
6. C 解析： {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1;∴.1,,0,0-=-=∴=+≠a b b a b a a
7. C 解析：由M,⊂φ所以
必有根，0a x 2x 2=-+1a 0a 440-≥⇒≥+⇒≥∆∴.
二、填空题
8. 2≥a .解析：如图：
9. {}1解析：{}
{},1,12M 2≥=∈+==y y R x x y y
{}{},1,12≤=∈+-==y y R x x y y N 所以;{}1N M = . 10. 3
11. 4
三、解答题
12. 解析：{}
{}，
0,404x 2-==+=x x A ①{}0B 1A B 1,1,01B 02=-===±==-∈时，，当时，当，则若a a a a
②,17,078B 42或，则若==+-∈-a a a {}A B 4-12-B 7⊄==，，时，当a ③1,0)1(4)14(B 22-<<--+=∆=a a a ，则若φ
由①②③得11-≤=a a 或.。