2022年河北省唐山市滦南县数学九年级第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，D 是等边△ABC 边AD 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 、BC 上，则CE ：CF=（ ）
A ．34
B ．45
C ．56
D ．67
2．如果某物体的三视图是如图所示的三个图形，
那么该物体的形状是
A ．正方体
B ．长方体
C ．三棱柱
D ．圆锥
3．小红抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有1到6的点数，下列事件为必然事件的是（ ） A ．骰子向上一面的点数为偶数
B ．骰子向上一面的点数为3
C ．骰子向上一面的点数小于7
D ．骰子向上一面的点数为6
4．点(1,2)-关于原点的对称点坐标是（ ）
A ．(1,2)
B ．(1,2)-
C ．(1,2)
D ．(2,1)- 5．抛物线()2221y x =--关于x 轴对称的抛物线的解析式为（ ）.
A ．()2221y x =-+
B ．()2
221y x =--+
C ．()221y x =---
D ．()2
21y x =-+- 6．若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（ ）
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．1∶8
D ．1∶16 7．关于抛物线221y x x =
-+，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上
B ．与x 轴有唯一交点
C ．对称轴是直线1x =
D ．当1x >时，y 随x 的增大而减小
8．若二次函数221y kx x =+-的图象与 x 轴仅有一个公共点，则常数k 的为（ ）
A ．1
B ．±1
C ．-1
D ．12- 9．把抛物线22y x =-向右平移l 个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A ．22(1)3y x =-+-
B ．22(1)3y x =--+
C ．22(1)3y x =-++
D ．22(1)3y x =--- 10．若△ABC ∽△AD
E ，若AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，则EC 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A ．3π+
B ．3π-
C ．23π-
D ．223π-12．若n 8＜n +1，则整数n 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．
14．二次函数y ＝﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x 2+bx+c ＜0的解集为______．
15．如图，//AB CD ，14OC OA =，若8AB =，则CD =_________ ．
16．一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入3个白球(每个球除颜色外其余都与红球相同).摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.7左右，则袋中红球约有_____个.
17．已知点P （x 1，y 1）和Q （2，y 2）在二次函数y ＝（x +k ）（x ﹣k ﹣2）的图象上，其中k ≠0，若y 1＞y 2，则x 1的取值范围为_____．
18．二次函数y=x 2﹣2x+3图象的顶点坐标为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）随着传统的石油、煤等自然资源逐渐消耗殆尽，风力、核能、水电等一批新能源被广泛使用．现在山顶的一块平地DE 上建有一座风车AE ，山的斜坡BD 的坡度1:3i =，长是100米，在山坡的坡底B 处测得风车顶端A 的仰角为45︒，在山坡的坡顶D 处测得风车顶端A 的仰角为60︒，请你计算风车的高度．(结果保留根号)
20．（8分）新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价
为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？21．（8分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？
22．（10分）如图，A(8，6)是反比例函数y＝m
x
(x＞0)在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，且AB
＝OA(B在A右侧)，直线OB交反比例函数y＝m
x
的图象于点M
(1)求反比例函数y＝m
x
的表达式；
(2)求点M的坐标；
(3)设直线AM关系式为y＝nx+b，观察图象，请直接写出不等式nx+b﹣m
x
≤0的解集．
23．（10分）在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其余都相同，从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该试验，经过大量试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值.
24．（10分）如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．(图中不添加字母和线段)
25．（12分）已知：AB 为O 的直径，BC AC =,D 为AC 上一动点（不与A 、C 重合）.
（1）如图1，若BD 平分CBA ∠，连接OC 交BD 于点E .①求证：CE CD =；②若1OE =，求AD 的长； （2）如图2，若BD 绕点D 顺时针旋转90︒得DF ，连接AF .求证：AF 为O 的切线.
26．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，毎个月可买出180件：如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，毎件商品的售价为多少元时，每个月的销售利润将达到1920元？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º
,CE=DE,CF=DF 再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º
可得∠ADE=∠BFD ，又因∠A=∠B=60º，
根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED ∽△BDF 所以DE AD AE DF BF BD
==， 设AD=a ，BD=2a ，AB=BC=CA=3a ，
再设CE==DE=x ，CF==DF=y ，则AE=3a-x ，BF=3a-y ， 所以332x a a x y a y a
-==- 整理可得ay=3ax-xy ，2ax=3ay-xy ，即xy=3ax-ay ①，xy=3ay-2ax ②；
把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax ，所以5ax=4ay ，4455
x a y a ==， 即45
CE
CF 故选B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质．
2、C
【解析】解：只有三棱柱的俯视图为三角形，故选C ．
3、C
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】A 、骰子向上一面的点数为偶数是随机事件，选项错误；
B 、骰子向上一面的点数为3是随机事件，选项错误；
C 、骰子向上一面的点数小于7是必然事件，选项正确；
D 、骰子向上一面的点数为6是随机事件，选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了随机事件与必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．
4、B
【分析】坐标系中任意一点(),P x y ，关于原点的对称点是(),x y --，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】根据中心对称的性质，得点()1,2-关于原点的对称点的坐标为()1,2-．
故选B ．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
5、B
【解析】先求出抛物线y=2（x ﹣2）2﹣1关于x 轴对称的顶点坐标，再根据关于x 轴对称开口大小不变，开口方向相反求出a 的值，即可求出答案.
【详解】抛物线y =2（x ﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x 轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y =﹣2（x ﹣2）2+1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的轴对称变换，此图形变换包括x 轴对称和y 轴对称两种方式.二次函数关于x 轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a 值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据关于x 轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 二次函数关于y 轴对称的图像，其形状不变，开口方向也不变，因此a 值不变，但是顶点位置改变，只要根据关于y 轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.
6、D
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【详解】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4
∴它们的面积之比为1∶16
故选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相似三角形的性质，即可完成.
7、D
【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A 、C 、D 三项，令y =0，解关于x 的方程即可判断B 项，进而可得答案.
【详解】解：()22211y x x x =-+=-；
A 、∵a =1>0，∴抛物线的开口向上，说法正确，所以本选项不符合题意；
B 、令y =0，则()2
10x -=，该方程有两个相等的实数根121x x ==，所以抛物线与x 轴有唯一交点，说法正确，所以本选项不符合题意；
C 、抛物线的对称轴是直线1x =，说法正确，所以本选项不符合题意；
D 、当1x >时，y 随x 的增大而减小，说法错误，应该是当1x >时，y 随x 的增大而增大，所以本选项符合题意. 故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和抛物线与x 轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键. 8、C
【分析】函数为二次函数与x 轴仅有一个公共点，所以根据△=0即可求出k 的值．
【详解】解：当224(1)0k ∆=-⋅-=时，二次函数y=kx 2+2x-1的图象与x 轴仅有一个公共点，
解得k=-1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点与一元二次方程ax 2+bx+c=0根之间的关系．△=b 2-4ac
决定抛物线与x 轴的交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
9、D
【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．
【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），
∴平移后抛物线解析式为22(1)3y x =---．
故选：D ．
【点睛】
本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式． 10、C
【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE 的长，EC=AC-AE ，即可计算DE 的长；
【详解】∵△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE
=， ∵AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，
∴AE=2，
即EC=AC-AE=6-2=4；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
11、D
【解析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，33
∴△ABC的面积为1
2
BC•AD=
1
23
2
⨯3
S扇形BAC=
2
602
360
π⨯
=
2
3
π，
∴莱洛三角形的面积S=3×2
3
π﹣2×3﹣3
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
12、B
88的大小，从而得出整数n的值．
【详解】∵28＜3，
∴38＜4，
∴整数n为3；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的估算，理解算术平方根的定义，是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、直线x＝2
【解析】试题分析：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：x==1
考点: 二次函数的性质
14、x<−1或x>5.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以不等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图象的性质
15、1
【分析】可得出△OAB∽△OCD，可求出CD的长．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴OC CD OA AB
＝，
∵
1
4
OC
OA
＝，若AB=8，
∴CD=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16、1
【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.1，口袋中有3个白球，
∵假设有x个红球，
∴
7
310
x
x
=
+
，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，
∴口袋中有红球约有1个．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
17、x1＞2或x1＜1．
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．
【详解】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）
＝（x﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，
∵点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，
∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，
y2＝﹣2k﹣k2，
∵y1＞y2，
∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2＞﹣2k﹣k2，
∴（x1﹣1）2＞1，
∴x1＞2或x1＜1．
故答案为：x1＞2或x1＜1．
【点睛】
此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系，掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的取值范围是解决此题的关键．
18、（1，2）．
【分析】先把此二次函数右边通过配方写成顶点式得：y=（x-1）2+2,从而求解.
【详解】解：y=x2﹣2x+3
y=x2﹣2x+1+2
y=（x-1）2+2，
所以，其顶点坐标是（1，2）．
故答案为(1，2)
【点睛】
本题考查将二次函数一般式化为顶点式求二次函数的顶点坐标，正确计算是本题的解题关键．
三、解答题（共78分）
19、
【分析】由斜坡BD的坡度可求∠DBC=30°，从而得到∠DBA=∠DAB=15°，所以AD=BD，然后在Rt△ADE中，利用∠ADE的正弦求解即可．
【详解】∵斜坡BD的坡度i DBC=30°，
又∵∠ABC =45°，∠ADE =60°，
∴∠DBA =∠DAB =15°，
∴AD =BD =100米．
在Rt △ADE 中，
sin ∠ADE =AE AD
，
∴AE =AD sin ∠ADE =100sin60°（米）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
20、（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元（3）销售单价应定为100元
【解析】（1）用每件的利润
()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+，
然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解； （3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可.
【详解】（1）()()()80802320w x y x x =-=--+，
2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-；
（2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+，
2080160x -<≤≤，，
∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为1．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元．
（3）当2400w =时，()2212032002400x --+=．
解得：12100140x x ，．
== ∵想卖得快， 2140x ∴=不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
21、（1）鸡场的宽（BC ）为6m ，则长（AB ）为1m ；（2）不能．
【分析】（1）可设鸡场的宽（BC ）为xm ，则长（AB ）为（33－3x ）m ，由矩形的面积可列出关于x 的一元二次方程，求出符合题意的解即可；
（2）将（1）中矩形的面积换成100，求方程的解即可，若有符合题意的解，则能实现，反之则不能.
【详解】（1）设鸡场的宽（BC ）为xm ，则长（AB ）为（33－3x ）m ，根据题意，得
(333)90x x -=．
解得16x =，25x =（不符合题意，舍去）．
33－3x=33－3×6=1．
答：鸡场的宽（BC ）为6m ，则长（AB ）为1m ．
（2）设鸡场的宽（BC ）为xm ，则长（AB ）为（33－3x ）m ，根据题意，得
(333)100x x -=，整理得23331000x x -+-=
2334(3)(100)108912001110∆=-⨯-⨯-=-=-<
所以该方程无解，这一想法不能实现.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键.
22、 (1)y ＝48x
；(2)M(1，4)；(3)0＜x≤8或x≥1． 【分析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)利用勾股定理求得AB ＝OA ＝10，由AB ∥x 轴即可得点B 的坐标，即可求得直线OB 的解析式，然后联立方程求得点M 的坐标；
(3)根据A 、M 点的坐标，结合图象即可求得．
【详解】解：(1)∵A(8，6)在反比例函数图象上
∴6＝8
m ，即m ＝48， ∴反比例函数y ＝的表达式为y ＝48x
； (2)∵A(8，6)，作AC ⊥x 轴，由勾股定理得OA ＝10，
∵AB ＝OA ，
∴AB ＝10，
∴B(18，6)，
设直线OB 的关系式为y ＝kx ，
∴6＝18k ，
∴k＝1
3
，
∴直线OB的关系式为y＝1
3 x，
由
1
3
48
y x
y
x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，解得x＝±1
又∵在第一象限
∴x＝1
故M(1，4)；
(3)∵A(8，6)，M(1，4)，
观察图象，不等式nx+b﹣m
x
≤0的解集为：0＜x≤8或x≥1．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标．
23、2
【分析】根据“摸到白球的频率稳定于0.5左右”利用概率公式列方程计算可得；
【详解】解：根据题意，得
1 22
n
n
=
+
，
解得2
n=
答：n的值是2.
【点睛】
本题考查了用频率估计概率和概率公式，掌握概率公式是解题的关键.
24、△BPQ∽△CDP，证明见解析.
【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP. 【详解】△BPQ∽△CDP，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B ＝∠C ＝90°，
∵∠QPD ＝90°，
∴∠QPB +∠BQP ＝90°，
∠QPB +∠DPC ＝90°，
∴∠DPC ＝∠PQB ，
∴△BPQ ∽△CDP ．
【点睛】
此题重点考察学生对两三角形相似的判定的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键.
25、（1）①见解析，②2；（2）见解析
【分析】（1）①先根据圆周角定理得出45CBA BAC ∠=∠=︒，再得出45BCO ∠=︒，再根据角平分线的定义得出CBD DBA ∠=∠，最后根据三角形外角定理即可求证；②取BD 中点G ，连接OG ，可得OG 是中位线，根据平行线的性质得OGE OEG ∠=∠，然后根据等腰三角形的性质得出1OG OE ==，最后再根据中位线的性质得出22AD OG ==；
（2）BC 上截取BP AD =，连接DP ，由题意先得出BC AC =，再得出135BPD ∠=︒，然后由旋转性质得90BDF ∠=︒、BD FD =，再根据同角的补角相等得出CBD ADF ∠=∠，然后证的()DFA BDP SAS ∆≅∆，最后得出90FAB ∠=︒即可证明.
【详解】解：（1）①证明：AB 为O 的直径，
90BCA ∴∠=︒.
BC AC =，
45CBA BAC ∴∠=∠=︒，90BOC ∠=°.
45BCO ∴∠=︒. BD 平分CBA ∠，
CBD DBA ∴∠=∠.
CED CBD BCE ∠=∠+∠，
CDE ABD BAC ∠=∠+∠，
CED CDE ∴∠=∠.
CE CD ∴=；
②解法一：如图，取BD 中点G ，连接OG ，
O 为AB 的中点，
2AD OG ∴=，//OG AD .
OGE CDE ∴∠=∠.
OEG CED ∠=∠，CED CDE ∠=∠，
OGE OEG ∴∠=∠.
1OG OE ∴==.
22AD OG ∴==；
解法二：如图，作EM BC ⊥，垂足为M ，
BD 平分CBA ∠，EO AB ⊥，
1EM EO ∴==.
45BCO ∠=︒.
45MEC BCE ∴∠=∠=︒.
1CM EM ∴==.
22112EM C E M C ∴=+=+=.
2CD CE ∴==21OC OE CE ∴=+=.
在Rt AOC ∆中，()
22222122AO OC O C C A +====.
2AD AC CD ∴=-=；
解法三：如图，作DN AB ⊥，垂足为N ，
设CE x = BD 平分CBA ∠，DN AB ⊥，
ND CD CE x ∴===.
45BAC ∠=︒ ∴22AD DN x == ∴2AC OC =，即2()CD AD CE OE +=+
∴22(1)x x x +=
+ 解得：2x =
∴22AD x ==
（2）证明（法一）：如图，在BC 上截取BP AD =，连接DP .
45CBA BAC ∠=∠=︒，
BC AC ∴=.
CP CD ∴=.
45CPD ∴∠=︒.
135BPD ∴∠=︒.
由旋转性质得，90BDF ∠=︒，BD FD =.
90.BDC FDA ∴∠+∠=︒
90BDC CBD ∠+∠=︒，
CBD ADF ∴∠=∠.
()DFA BDP SAS ∴∆≅∆.（SAS 没写不扣分）
135FAD DBO ∴∠=∠=︒.
1354590FAB FAD BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒.
OA AF ∴⊥.
AF ∴为O 的切线．
证法二：如图，延长DA 到Q ，使DQ CB =.
由旋转性质得，90BDF ∠=︒，BD FD =.
90BDC FDA ∴∠+∠=︒.
90BDC CBD ∠+∠=︒，
CBD ADF ∴∠=∠.
()DFQ BDC SAS ∴∆≅∆.（SAS 没写不扣分）
FQ CD ∴=，90DQF BCD ∠=∠=︒.
BC AC =，
BC AC ∴=.
DQ AC ∴=.
AQ DC ∴=.
FQ DC ∴=.
45FAQ AFQ ∴∠=∠=︒.
18090FAB FAQ BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒.
OA AF ∴⊥.
AF ∴为O 的切线．
证法三：作FH CA ⊥交CA 延长线于点H .（余下略）
由旋转性质得，90BDF ∠=︒，BD DF =
∴90.BDC FDA ∠+∠=︒
90BDC CBD ∠+∠=︒，
∴CBD ADF ∠=∠.
∵90BCD DHF ∠=∠=︒
∴()BDC DFH AAS ∆≅∆
∴DC FH =、BC DH =
BC AC =
∴BC AC =
∴DH AC =
∴AH DC =
∴45FAH AFH ∠=∠=︒
∵AB 为O 的直径，
∴90BCA ∠=︒
∴45CAB ABC ∠=∠=︒
∴18090FAB FAH BAC ∠=︒-∠-∠=︒
∴OA AF ⊥.
∴AF 为O 的切线．
【点睛】
本题主要考察圆周角定理、角平分线定义、中位线性质、全等三角形的判定及性质等，准确作出辅助线是关键.
26、毎件商品的售价为32元
【分析】设毎件商品的上涨x元，根据一件的利润×总的件数=总利润，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去．【详解】解：设毎件商品的上涨x元，根据题意得：
（30﹣20+x）（180﹣10x）=1920，
解得：x1=2，x2=6（不合题意舍去），
则毎件商品的售价为：30+2=32（元），
答：毎件商品的售价为32元时，每个月的销售利润将达到1920元．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解；注意本题先设每件商品的上涨的钱数更容易做．。