信号与系统(郑君里第二版)讲义第二章 连续时间系统的时域分析

2.1 连续时间系统的数学模型
一、连续时间系统数学模型的建立 原则上，具体问题的数学模型，由具体物理定律列写。 在电学系统中，由电网络结构的约束特性：基尔霍夫第一定律（KCL）和基 尔霍夫第二定律（KVL） ，以及元件的约束特性来建立描述连续时间系统（线性 电路）的数学模型。 电网络结构的约束特性，即各支路电流、电压的关系： KCL： ∑ ± i (t ) = 0
若其特征根均为单根则设零输入响应为zikzi若其特征方程中有一个m阶重根时则设零输入响应为zimzizizi确定个待定常数二零状态响应的定义及其求法1定义不考虑起始时刻系统储能的作用起始状态等于零由系统的外加激励信号所产生的响应称为零状态响应零状态响应满足的微分方程为
第二章
连续时间系统的时域分析
江禹生
⎧原方程的齐次方程 ⎨ (k ) ⎩起始状态r (0 − )
2、全响应 r ( t ) ＝自由响应 rh ( t ) ＋强迫响应 rp ( t ) 微分方程的齐次解就是自由响应，微分方程的特解就是强迫响应。 3、全响应 r ( t ) ＝瞬态响应＋稳态响应 系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应分量， 随着时间增长 而趋于稳定的部分称为稳态响应分量。
rzi (t ) = H [{x(0 − )}]
零输入响应 rzi ( t ) 满足的微分方程为：
dn d n −1 d ( ) r t + a r (t ) + L + a1 rzi (t ) + a 0 rzi (t ) = 0 n −1 n zi n −1 zi dt dt dt
2、零输入响应 rzi ( t ) 的求解步骤 （1）写出特征方程 α n + a n −1α n −1 + L + a1α + a 0 = 0 ， 求出特征根 α 1 ， α 2 ， L ， α n （2）根据特征根的不同形式，写出所对应的齐次解形式。 若其特征根均为单根，则设零输入响应为
求响应有三种方法：经典法、零输入和零状态法、变换域法。 一、时域经典法 全解 = 齐次解 + 特解，由初始条件确定出齐次解中的待定系数。 用经典法求全响应的步骤： （1）由原微分方程写出特征方程 α n + a n −1α n −1 + L + a1α + a 0 = 0 ，求出特征 根 α 1 ， α 2 ， L ， α n ，称为自然频率或固有频率。 （2）根据特征根的不同形式，写出所对应的齐次解 rh (t ) 的形式。 a．若其特征根均为各不相同的单根，则设齐次解为：
d r (t ) = aδ (t ) + bΔu (t ) dt
r (t ) = aΔu (t )
代入原方程得
aδ '' (t ) + bδ ' (t ) + cδ (t ) + dΔu (t ) + 4aδ ' (t ) + 4bδ (t ) + 4cΔu (t )
3
+ 5aδ (t ) + 5bΔu (t ) + 2aΔu (t ) = δ '' (t ) + 3δ (t )
( ) (0+ ) 。跳变 等。初始条件 r (k ) (0 + ) 与起始状态 r (k ) (0 − ) 之差，称为跳变量，记为 rzs
k
( ) (0+ ) 也就是零 量由原方程根据冲激函数匹配法求得。后面将证明这个跳变量 rzs
k
状态响应的初始条件。
2
3、采用冲激函数匹配法求系统响应跳变量的方法 冲激函数匹配法的基本原理有三条： （1）对于一个描述连续时间系统的微分方程，由于它在整个时间范围
(− ∞,+∞) 内都成立，它在任一特定时刻当然也成立。在引入 δ 函数以前，函数在
不连续点（跳变点）的导数不存在。这样，一个微分方程就不能在整个时间范围 内成立。δ 函数的引入解决了函数在跳变点处导数存在的问题，从而使得一个微 分方程在整个时间范围内成立了。 （2）由于定义了 d d δ (t ) = u (t ) ， δ ' (t ) = δ (t ) ， L d d 这表明函数在跳变点处的导数要出现冲激函数项。因此，如果由于激励信号 的加入，在微分方程右端出现了冲激函数项 aδ (t ) ， bδ ' (t ) 等，则方程左端也应 有对应的冲激函数项。匹配就是使方程左端产生这样一些对应相等的冲激函数， 而这些函数的产生，意味着存在 0 − 状态到 0 + 状态的跳变量。 函数只匹配 δ (t ) 及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。 （3）匹配从方程左端 r (k ) (t ) 的最高阶项开始，使方程右端 δ 函数导数的最高 阶次项得到匹配。 下面举例说明用冲激函数匹配法求跳变量的方法。 例 2.1.1 设某系统方程为
j = k +1
（3）求特解 rp (t ) 特解的函数形式与激励函数形式有关， 几种典型激励函数对应的特解形式见 教材 P46 表 2—2。 （4）写出全解
r (t ) = rh (t ) + rp (t )
（5）由初始条件确定待定系数。 设激励信号在 t = 0 时刻加入，微分方程求解的区间是 0 < t < ∞ 。对于 n 阶微
d3 d2 d ( ) r t + 4 r (t ) + 5 r (t ) + 2r (t ) = δ '' (t ) + 3δ (t ) ， 求 3 2 dt dt dt
' '' 跳变量 rzs (0 + ) ， rzs (0 + ) ， rzs (0 + ) 。
d3 r (t ) = aδ '' (t ) + bδ ' (t ) + cδ (t ) + dΔu (t ) 解：设 3 dt d2 r (t ) = aδ ' (t ) + bδ (t ) +cΔu (t ) 2 dt
(k ) 跳变量 rzs (0 + ) ：确定零状态响应中的待定系数；
初始条件 r (k ) (0 + ) ：确定全响应（齐次解）中的待定系数；
(k ) 这三个量之间的关系是： rzs (0 + ) = r (k ) (0 + ) − r (k ) (0 − ) 。
亦即， 完全响应 r ( t ) 的定解条件是：
dr (0 + ) d 2 r (0 + ) d n −1 r (0 + ) 分方程，利用 n 个初始条件： r (0 + ) 、 、 ，L ， ，即可 dt dt 2 dt n −1
确定全部待定系数。
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二、全响应 r ( t ) 的三种分解方式 全响应可按以下三种方式分解。 1、全响应 r ( t ) ＝零输入响应 rzi ( t ) ＋零状态响应 rzs ( t ) 注意：在求解系统的完全响应 r ( t ) 时，要用到有关的三个量是： 起始状态 r (k ) (0 − ) ：确定零输入响应中的待定系数；
d r (t ) = δ (t ) − 4Δu (t ) dt
r (t ) = Δu (t )
所以
'' ' (0 + ) = r ''' (0 + ) − r ''' (0 − ) = −38 rzs
'' (0 + ) = r '' (0 + ) − r '' (0 − ) = 14 rzs ' (0 + ) = r ' (0 + ) − r ' (0 − ) = −4 rzs
建立连续时间系统数学模型，不是本课程主要讨论的问题。 二、连续时间系统的数学模型一般形式 dn d n −1 d C0 n r ( t ) + C1 n −1 r ( t ) + L + Cn −1 r ( t ) + Cn r ( t ) dt dt dt = E0 或 dm d m −1 d + e t E e t + L + Em −1 e ( t ) + Em e ( t ) ( ) 1 m m −1 ( ) dt dt dt
注意： （1）对于一个具体的电网络，一般情况下换路期间电容两端的电压和流过 u C (0 − ) = u C (0 + ) ， 电感中的电流不会发生突变。 这就是在电路分析中的换路定则：
i L (0 − ) = i L (0 + ) 。
（2）当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，0− 到 0 + 状态就会发生跳变。 （3）当系统已经用微分方程表示时，系统从 0− 状态到 0 + 状态有没有跳变取 决于微分方程右端自由项是否包含 δ (t ) 及其各阶导数项。如果包含有 δ (t ) 及其各 阶导数， 说明响应的 0 − 到 0 + 状态发生了跳变， 即 r (0 + ) ≠ r (0 − ) 或 r ' (0 + ) ≠ r ' (0 − ) 等
2.3 零输入响应 rzi ( t ) 和零状态响应 rzs ( t )
一、零输入响应 rzi ( t ) 的定义及其求法
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1、定义 没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响 应，称为零输入响应。
e(t ) = 0
{x(0 − )} ≠ 0
rzi (t )
零输入响应方框图
rzs (0 + ) = r (0 + ) − r (0 − ) = 1
2.2 系统微分方程的解
系统微分方程的解，称为系统的全响应 r ( t ) 。求解系统微分方程，称为求系 统响应。
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e(t )
{x(0 − )}
r (t )
含起始状态系统方框图
r (t ) = H [e(t )] + H [{x(0 − )}]
比较等式两端 δ (t ) 及其各阶导数项的系数，得
a =1 b + 4a = 0 c + 4b + 5a = 3 d + 4c + 5b + 2a = 0
联立求解得
a =1 b = −4 c = 14 d = −38
故
d3 r (t ) = δ '' (t ) − 4δ ' (t ) + 14δ (t ) − 38Δu (t ) 3 dt d2 r (t ) = δ ' (t ) − 4δ (t ) + 14Δu (t ) 2 dt
rzi (t ) = ∑ Azik e α k t
n
KVL： ∑ ± u (t ) = 0
n
元件约束特性： 电阻： u R (t ) = RiR (t ) 电容： iC (t ) = C 电感： u L (t ) = L
du C (t ) 1 t 或 u C (t ) = ∫ iC (τ )dτ dt C −∞ di L (t ) 1 t 或 i L (t ) = ∫ u L (τ )dτ dt L −∞
rh (t ) = ∑ Ai eα it
i =1
n
b．若其特征方程有一个 k 重根，例如， α 1 为 k 重根， α 1 = α 2 = L = α k ， 其余 n − k 个根为单根。则设齐次解为：
λt rh (t ) = ∑ Ai t k −i eα t + ∑ A j e
1 j
k
n
i =1
1
微分方程。 三、起始状态 r ( ) (0− ) 和初始条件 r ( ) (0+ )
k k
1、起始状态 r ( ) (0− )
k
系统在激励信号 e ( t ) 加入之前瞬间 t = 0− 的一组状态称为系统的起始状态 （简称 0− 状态） ，它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。
⎡ ⎤ d d n −1 r ( k ) (0− ) = ⎢ r ( 0− ) , r ( 0− ) ,L , n −1 r ( 0− ) ⎥ dt dt ⎣ ⎦
dn d n −1 d r (t ) + a n −1 n −1 r (t ) + L + a1 r (t ) + a 0 r (t ) n dt dt dt
dm d m −1 d = bm m e(t ) + bm −1 m −1 e(t ) + L + b1 e(t ) + b0 e(t ) dt dt dt 结论：描述 n 阶连续时间线性时不变系统的数学模型是一个 n 阶线性常系数
注意：对于一个具体的电网络，系统的 0 − 状态就是系统中储能元件的储能 情况决定的状态。 2、初始条件 r ( ) (0+ )
k
系统在 t = 0+ 时刻的一组状态称为系统的初始条件，简称 0 + 状态或“导出的 起始状态” 。
⎡ ⎤ d d n −1 r ( k ) (0+ ) = ⎢ r ( 0+ ) , r ( 0+ ) ,L , n −1 r ( 0+ ) ⎥ dt dt ⎣ ⎦
⎧原方程 ⎨ (k ) ⎩初始条件r (0 + )
零状态响应 rzs ( t ) 的定解条件是：
⎧原方程 ⎨ (k ) (k ) ） ⎩零状态响应的初始条件rzs (0 + ) （即：跳变量rzs (0 + )
由此可见，零状态响应的函数形式与完全响应的函数形式相同。 零输入响应 rzi ( t ) 的定解条件是：