《角平分线的性质》 教案精品 2022年数学

12．3 角的平分线的性质

第1课时 角平分线的性质

1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)

一、情境导入

问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线的作法

如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于1

2EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD

于点M .假设∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．

解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．

解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝1

2

∠CAB ＝30°.

方法总结：通过此题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．

探究点二：角平分线的性质

【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等

如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，

BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .

解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝

DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得

到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．

证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在Rt △DCF 和Rt △

DEB 中，∵⎩

⎪⎨⎪⎧DF ＝BD ，

DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EDB (HL)．∴CF ＝EB ；

(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪

⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，

∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB . 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段〞相等．

【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用

如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，那

么AC 的长是( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC

＝12×4×2＋1

2

AC ×2＝7，解得AC ＝3.应选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合

如下图，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为

E ，

F .求证：CE ＝CF .

解析：由角平分线的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL 〞证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，

∵⎩

⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．

三、板书设计

角平分线的性质

1．角平分线的作法； 2．角平分线的性质； 3．角平分线性质的应用．

本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，到达了教学的目的．缺乏之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强稳固和训练．

第3课时 多项式

1．理解多项式的概念；(重点)

2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数； 3．能正确区分单项式和多项式．(重点)

一、情境导入 列代数式：

(1)长方形的长与宽分别为a 、b ，那么长方形的周长是________； (2)图中阴影局部的面积为________；

(3)某班有男生x 人，女生21人，那么这个班的学生一共有________人． 观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？假设不是，它又是什么代数式？ 二、合作探究

探究点一：多项式的相关概念

【类型一】 单项式、多项式与整式的识别

指出以下各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x 2

＋y 2

，－x ，

a ＋b

3

，

10，6xy ＋1，1x ，17m 2n ，2x 2－x －5，2x 2＋x

，a 7

.

解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断． 解：

2x 2

＋x ，1

x

的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式． 单项式有：－x ，10，17m 2n ，a 7

；

多项式有：x 2

＋y 2

，

a ＋b

3

，6xy ＋1，2x 2

－x －5；

整式有：x 2

＋y 2，－x ，

a ＋b

3，10，6xy ＋1，17

m 2n ，2x 2－x －5，a 7

. 方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．

【类型二】 确定多项式的项数和次数

写出以下各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式． (1)23x 2

－3x ＋5； (2)a ＋b ＋c －d ；