2015-2016年安徽省芜湖一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年安徽省芜湖一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）
A．﹣2B．C．D．2
2．（3分）从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（）A．A与C互斥B．A与B互为对立事件
C．B与C互斥D．任何两个均互斥
3．（3分）某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（）
A．13B．14C．15D．16
4．（3分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）
A．产品的生产能耗与产量呈正相关
B．t的取值必定是3.15
C．回归直线一定过点（4，5，3，5）
D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）
A．B．C．D．
6．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
7．（3分）下列说法：
（1）一组数据不可能有两个众数；
（2）一组数据的方差必为正数，且方差越大，数据的离散程度越大；
（3）将一组数据中的每个数都加上同一个常数后，方差恒不变；
（4）在频率分布直方图中，每个长方形的面积等于相应小组的频率．
其中错误的个数有（）
A．0B．1C．2D．3
8．（3分）将一枚骰子投掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx2﹣nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是（）
A．B．C．D．
9．（3分）某节假日，一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表．要求每人值班一天，但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻，则不同的安排方法有（）种．
A．336B．408C．240D．264
10．（3分）[]表示不超过的最大整数．若
S1=[]+[]+[]=3，
S2=[]+[]+[]+[]+[]=10，
S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21，
…，
则S n=（）
A．n（n+2）B．n（n+3）C．（n+1）2﹣1D．n（2n+1）
11．（3分）设a，b∈（0，+∞），则a+（）
A．都不大于2B．都不小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
12．（3分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各楞的中点共20个，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD 1垂直的概率为（ ） A ．
B
．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．（4分）若复数z 满足
=i 2015+i 2016（i 为虚数单位），则|z |= ．
14．（4分）（﹣2）（x +1）5展开式中x 2项的系数为 ．
15．（4分）已知Q ={（x ，y ）|3x +y ≤4，x ≥0，y ≥0}，A ={（x ，y ）|x ≤y }，若向区域Q 内随机投入一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 16．（4分）彩票公司每天开奖一次，从1，2，3，4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，则第五天开出的号码也同样是4的概率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如表：
（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为： S =
，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S
大于200元且不超过600元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
附：
k2=
18．（10分）某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：
（1）求月均用电量的中位数与平均数估计值；
（2）如果用分层抽样的方法从这n位居民中抽取8位居民，再从这8位居民中选2位居民，那么至少有1位居民月均用电量在30至40度的概率是多少？（3）用样本估计总体，把频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作
有放回的抽样），求月均用电量在30至40度的居民数X的分布列．
19．（10分）已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；
sin25°+sin265°+sin2125°=；
sin212°+sin272°+sin2132°=；
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．20．（10分）为贯彻“激情工作，快乐数学”的理念，某学校在学习之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为．
（1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．21．（10分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0（0＜P0＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求P0；
（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
2015-2016学年安徽省芜湖一中高二（下）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）
A．﹣2B．C．D．2
【解答】解：复数=是纯虚数，所以2﹣a=0，即a=2．
故选：D．
2．（3分）从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（）A．A与C互斥B．A与B互为对立事件
C．B与C互斥D．任何两个均互斥
【解答】解：从一批产品中取出三件产品，
设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，
事件A与C不能同时发生，是互斥事件，故A正确；
事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥但不对立事件，故B错误；
事件B与C能同时发生，故B与C不是互斥事件，故C错误；
由B与C不是互斥事件得D错误．
故选：A．
3．（3分）某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（）
A．13B．14C．15D．16
【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为5，8，10，14，16，16，20，23；
∴这组数据的中位数是=15．
故选：C．
4．（3分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）
A．产品的生产能耗与产量呈正相关
B．t的取值必定是3.15
C．回归直线一定过点（4，5，3，5）
D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
【解答】解：由题意，==4.5，
∵=0.7x+0.35，
∴=0.7×4.5+0.35=3.5，
∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3，
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，
故选：B．
6．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
【解答】解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，
∴不符合三段论推理形式，
∴推理形式错误，
故选：C．
7．（3分）下列说法：
（1）一组数据不可能有两个众数；
（2）一组数据的方差必为正数，且方差越大，数据的离散程度越大；
（3）将一组数据中的每个数都加上同一个常数后，方差恒不变；
（4）在频率分布直方图中，每个长方形的面积等于相应小组的频率．
其中错误的个数有（）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：对于①，例如：3，3，3，3，4，4，4，4，1，2，5，有两个众数，∴一组数据不可能有两个众数不正确，∴①错误；
对于②，一组数据的方差不一定是正数，也可能为零，∴②不正确；
对于③，有方差的计算公式s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，故方差不变，∴③正确；
对于④，小长方形的长为组距，高为，所以小长方形的面积为：组距×=频率，∴④正确；
故选：C．
8．（3分）将一枚骰子投掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx2﹣nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：函数y=mx2﹣nx+1在[1，+∞）上为增函数，
等价于导数y′=2mx﹣n≥0在[1，+∞）上恒成立．
而x≥在[1，+∞）上恒成立即≤1．
∵将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数为36个，而满足≤1包含的（m，n）基本事件个数为30个，不满足题意的点共有如图中6个点．
故函数y=mx2﹣nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是=．
故选：D．
9．（3分）某节假日，一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表．要求每人值班一天，但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻，则不同的安排方法有（）种．
A．336B．408C．240D．264
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
∵甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻
做出6个人的所有排列减去不合题意的即可，
6个人全排列有A66=720种结果，
甲乙相邻有A22A55=240种结果，
丙丁相邻有有A22A55=240种结果，
其中有甲乙和丙丁同时相邻的情况共有A22A22A44=96
∴符合条件的共有720﹣240﹣240+96=336，
故选：A．
10．（3分）[]表示不超过的最大整数．若
S1=[]+[]+[]=3，
S2=[]+[]+[]+[]+[]=10，
S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21，
…，
则S n=（）
A．n（n+2）B．n（n+3）C．（n+1）2﹣1D．n（2n+1）【解答】解：第一个等式，起始数为：1，项数为：3=4﹣1=22﹣12，S1=1×3；第二个等式，起始数为：2，项数为：5=9﹣4=32﹣22，S2=2×5；
第三个等式，起始数为：3，项数为：7=16﹣9═42﹣32，S3=3×7；
…
第n个等式，起始数为：n，项数为：（n+1）2﹣n2=2n+1，S n=n（2n+1），（n∈N*）．故选：D．
11．（3分）设a，b∈（0，+∞），则a+（）
A．都不大于2B．都不小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
【解答】解：假设a+，b+都小于或等于2，
即a+≤2，b+≤2，
将两式相加，得a++b+≤4，
又因为a+≥2，b+≥2，
两式相加，得a++b+≥4，与a++b+≤4，矛盾
所以a+，b+至少有一个不小于2．
故选：D．
12．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各楞的中点共20个，任取
2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD1垂直的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分别为相应棱上的中点，
容易证明BD1⊥正六边形EFGHIJ
此时在正六边形上有条直线与直线BD1垂直．
与直线BD1垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A1C1B，共有直线4×条．
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点，
任取2点连成直线数为条直线
（每条棱上如直线AE，ED，AD其实为一条），
故对角线BD1垂直的概率为．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．（4分）若复数z满足=i2015+i2016（i为虚数单位），则|z|=．【解答】解：由=i2015+i2016=（i4）503•i3+（i4）504=1﹣i，
得z=（1﹣i）（2+i）=2+i﹣2i﹣i2=3﹣i．
则|z|=．
故答案为：．
14．（4分）（﹣2）（x+1）5展开式中x2项的系数为﹣10．
【解答】解：（x+1）5展开式的通项公式为T r+1=•x5﹣r，
令5﹣r=3，得r=2，∴x3的系数为；
令5﹣r=2，得r=3，∴x2的系数为；
∴（﹣2）（x+1）5展开式中x2项的系数为：
﹣2×=10﹣2×10=﹣10．
故答案为：﹣10．
15．（4分）已知Q={（x，y）|3x+y≤4，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤y}，若
向区域Q内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为．
【解答】解：如右图，直线3x+y=4和y=x的交点为C（1，1），
且A（，0）、B（0，4），
故所求概率为P==．
故答案为：．
16．（4分）彩票公司每天开奖一次，从1，2，3，4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，则第五天开出的号码也
同样是4的概率为．
【解答】解：第一天开出4，则后4天开出的中奖号码的种数有34种，
第五天同样开出4，则中间三天开出的号码种数：
第二天有3种，第三天如果是4，则第4天有3种，第三天如果不是4，则第4天有2种，
满足条件的种数有3×2×2+3×1×3=21种， 故所求概率p =
=．
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如表：
（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为： S =
，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S
大于200元且不超过600元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附：
k 2=
【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）
由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）
∴P（A）=…．（4分）
（2）根据以上数据得到如表：
…．（8分）
K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）
18．（10分）某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：
（1）求月均用电量的中位数与平均数估计值；
（2）如果用分层抽样的方法从这n位居民中抽取8位居民，再从这8位居民中
选2位居民，那么至少有1位居民月均用电量在30至40度的概率是多少？（3）用样本估计总体，把频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用电量在30至40度的居民数X的分布列．
【解答】解：（1）中位数估计值为32，
平均数估计值为0.05×5+0.1×15+0.3×25+0.25×35+0.15×45+0.15×55=33…（4分）
（2）由得n=100，
抽取的8位居民中月均用电量在30至40度的居民有人，
∴至少1位居民月均用电量在30至40度概率为…（8分）
（3）抽取1位居民月均用电量在30至40度的概率为，
∴
∴X的分布列为
…（12分）
19．（10分）已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；
sin25°+sin265°+sin2125°=；
sin212°+sin272°+sin2132°=；
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．
【解答】解：一般形式：sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=…（4分）
证明左边=…（7分）=
=﹣sin2αsin240°]…（11分）
=…（13分）
==右边
∴原式得证…（14分）
（将一般形式写成sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=，sin2（α﹣240°）+sin2（α﹣120°）+sin2α=等均正确，其证明过程可参照给分．）20．（10分）为贯彻“激情工作，快乐数学”的理念，某学校在学习之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为．
（1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【解答】解：（1）选手甲答3道题进入决赛的概率为，
选手甲答4道题进入决赛的概率为，
∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P=+=．（4分）
（2）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．
则有，
，
，
∴Eξ=3×+4×+5×=．（8分）
21．（10分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0（0＜P0＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求P0；
（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为P0，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=5”，
因为P（X=5）=×P0，所以P（A）=1﹣P（X=5）=1﹣×P0=，
所以．
（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．
由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，P0），
所以E（X1）=2×=，E（X2）=2×P0，
从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=6P0．
若E（2X1）＞E（3X2），则＞6P0，所以0＜P0＜；
若E（2X1）＜E（3X2），则＜6P0，所以＜P0＜1；
若E（2X1）=E（3X2），则=6P0，所以P0=．。