【2015菏泽二模 理数】山东省菏泽市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题word版含答案

高三第二次质量检测理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合1{|()2}2x A x =≥和2{|lg(1)}B y y x ==+，则( )A B =A ．{|1x x ≤-或0}x ≥B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥C ．{|0}x x ≥D ．{|1}x x >-2．已知i 是虚数单位，若(13)z i i +=，则z 的虚部为 A ．110B ．110-C ．10iD ．10i -3．设y x ,是两个实数，命题“y x ,中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 A ．2x y +=B ．2x y +>C ．222x y +>D ．1xy >4．已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是 A ．8?n ≤ B ．9?n ≤ C ．10?n ≤ D ．11?n ≤5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线310x y ++=垂直，则双曲线的离心率等于ABCD6．定义：32414231a a a a a a a a -=，若函数1(sin f x xx， 将其图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π7．已知函数133, (1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(2)y f x =-的大致图象是8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 A ．476 B ．233C ．152D ．79．若实数y x ,满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+010101y y x y x ，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为b a ,，则函数by ax z +=2在点)1,2(-处取得最大值的概率为 A ．15B ．25C ．16D ．5610．已知M 是△ABC 内的一点（不含边界），且 23AB AC =30BAC ∠=︒若△MBC ，△MAB ，△MCA 的面积分别为,,x y z ，记149(,,)f x y z x y z=++，则(,,)f x y z 的最小值为 A ．26 B ．32C ．36D ．48第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 __________12．在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q = 13．采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002,,600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A ，编号落入区间[301，495]的人做问卷B ，编号落入区间[496，60]的人做问卷C ,则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．14．已知对于任意的x R ∈，不等式35x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是________． 15．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值;（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影． 17．（本小题满分12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响． 已知学生小张只选甲的概率为0．08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望； 18．（本小题满分12分）在如图1所示的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =AD =BC =12CD =a ，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，使平面DAE ⊥平面ABCE ，连结DB ,DC ，得到如图2所示的几何体D -ABCE ，在图2中解答以下问题：（Ⅰ）设F 为AB 中点，求证：DF ⊥AC ； （Ⅱ）求二面角A -BD -C 的正弦值．19．（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知14a =，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-． （Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令22log 2n n nnc b b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T 20．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若1()ag x x+=-，在[1,]( 2.71828)e e =⋯上存在一点0x ，使得00()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知椭圆22122:1,(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e =，且过点(1．抛物线22:2,(0)C x py p =->的焦点坐标为1(0,)2-．（Ⅰ）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）若点M 是直线l :2430x y -+=上的动点，过点M 作抛物线C 2的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 交椭 圆C 1于P ，Q 两点．i ）求证直线AB 过定点，并求出该定点坐标； ii ）当△OPQ 的面积取最大值时，求直线AB 的方程．高三第二次质量检测理科数学参考答案一、选择题：1-5 CABBC 6-10 BAADC 二、填空题：11．4π12．2 13．8 14．()()--28∞+∞，， 15．[)∞+，5 三、解答题：17．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ；依题意得(1)(1)0.08(1)0.121(1)(1)(1)0.88x y z x y z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩ 解得0.40.60.5x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以学生小张选修甲的概率为0．4 …………………………………．4分 (Ⅱ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=∴事件A 的概率为0.24 ………………………………………… 8分 (Ⅲ）依题意知0,2ξ=， 则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52E ξ=⨯+⨯= ……………………12分 18．证明： （Ⅰ）取AE 中点H ，连结HF ，连结EB ，因为△DAE 为等边三角形，所以DH ⊥AE ，因为平面DAE ⊥平面ABCE ，.............................. 6分.............................. 12分.............................. 8分.............................. 10分所以DH ⊥平面ABCE ，AC ⊂平面ABCE ，所以AC ⊥DH ，因为ABCE 为平行四边形，CE =BC =a ，所以,ABCE 为菱形，AC ⊥BE ， 因为H 、F 分别为AE 、AB 中点，所以GH ∥BE ， 所以AC ⊥HF ；因为HF ⊂平面DHF ，DH ⊂平面DHF ，且HFDH H =，所以AC ⊥平面DHF ，又DF ⊂平面DHF ，所以DF ⊥AC 。

………………… 5分（Ⅱ）连结,BH EB 由题意得三角形ABE 为等边三角形，所以，BH AE ⊥，由（Ⅰ）知DH ⊥ 底面ABCE ，以H 为原点，分别以,,HA HB HD 所在直线为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系，如图所示： ………………………………… 6分则(,0,0),,0),),(,0)2a A B D C a -，所以，(0,)BD =，(,0,0)BC a =-，设面DCB 的法向量为(,,)m x y z =，则00ax -=⎧⎪⎨=⎪⎩，不妨设(0,1,1)m =， ………………………… 8分 设面DAB 的法向量(,,)n x y z '''=，又(,0,)2a DA =，则00x y z ⎧''=⎪⎨''-=⎪⎩，取3(1,,n =， …………………………………………………………… 10分 所以10cos ,||||m n m n mn ∙<>==∙，所以二面角A BD C --。

…… 12分19．解： （Ⅰ）因为n n n S a 31+=+,所以n n n n S S S 31+=-+，即n n n S S 321+=+，则)3(23323111n n n n n n n S S S -=-+=-+++，所以n n b b 21=+，又133111=-=-=a S b ，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列。