2019年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷 解析版

2019年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）1．（3分）8的立方根等于（）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．（a3）2＝a5B．a6÷a2＝a3C．a3•a2＝a6D．a3+a3＝2a3 3．（3分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）
A．主视图
C．俯视图
B．左视图
D．主视图和左视图
4．（3分）如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线
a、b于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（）
A．115°B．80°C．65°D．50°
5．（3分）郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：
成绩（单位：米）
人数
2.10
2
2.20
3
2.25
2
2.30
4
2.35
5
2.40
2
2.45
1
2.50
1则下列叙述正确的是（）
A．这些运动员成绩的众数是5
B．这些运动员成绩的中位数是2.30
C．这些运动员的平均成绩是2.25
（ 1
D ．这些运动员成绩的方差是 0.0725
6．（3 分）下列数中与
A ．2
B ．3 最接近的是（ ）
C ．π
D ．4
7． 3 分）如图，⊙O 的半径 OD ⊥弦 AB 于点 C ，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E ，连结 EC ．若
AB ＝8，OC ＝3，则 EC 的长为（
）
A ．
B ．8
C ．
D ．
8．（3 分）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，
全程 55 千米．通车前需走水陆两路共约 170 千米，通车后，约减少时间3 小时，平均速
度是原来的 2.5 倍，如果设原来通车前的平均时速为 x 千米/小时，则可列方程为（
）
A ．
C ．
B ．
D ．
9．（3 分）在同一直角坐标系中，一次函数 y ＝ax ﹣b 和二次函数 y ＝﹣ax 2﹣b 的大致图象
是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（3 分）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形 OBA ，∠OBA ＝90°，斜边 OA
在 x 轴正半轴上，且 OA ＝2，将 △Rt
OBA 绕原点 O 顺时针旋转 90°，同时扩大边长的 1
倍，得到等腰直角三角形 OB 1A （即 A 1O ＝2AO ）．同理，将 △Rt OB 1A 1 逆时针旋转 90°，
同时扩大边长 1 倍，得到等腰直角三角形 OB 2A 2……依此规律，得到等腰直角三角形
OB 2019A 2019，则点 B 2019 的坐标为（
）
B
A ．（﹣22019，22019）
C ．（﹣22018，22018）
B ．（22019，﹣22019）
D ．（22018，﹣22018）
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）关于 x 的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集
为
．
12．（3 分）抛物线 y ＝﹣2（x +1）2+3 的顶点坐标是
．
13．
（3 分）如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点上，
则∠BED 的余弦值等于
．
14．（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，BE ⊥AC ，AC ＝24，BE ＝5，AD ＝8，则两平
行线 AD 与 BC 间的距离是
．
15．（3 分）若 a ﹣ ＝
，则 a 2+ 值为 ．
16．（3 分）如图，在菱形 A BCD 中，AB ＝BD ，点 E 、F 分别是线段 AB 、AD 上的动点（不
与端点重合），且 AE ＝DF ，BF 与 DE 相交于点 G ．给出如下几个结论：△①
AED ≌△
DFB ；②∠BGE 大小会发生变化；③CG 平分∠BGD ；④若 AF ＝2DF ，BG ＝6GF ；⑤S
四边形CDG
＝
．其中正确的结论有
（填序号）．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）解一元一次方程：．
18．（9分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC ＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC．
19．（10分）已知
（1）化简T；
（2）若x为△ABC的面积，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，求T的值．20．（10分）随着中国传统节日“端午节”的临近，永旺超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需230元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
21．（12分）随着信息技术的快速发展，人们购物的付款方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组为了解人们最喜欢的付款方式设计了一份调查问卷，要求被调查者选且只选其中一种你最喜欢的付款方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心
角的度数为；
（2）补全条形统计图；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
22．（12分）已知直线与直线y2＝kx+b关于原点O对称，若反比例函数的图象与直线y2＝kx+b交于A、B两点，点A横坐标为1，点B纵坐标为．
（1）求k，b的值；
（2）结合图象，当时，求自变量x的取值范围．
23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；
（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且A D＝AB，连接OD 交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）条件下，
①求证：OD∥BC；
②连接BD交⊙O于点F，求证：DE•OD＝DF•BD．
24．（14分）抛物线L：y＝+b x+c经过点A（0，﹣1），与它的对称轴直线x＝2交于点B．
（1）求出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣2k﹣5（k＞0）与抛物线L交于点M、△N．若BMN 的面积等于3，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向下平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．点F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
25．（14分）如图1，已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为平行四边形，且AC＝BC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP且∠APB＝90°．
（1）求证：∠P AC＝∠PBC；
（2）如图2，点E在线段BP上，点F在线段AP上，且AF＝BE，∠AEF＝45°，求EF2+2AE2的值；
（3）在（2）的条件下，当PE＝BE时，求点P的坐标．
2019年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）1．（3分）8的立方根等于（）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故选：B．
【点评】本题考查了对立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．2．（3分）下列计算正确的是（）
A．（a3）2＝a5B．a6÷a2＝a3C．a3•a2＝a6D．a3+a3＝2a3【分析】根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再得出选项即可．
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故本选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；
C、a3•a2＝a5，故本选项不符合题意；
D、a3+a3＝2a3，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
3．（3分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和左视图
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．
4．（3分）如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线
a、b于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（）
A．115°B．80°C．65°D．50°
【分析】首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数．
【解答】解：根据题意得：AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．
5．（3分）郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：
成绩（单位：米）
人数
2.10
2
2.20
3
2.25
2
2.30
4
2.35
5
2.40
2
2.45
1
2.50
1则下列叙述正确的是（）
（
A ．这些运动员成绩的众数是 5
B ．这些运动员成绩的中位数是 2.30
C ．这些运动员的平均成绩是 2.25
D ．这些运动员成绩的方差是 0.0725
【分析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，
即可得出答案．
【解答】解：A 、这些运动员成绩的众数是 2.35，错误；
B 、这些运动员成绩的中位数是 2.30，正确；
C 、这些运动员的平均成绩是 2.30，错误；
D 、这些运动员成绩的方差不是 0.0725，错误；
故选：B ．
【点评】此题考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的
关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大
到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一
组数据波动大小的量．
6．（3 分）下列数中与
A ．2
B ．3 最接近的是（ ）
C ．π
D ．4
【分析】估算确定出结果即可．
【解答】解：∵16＜19＜20.25，
∴4＜
则与
＜4.5，即 3＜ ﹣1＜3.5，
﹣1 最接近的是 3，
故选：B ．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
7． 3 分
）如图，⊙O 的半径 OD ⊥弦 AB 于点 C ，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E ，连结 EC ．若
AB ＝8，OC ＝3，则 EC 的长为（ ）
A．B．8C．D．
【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．
【解答】解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
＝4，
在△Rt CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．
8．（3分）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，则可列方程为（）A．
C．
B．
D．
【分析】设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出方程．
【解答】解：设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x
千米/小时，
依题意得：
故选：A．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图
象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝ax2+b的图象应
该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点
的纵坐标大于零，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．10．（3分）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA，∠OBA＝90°，斜边OA 在x轴正半轴上，且OA＝2，将△Rt OBA绕原点O顺时针旋转90°，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形OB1A（即A1O＝2AO）．同理，将△Rt OB1A1逆时针旋转90°，
1
同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形OB2A2……依此规律，得到等腰直角三角形OB2019A2019，则点B2019的坐标为（）
A．（﹣22019，22019）
C．（﹣22018，22018）
B．（22019，﹣22019）
D．（22018，﹣22018）
【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2019的坐标位置，进而得出答案．【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝1，
∴AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
将△Rt AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将△Rt A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，﹣4），B3（﹣8，8），B4（16，16），∵2017÷4＝503…1，
∴点B2017与B1同在一个象限内，
∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，
∴点B2019（22019，﹣22019）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为﹣
“1≤x＜2．
【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是实心圆，表示x⩾﹣1；
从2出发向左画出的线且2处是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．
所以这个不等式组的解集是﹣1⩽x＜2．
【点评】本题考查了不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，⩾向右画；＜，⩽向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；＜”，“＞”要用空心圆点表示．
12．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3）．【分析】根据顶点式的二次函数解析式，可得二次函数的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．13．（3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的余弦值等于．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°．
在直角△ABC中，由勾股定理求得：AC＝＝．
∴cos∠DAB＝cos∠CAB＝
∵∠DAB＝∠DEB，
∴cos∠DAB＝cos∠DEB＝
故答案是：．
＝．
．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数中余弦的定义，解题的关键是找到与∠AED相等的角．解决此类型题目时，需细心观察图形，在直角三角形中找到与所求角相等的角．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是15．
【分析】根据平行四边形的性质可证出△ADC≌△CBA，然后可得S
过B作BF⊥AD，利用面积可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
平行四边形ABCD
＝120，
在△ADC和△CBA中
∴△ADC≌△CBA（SSS），
∵AC＝24，BE＝5，
，
∴△S ACB＝×24×5＝60，
∴△S ADC
＝60
，
∴S
平行四边形ABCD
＝120，
过B作BF⊥AD，
∵AD＝8，
∴8BF＝120，
解得：BF＝15．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式：底×高，平行四边形对边相等．
15．（3分）若a﹣＝，则a2+值为8．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵a﹣＝
∴（a﹣）2＝6
∴a2﹣2+∴a2+
＝6＝8
故答案为：8
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
16．（3分）如图，在菱形A BCD中，AB＝BD，点E、F分别是线段AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE＝DF，BF与DE相交于点G．给出如下几个结论：△①AED≌△DFB；②∠BGE大小会发生变化；③CG平分∠BGD；④若AF＝2DF，BG＝6GF；⑤S
四边形BCDG
＝．其中正确的结论有①③④（填序号）．
【分析】根据菱形的性质得到AB＝△AD，推出ABD为等边三角形，得到∠A＝∠BDF＝△60°，根据全等三角形的判定得到AED≌△DFB；过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD
C D G
于 N （如图 1），根据全等三角形的性质得到CN ＝CM ，根据角平分线的定义得到 C G 平
分∠BGD ；过点 F 作 FP ∥AE 交 DE 于 P 点（如图 2），根据平行线分线段成比例定理
得到 BG ＝6GF ；推出 B 、 、 、 四点共圆，根据圆周角定理得到∠BGC ＝∠BDC ＝60°，
∠DGC ＝∠DBC ＝60°，求得∠BGC ＝∠DGC ＝60°，过点 C 作 CM ⊥GB 于 M ，CN ⊥
GD 于 N （如图 1），推出 S
四边形 BCDG
＝S 四边形 CMGN ，于是得到 S 四边形 CMGN ＝2△S CMG ＝2
× ×CG ×
CG ＝
CG 2．
【解答】解：①∵ABCD 为菱形，
∴AB ＝AD ，
∵AB ＝△BD ，∴ ABD 为等边三角形，
∴∠A ＝∠BDF ＝60°，
又∵AE ＝DF ，AD ＝BD ，
∴△AED ≌△DFB （SAS ），故本选项正确；
②∵∠BGE ＝∠BDG +∠DBF ＝∠BDG +∠GDF ＝60°，为定值，
故本选项错误；
③过点 C 作 CM ⊥GB 于 M ，CN ⊥GD 于 N （如图 1）
，
则△CBM ≌△CDN （AAS ），
∴CN ＝CM ，
∵CG ＝CG ，
∴△Rt CNG ≌△Rt CMG （HL ），
∴∠DGC ＝∠BGC ，
∴CG 平分∠BGD ；故本选项正确；
④过点 F 作 FP ∥AE 交 DE 于 P 点（如图 2）
，
∵AF ＝2FD ，
∴FP ：AE ＝DF ：DA ＝1：3，
∵AE ＝DF ，AB ＝AD ，
∴BE ＝2AE ，
∴FP ：BE ＝FP ：2AE ＝1：6，
∵FP ∥AE ，
∴PF ∥BE ，
∴FG ：BG ＝FP ：BE ＝1：6，
即 BG ＝6GF ，故本选项正确；
⑤∵∠BGE ＝∠BDG +∠DBF ＝∠BDG +∠GDF ＝60°＝∠BCD ，
即∠BGD +∠BCD ＝180°，
∴点 B 、C 、D 、G 四点共圆，
∴∠BGC ＝∠BDC ＝60°，∠DGC ＝∠DBC ＝60°，
∴∠BGC ＝∠DGC ＝60°，
过点 C 作 CM ⊥GB 于 M ，CN ⊥GD 于 N （如图 1），
则△CBM ≌△CDN （AAS ），
∴S 四边形 BCDG ＝S 四边形 CMGN ， S 四边形 CMGN ＝2 △
S CMG ，
∵∠CGM ＝60°，
∴GM ＝ CG ，CM ＝ CG ，
∴S 四边形 CMGN ＝2 △
S CMG ＝ 2× ×CG × CG ＝ CG 2，故本选项错误；
综上所述，正确的结论有①③⑤，共 3 个，
故答案为①③④．
【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造出全等三角形，学会把不规则图形的面积转化为两个全等三角形的面积解决问题．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）解一元一次方程：．
【分析】依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解答】解：方程两边同时乘以6得：3x﹣2（2x﹣1）＝6，
去括号得：3x﹣4x+2＝6，
移项得：3x﹣4x＝6﹣2，
合并同类项得：﹣x＝4，
系数化为1得：x＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．18．（9分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC ＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC．
【分析】通过等量代换得到∠B＝∠DEC，证明△ABC≌△DEC（AAS），三角形全等对应边相等即可证明：
【解答】证明：∵∠B+∠AEC＝180°
∠CED+∠AEC＝180°
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEC中，
∠B＝∠DEC，∠BAC＝∠D，BC＝CE，
∴△ABC≌△DEC（AAS）
∴AC＝DC；
【点评】本题考查三角形全等的证明；掌握三角形全等的证明方法是解题的关键．19．（10分）已知
（1）化简T；
（2）若x为△ABC的面积，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，求T的值．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）根据直角三角形的性质求出x的值，代入计算可得．
【解答】解（1）＝，
＝
＝2x﹣3；
（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴，
∴AC＝，
∴，
当时，．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及直角三角形的性质．
20．（10分）随着中国传统节日“端午节”的临近，永旺超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需230元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需230元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数＝甲品牌粽子节省的钱数+乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数．
【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：
解得：
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）＝3120（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
21．（12分）随着信息技术的快速发展，人们购物的付款方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组为了解人们最喜欢的付款方式设计了一份调查问卷，要求被调查者选且只选其中一种你最喜欢的付款方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）这次活动共调查了200人；在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心角的度数为90°；
（2）补全条形统计图；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
【分析】（1）用选用“微信”、“支付宝”、“银行卡”的人数总和除以它们所占的百分比得到调查的总人数；用选用支付宝的人数的百分比乘以360度得到在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心角的度数；
（2）分别计算出选用微信、银行卡的人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一种付款方式的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）（50+45+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200，
所以这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数＝360°×＝90°；
故答案为200；90°；
（2）如图，使用微信支付的人数：200×30%＝60（人）使用银行卡支付的人数：200×15%＝30（人），
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一种付款方式的结果数为3，
所以两人恰好选择同一种付款方式的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22．（12分）已知直线与直线y2＝kx+b关于原点O对称，若反比例函数的图象与直线y2＝kx+b交于A、B两点，点A横坐标为1，点B纵坐标为．
（1）求k，b的值；
（2）结合图象，当时，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据题意求出直线与两坐标轴的交点坐标，再根据直线与直线y2＝kx+b关于原点O对称，运用待定系数法解答即可；
（2）把点A的横坐标代入直线上，求出点A的坐标；把B点的纵坐标代入直线上，求出点B的坐标，根据经过点A、B，且图象关于原点成中心对称，判断必经过A、B两点，根据交点坐标判断即可求自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵
∴当x＝0，解得，
∴当y＝0，解得x＝﹣5
，
∴∵与两坐标轴的交点为：
与y2＝kx+b关于原点对称，
，（﹣5，0），
∴y2＝kx+b经过点：，（5，0），∴得到方程组：，
解得：；
（2）∵点A、B在直线
∴把x＝1代入上式解得y＝﹣2
∴A（1，﹣2）
上
∴把
∴
代入上式解得x＝4
，
∵经过点A、B，且图象关于原点成中心对称，
∴必经过点（﹣1，2）、
且（﹣1，2）、两点即为与两个交点，
∴结合图象，当y＜y1时，x的取值范围的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或x＞0．
【点评】本题考查了双曲线与直线的交点问题，考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、考查了数形结合以及分类讨论的思想，是一道好题．
23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；
（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且A D＝AB，连接OD 交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）条件下，
①求证：OD∥BC；
②连接BD交⊙O于点F，求证：DE•OD＝DF•BD．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法作出AD⊥OA，进而得出答案；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）作图所示，
（2）∵AB为⊙O直径，且点C在⊙O上
∴∠C＝90°
∵tan∠ABC＝2
设BC＝a，
则AC＝2a，AB＝，
∴，
∵AD⊥AB
∴在△Rt OAD中，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC
∴∠AOD＝∠ABC
∴OD∥BC；
②连接AF
∵OD∥BC，
且∠C＝90°
∴∠AED＝90°
∵∠ADO＝∠ADE
∴△ADO∽△ADE，
∴即AD2＝DO•DE，
∵AB为⊙O直径，且点F在⊙O上即∠AFB＝90°，∵∠BAD＝90°且∠ADB＝∠ADF
∴△ABD∽△AFD，
∴即AD2＝BD•DF，
即 DO •DE ＝BD •DF ．
【点评】此题考查圆的综合题，关键是根据基本作图以及相似三角形的判定和性质解答．
24．（14 分）抛物线 L ：y ＝
+b x +c 经过点 A （0，﹣1），与它的对称轴直线 x ＝2 交于
点 B ．
（1）求出抛物线 L 的解析式；
（2）如图 1，过定点的直线 y ＝kx ﹣2k ﹣5（k ＞0）与抛物线 L 交于点 M 、△N ．若
BMN
的面积等于 3，求 k 的值；
（3）如图 2，将抛物线 L 向下平移 m （m ＞0）个单位长度得到抛物线 L 1，抛物线 L 1 与
y 轴交于点 C ，过点 C 作 y 轴的垂线交抛物线 L 1 于另一点 D ．点 F 为抛物线 L 1 的对称轴 与 x 轴的交点，P 为线段 OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点 P 恰
有 2 个，求 m 的值及相应点 P 的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为直线 x ＝2 且抛物线过点 A （0，﹣1）求解可得；
（2）根据直线 y ＝kx ﹣k +4＝k （x ﹣1）+4 知直线所过定点 G 坐标为（1，4），从而得出
BG ＝2，由 △S BNG ﹣S
△BMG
＝ BG •（x 2﹣2）﹣ BG •（x 1﹣2）＝ BG •（x 2﹣x 1）＝ ×
2×（x 2﹣x 1）＝3 得出 x 2﹣x 1＝3，联立直线和抛物线解析式求得 x 的值，根据 x 2﹣x 1＝3
列出关于 k 的方程，解之可得；
（3）设抛物线 L 1 的解析式为 y ＝﹣x 2+2x +1+m ，知 C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，
0），再设 P （0，△t ），分 PCD ∽△POF 和△PCD ∽△POF 两种情况，由对应边成比例 得出关于 t 与 m 的方程，利用符合条件的点 P 恰有 2 个，结合方程的解的情况求解可得．
【解答】解：（1）∵抛物线过点 A （0，﹣1）、对称轴为 x ＝2，
∴ ，
解得．
∴抛物线L的解析式为．
（2）如图1，设点M、N的横坐标分别为x1、x2，
延长直线NM交对称轴于点G，
∵直线NM：y＝kx﹣2k﹣5（k＞0）
∴y＝kx﹣2k﹣5＝k（x﹣2）﹣5．即直线MN所过定点G（2，﹣5）．∵
∴B（2，﹣3）．
∴BG＝2．
．
∵△S BMN ＝△S BNG﹣
S△
BMG
＝BG•（x2﹣2）﹣BG•（x1﹣2）＝BG•（x2﹣x1）＝×
2×（x2﹣x1）＝3．
∴x2﹣x1＝3．
联立方程组，得：x2﹣（2k+4）x+4k+8＝0
解得
∴x2﹣x1＝2
，＝3
解得
∵k＞0
∴．
设抛物线L1的解析式为，m＞0．
∴C（0，﹣1﹣m）、D（4，﹣1﹣m）、F（2，0），
首先，如图2，∠OPF＝∠CPD总是存在的，且．
∴．
因此∠OPF与∠CPD互余只能存在一种情况，即线段OC上只存在一个点P，使得∠DPF ＝90°．
m
方法一：
以 DF 为直径的圆与 y 轴相切，如图 3
设 DF 中点为点 H ，则 H （3， 故 DF ＝6．
得到：（4﹣2）2+（1+m ）2＝62，
），
解得
∵m ＞0，
．
∴
．
方法二：
已知 OC ＝1+m ，设 OP ＝n ，那么 CP ＝1+m ﹣n ．
由 ，得
，整理得 n 2﹣（m +1）n +8＝△0 ＝（+1）2﹣4×8＝0，
解得
∵m ＞0，
．
∴
．
所以当
此时 OC ＝
时，恰有 2 个点 P 符合△PCD 与△POF 相似，
．
①当∠OPF ＝∠CPD 时，
②当∠OPF 与∠CPD 互余时，
＝ ，所以 P （0，
，解得 ）；
，所以 P （0， ）．。