2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知全集为U ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,2}B =-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{3}
B ．{3,2}-
C ．{2}
D ．{2,3}-
【答案】C
【分析】根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集，再根据集合交集运算即可. 【详解】解：根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集， 所以{}{1,2,3,4,5}{3,2}2A
B =-=.
故选：C. 2．不等式
02
1
x x ≤-+的解集是 （ ） A ．(1)(12]-∞--，
， B ．[12]-，
C ．(1)[2)-∞-+∞，
，
D ．(1
2]-， 【答案】D
【分析】将“不等式
2
1x x -+≤0”转化为“不等式组()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩
”，由一元二次不等式的解法求解．
【详解】依题意，不等式化为()()12010
x x x ⎧+-≤⎨
+≠⎩
，
解得﹣1＜x≤2，
故选D ．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）
A ．y ＝x 2﹣2x
B ．y ＝|x |
C ．y ＝2x +1
D ．y =【答案】D
【分析】求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.
【详解】A. y ＝x 2﹣2x ,函数的减区间为(,1)-∞，所以选项A 不符； B. y ＝|x |，函数的减区间为(,0)-∞，所以选项B 不符； C.y ＝2x +1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C 不符；
D. y =0，+∞），所以选项D 符合. 故选D
【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．已知函数()3
51f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）
A ．()2,1--
B ．()1,0-
C ．()0,1
D ．()1,2
【答案】C
【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】
()351f x x x =-+，
()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，
根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.
5．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-
【答案】A
【分析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>.
【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A
6．已知12,x x 是方程2710x x -+=的两根，则2212x x +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】D
【分析】由韦达定理的127x x +=，121=x x ，再根据()2
221212122x x x x x x +=+-即可求出. 【详解】
12,x x 是方程2710x x -+=的两根，
127x x ∴+=，121=x x ，
()2
221212122725x x x x x x +=+-=-=
故选：D.
7．设,a b ∈R ，且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．
1a
b
> B ．
11a b
< C ．||||a b >
D ．33a b >
【答案】D
【分析】取特殊值判断ABC ，由幂函数3
y x =的单调性判断D. 【详解】当1,1a b ==-时，
11a
b =-<，11a b
>，||||a b = 因为幂函数3
y x =在R 当单调递增，a b >，所以33a b > 故选：D
8．“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】试题分析：当2a =，则()f x x a
=-在[2,)+∞上为增函数，故充
分性成立；当函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数，则，故必要性不成
立.
【解析】充分必要性．
9．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A 满足． 故选A ．
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】试题分析：由
得
，由
得
，∴函数的定义域
可以是{02}，{02}，{022，共3个．． 【解析】函数的定义域和值域．
11．已知非零实数,,a b c 满足：a b c >>，下列不等式中一定成立的有（ ） ①ab bc >； ②22ac bc ≥； ③
a b a b
c c
+->.
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】B
【分析】由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解. 【详解】对于①，若a c >，0b <，则ab bc <，故①错误； 对于②，由()2
2
2
0ac bc c a b -=-≥可得22ac bc ≥，故②正确；
对于③，因为2a b a b b c c c +--=，若20b c <，则a b a b
c c
+-<，故③错误. 故选：B.
12．已知a 、b R ∈，则“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】将代数式322a a b a ab a b +--++因式分解，找出使得
3220a a b a ab a b +--++=成立的等价条件，进而可得出结论.
【详解】
()()()()()
322221a a b a ab a b a a b a a b a b a b a a +--++=+-+++=+-+， 对任意的a R ∈，2
2131024a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝
⎭，
所以，32200a a b a ab a b a b +--++=⇔+=.
因此，“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的充要条件. 故选：C.
13．已知{},;min ,,.
a a
b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2
min 6,246x x x =-+-++，则函数()f x 的
最大值是（ ） A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】C
【分析】画出函数图像求得解析式，再求最大值即可 【详解】
根据题目的定义得，
{}2
()min 6,246f x x x x =-+-++222
6,6246
246,6246x x x x x x x x x ⎧-+-+≤-++=⎨-++-+>-++⎩
，化简得，
()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤
-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩
，可根据该分段函数做出图像，
显然在左边的交点处取得最大值，此时，0x =，得(0)6f =即为所求； 故选：C
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义得到
()256,0,2()5246,,0(,)
2x x f x x x x ⎧⎡⎤
-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩
，进而作出图像求解，属于基础题
二、双空题
14．设全集U =R ，集合{|2},A x x =<集合{|1}B x x =<，则集合
U
A
___________，集合
(
)U
A B =___________.
【答案】[)2,+∞ ()[),12,-∞+∞
【分析】利用集合的交集和并集进行求解即可
【详解】{|2},
A x x =<}{
2U
A x x =≥[)2,=+∞；
{|1}B x x =<，()U A B =()
[),12,-∞+∞；
故答案为：①[)2,+∞；②()[),12,-∞+∞
15．函数1
()1
f x x x =+
-(1)x >的最小值是_____，此时x =_____. 【答案】3 2
【分析】由题知10x ->，又由()1
111
f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，
由基本不等式可得()121
11131
f x x x =-+
++=-≥=， 当且仅当1
11
x x -=
-即2x =时，函数取得最小值3． 故答案为：①3；②2．
【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．
16．若函数()2
f x x x a =-+为偶函数，则实数a =________，函数()f x 的单调递
增区间是___________. 【答案】0 1,02⎛⎫-
⎪⎝⎭、1,2
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【分析】由偶函数的定义得出x a x a +=-，等式两边平方可求得实数a 的值，求出函数()f x 在()0,∞+上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数()f x 的单调递增区间.
【详解】函数()2
f x x x a =-+的定义域为R ，且该函数为偶函数，则()()f x f x -=，
即()2
2x x a x x a ---+=-+，所以，x a x a -=+， 等式x a x a -=+两边平方可得222222x ax a x ax a -+=++， 可知0ax =对任意的x ∈R 恒成立，所以，0a =，则()2
f x x x =-.
当0x >时，()2
f x x x =-，则函数()f x 在()0,∞+上的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为
1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. 由于函数()f x 为偶函数，因此，函数()f x 的单调递增区间为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
故答案为：0；1,02⎛⎫-
⎪⎝⎭、1,2
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
【点睛】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质.
三、填空题 17．命题“1
1,1x x
∀<>”的否定是___________. 【答案】11,
1x x
∃<≤ 【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可； 【详解】解：命题“1
1,
1x x
∀<>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“1
1,
1x x
∃<≤” 故答案为：1
1,1x x
∃<≤
18．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______. 【答案】12
【分析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．
【详解】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，
由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解得3x =， 所以1512x -=， 即所求人数为12人，
故答案为：12．
19．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数
,,a b c 的值依次为__________.
【答案】1,2,3---
【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．
20．某学校运动会上，6名选手参加100米决赛.观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1､2､6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4､5､6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现并没有并列名次，且甲､乙､丙､丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___________. 【答案】丁
【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对 故答案为：丁
【点睛】关键点睛：解题关键在于根据题意，进行合情推理即可，属于基础题 21．已知关于x 的不等式3
2ax a x
+≤在区间0,上有解，则实数a 的取值范围是
___________. 【答案】()
[),03,-∞+∞
【分析】由题意可得，当0x >时，2230ax ax -+能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围． 【详解】关于x 的不等式3
2ax a x
+在区间(0,)+∞上有解， 即当0x >时，不等式3
2ax a x
+
能成立，即2230ax ax -+能成立． 当0a =时，不等式不成立，故0a ≠．
当0a >时，则1x =时，函数2
23y ax ax =-+的最小值为
2
124304a a a a
-=-，求得
3a ．
当0a <时，二次函数2
23y ax ax =-+的图象开口向下，满足条件． 综上可得，实数a 的范围为3a 或0a <， 故答案为：()
[),03,-∞+∞
【点睛】易错点睛：解答本题时要注意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当0x >时，不等式2230ax ax -+能成立．即函数2
()23f x ax ax =-+的最小值大于零，而不是最大值大于零.
四、解答题
22．已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .
（1）若3a =，求集合P ； （2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.
【答案】（1）{}
13x x -<<；（2）(2)，
+∞. 【分析】（1）直接解不等式得解；
（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解. 【详解】（1）由()()310x x -+<，得{}
13P x x =-<<； （2）{}{
}
1102Q x x x x =-≤=≤≤. 由0a >，得{}
1P x x a =-<<， 又Q P ⊆， 所以2a >，
即a 的取值范围是(2)，
+∞. 23．已知定义在R 上的奇函数21
()x m
f x x =++,m ∈R . （1）求m ；
（2）用定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上单调递减； （3）若实数a 满足(
)
2
2
225
f a a ++<
，求a 的取值范围. 【答案】（1）0m =；（2）证明见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.
【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，得到(0)0f =，即可求解； （2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数()f x 在[)1,+∞单调递减.
（3）结合()f x 在[)1,+∞单调递减，转化为2222a a ++>，即可求解实数a 的取值范围.
【详解】（1）由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，解得0m =. （2）任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <， 则12221212121122121222222212()(1)()()(),(1)111111()()()(1)
x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x +-+-++++--==+-=+ 因211x x >>，故221221121,0,10,10x x x x x x >->+>+>，从而21()()0f x f x -<，
即21()()f x f x <，所以函数()f x 在[)1,+∞单调递减.
（3）由()2222111a a a ++=++≥，又由2(2)5f =
， 因为()22225
f a a ++<，结合()f x 在[)1,+∞单调递减，可得2222a a ++>， 即220a a +>，解得2a <-或0a >，
即实数a 的取值范围()(),20,-∞-+∞.
【点睛】含有“f ”的不等式的解法：
1、首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式；
2、根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式（组），此时要注意()g x 和()h x 的取值应再外层函数的定义域内；
3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.
24．二次函数()f x 满足(0)1f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）求()f x 的解析式；
（2）在区间[]1,1-上，函数()f x 的图像总在一次函数2y x m =+图像的上方，试确定实数m 的取值范围.
条件①：()()12f x f x x +-=；
条件②：不等式()4<+f x x 的解集为()1,3-.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；（1）2()1f x x x =-+；（2）1m <-.
【分析】（1）选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出()f x 的解析式；
选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出()f x 的解析式；
（2）由题意可知231x x m -+>，构造函数2()31g x x x =-+，由min ()g x m >得出m
的范围.
【详解】解（1）由f (0)=1，可设f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0).
选择①，则有
()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++-++=++= 由题意，得22,0,a a b =⎧⎨+=⎩解得1,1,
a b =⎧⎨=-⎩故2()1f x x x =-+ 选择②，则()4<+f x x 可化为2(1)30ax b x +--<.
由题，方程2(1)3=0ax b x +--的两实根分别为1-和3 所以1132b a --=-+=即21a b +=，及3133a
-=-⨯=-即1a =，所以1b =-. 故2()1f x x x =-+
（2）由题意，得212x x x m -+>+，即231x x m -+>，对[1,1]x ∈-恒成立.
令2()31g x x x =-+，则问题可转化为min ()g x m >
又因为g (x )在[1,1]-上递减，所以min ()(1)1g x g ==-，故1m <-
【点睛】对于问题（2），在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.
25．区间[],αβ的长度定义为βα-.函数()
22()1f x a x ax =+-，其中0a >，区间{}|()0I x f x =≤.
（1）求I 的长度；
（2）求I 的长度的最大值.
【答案】（1）21a a
+；（2）12. 【分析】（1）解出()0f x ≤，即可利用区间长度定义求出；
（2）利用基本不等式可求出.
【详解】解：（1）令2()(1)0f x x a x a ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得：10x =，2201a x a
=>+， 则{}2|()001a x f x x x a ⎧
⎫≤=≤≤⎨⎬+⎩⎭ ，20,1a I a ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦
， 则I 的长度为
22011a a a a -=++； （2）0a >，
I ∴
的长度211112a a a a =≤=++，当且仅当1a =时等号成立. ∴当1a =时，I 的长度的最大值为12
. 26．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.
（1）已知函数()g x x =，函数()2
h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32
-增长函数，并说明理由； （2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；
（3）请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i ）得分计入总分) （i ）如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；
（ii ）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为
R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()g x x =是，()2
h x x =不是，理由见解析；（2）9；（3）（i ）不是，理由见解析；（ii ）()1,1-.
【分析】（1）()g x x =用新定义证明，()2
h x x =举反例否定. （2）由新定义得出x 的一次不等式恒成立问题求解.
（3）(i)构造反例,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩
说明；(ii)由分段函数逐一讨论即可. 【详解】解：（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈-，
()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭； ()2h x x =不是，反例：当1x =-时，()31111=1224
h h h ⎛⎫⎛⎫-+==<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈--恒成立
等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈--恒成立
因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.
（3）（i ）不是
构造,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩
，则对任意正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=；
若R x Q ∈，则R x q Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=.
因此()f x 是R 上的q -增长函数，但()f x 不是增函数.
（ii ）由题意知22
22222,(),
2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩
已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，
因为()f x 在22[,]a a -上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a -上，
因此2224()2a a a >--=
注意到()f x 在2[2,0]a -上非负，在2[0,2]a 上非正
若22244a a <≤，当22x a =-时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾
因此244a >，即(1,1)a ∈-.
当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数：
①当24x a +≤-，(4)()f x f x +>显然成立
②当224a x a -<+<时，2243x a a <-<-，此时2(4)(4)f x x a +=-+>-，22()2f x x a a =+<-，(4)()f x f x +>
③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+->+≥
因此()f x 为R 上的4-增长函数
综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1-.
【点睛】此题是新定义题，属于难题；肯定命题时根据所给定义证明，否定结论要举出相应反例，方可获证.。