江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学试题(文科)与答案

江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考
数学（文）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1．已知集合{}1log |A 2<=x x ，
{}032|B 2
<--=x x x ，则A B =（ ） A ． ()2，
∞- B ．()20， C ．()21，- D ．()3，∞- 2．若2021
21i
i z +-=，则||=z （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2
3．设{}n a 是等差数列，且1321=++a a a ，2432=++a a a ，则=++876a a a （ ）
A ．5
B ．6
C ．16
D ．32
4．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（ ） A ．
101 B ．2
5 C ．53 D ．10
9
5．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A ．得分在[40,60)之间的共有40人
B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分
在[60,80)的概率为0.5
C ．这100名参赛者得分的中位数为65
D ．可求得005.0=a
6．已知圆C ：2260x y x +-=，过点P （6，4）向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（ ）
A ．
257 B ．2524 C ． 257- D ．25
24
- 7．已知函数()x x x f 2cos 32sin -=，则下列说法正确的是（ ）
A.()x f 的最大值是1+3
B.()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛20π，上是递增的
C.⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛+x f x f 125125ππ D.()x f 向右平移6π后为奇函数
8．设53ln 52=
a ，52ln 53=
b ，5
3
ln 53=c ，则c b a ，，的大小关系是（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 9．执行右边的程序框图，则输出的n =（ ）
A ．87
B ．89
C ．91
D ．93
10．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的。

其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高。

已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（ ）
A ．21尺
B ．25尺
C ．29尺
D ．33尺
11．已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为21e e ，，且
满足125e e =
，21F F ，是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，
若︒
=∠120PF F 21，则双曲线2C 的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．
22
3
12．菱形ABCD 中，2A B =，
︒
=∠120DAB ，将△CBD 沿BD 折起，C 点变为E 点，当四面体E -ABD 的体积最大时，四面体E -ABD 的外接球的面积为（ ）
A.π20
B.π40
C.π60
D.π80 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪+≥⎩
则z =x +y 的最小值为 .
14．单调递增的等比数列{}n a 满足14321=++a a a ，64321=⋅a a a ，令n n a b 2log =，则⎭
⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⋅+11n n b b
的前10项和为_______
15．在△ABC 中，O 为中线AM 上的中点，若AM=2，则()
OC OB OA +⋅等于____。

16．已知()()x
x e e x x x f ---++--=113
221，其中e 是自然对数的底数，若()()01ln <++a f a f ，
则实数a 的取值范围是__________
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（12分）高三学生小明这段时间比较焦虑,下表记录了小明高三阶段前5次模拟考试的数学成绩:
第x 次考试 1 2 3 4 5 数学成绩y
110
115
110
125
140
（1）由散点图可以推断小明的数学成绩y 与第x 次考试线性相关,请预测小明在第6次考试（高考）的数学成绩大约为多少分？
（2）为取得更好的成绩，他现在准备突破导数问题，现假定他在训练某道解答题时发现有两种方法可以求解；第一种方法需要3个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为0.9，第二种方法需要2个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为0.85，若以最终解题正确的概率高低为决策依据，小明在解该道导数题时应选择哪种方法？
()()()
x b y a x
n x
y
x n y x x x y
y
x x b n
i i
i
i n
i i
i
i
-=--=
---=
∑∑∑∑====,1
2
2
n
1i 1
2
n
1
i 参考公式：
18．（12分）锐角ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=2. （1）若3S ABC =
△，2AC AB =⋅，求B ∠；
（2）若B=2A ，求b 的取值范围.
19．（12分）如图，在四棱锥P ——ABCD 中，底面ABCD 为矩
形，平面PAD 与平面PDC 均与底面ABCD 垂直，E 为BC 的中点，若22CD 2BC ==
，PE=3.
（1）求证：面PAE ⊥面PDB ； （2）求点C 与平面PAE 的距离。

20．（12分）已知函数()x x a
x x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
232
31ln 31。

（1）若1=a ，求()x f 在1=x 处的切线方程； （2）若()x f 有2个极值点，求实数a 的取值范围。

21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()10A ，，点B 在直线1-=y 上，点M 满足OA //MB ，
BA MB AB MA ⋅=⋅.点M 的轨迹为曲线C 。

(1) 求曲线C 的方程；
(2) 点P 在曲线C 上，且横坐标为2，问：是否在曲线C 上存在D ，E 两点，使得△DPE 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，说明△DPE 的个数；若不存在，说明理由。

选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x k
k
sin cos 2(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为012sin 3cos 2=--θρθρ． （1）当2=k 时，求出1C 的普通方程，并说明该曲线的图形形状。

（2）当1=k 时，P 是曲线1C 上一点，Q 是曲线2C 上一点，求PQ 的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数()|2|||2-+=x x x f ． （1）求不等式()4<x f 的解集；
（2）记()x f 的最小值为M ，c b a ，，为正实数且M 3=++c b a ，求证：6222≥++c
a b c a b ．
江西省重点中学协作体
2021届高三第一次联考数学（文）试卷参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A 9．B 10．C 11．C 12．A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1- 14．
1110 15．
2- 16．()10，
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．
解：（1）3=x ，120=y ，-------------------------------------------2分
()()()()()()()7104055202101220251100511022
2222=+++=+++-+-⨯+⨯+-⨯+-⨯-+-⨯-=
b ，
9937120=⨯-=a ,则线性回归方程为997+=x y -----------5分
当x=6时，1419967=+⨯=y ，预测第6次的数学成绩约为141分。

--6分 （2）729.09.09.09.01=⨯⨯=p ，---------------------------------8分
7225.085.085.02=⨯=p ，---------------------------------10分
因为12p p <，所以选择第一种方法。

--------------------------12分
()()()
x b y a x
n x
y
x n y x x x y
y
x x b n
i i
i
i n
i i
i
i
-=--=
---=
∑∑∑∑====,1
2
2
n
1i 1
2
n
1
i 参考公式：
18．（12分） 解：（1）依题意得
3sin 21=A bc ，2cos =A bc ，可得3tan =A ，3
A π
=，由余弦定理得A bc c b cos 2422-+=，得822=+c b ，而4=bc ，解得2==c b ，故△ABC 为等边三角形，
3
B π
=
∠；----------------------------------------------------------------------6分
（2）依题意，由正弦定理得A
A b
A b
B b A a cos sin 22sin sin sin ===，则A b cos 4=；由于是锐角三角形，则，，，2
3-C 02
2B 02
0π
ππ
π
<
=<<
=<<
<A A A ，得
4
6
π
π
<
<A ，则b 的取值范围为
()
3222
，。

----------------------------------------------------------12分
19．（12分）
（1）证：平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PDC ⊥底面ABCD ，则交线
PD
⊥
底面ABCD ，则PD
⊥
AE ，
--------------------------------------------------------2分 底面ABCD 为矩形，22CD 2BC ==
，则
BC
CD
AB BE =，DB C B AE ∠=∠，则BD ⊥AE ，则AE ⊥面PBD ，
------------------------------------------------------------------------4分
AE ⊂面PAE ，则面PAE ⊥面PDB ；--------------------------------------------------6分 （2）设C 点到面PAE 的距离为d ，由2CE =
，2CD =，故6ED =，又PE=3，则3PD =，
363222131V AEC -P =
⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯⨯=，---------------------------------8分 记AE 与BD 的交点为M ，则PM 为△PAE 的高，BD=32，MD=
334，则PM=3
3
5，d 62
5d 33562131V PAE
-C =⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=--------------------------------------10分 因为PAE -C AEC -P V V =，求得5
3
2=d 。

------------------------------12分 22．（12分）
解：（1）依题意得，()x x x x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
232131ln 31，()18
7121911=+--=f ，()1ln 131ln 3312
22'+-=+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x f ，()01'==f k ，则切线方程为187=y ---------------------------------------------------------------------4分 （2）()x f 有2个极值点，则()()1ln 13
1ln 33
12222'
+-=+--+=ax x x ax x x x x x f
有2个零点
（且左右异号），则x
x x a 1
ln +
=在0>x 上有2解，-------------------6分 令()01ln F >+=x x x x x ，，则()011ln F 2'
>-+=x x
x x ，，-----------------8分
可知()x '
F 在0>x 上单调递增，()01F '
=，则当1>x 时，()0F '
>x ，当10<<x 时，()0F '
<x ，
故()x F 在()1,0上单调递减，在()∞+，
1上单调递增，--------------------10分 故最小值为()11F =，则1>a 。

--------------------------------------------------12分
23．（12分）
解：因为MA ⋅=，所以()()()
0=-⋅+=⋅+则
||||=，
即M 到A 点的距离等于M 到直线1-=y 的距离，故M 是以A 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线，方程为y x 42
=。

----------------------------------4分
（2）可知()1,2P ，设()11D y x ，，()22E y x ，，直线PD 的斜率为k ，则直线PE 的斜率为k
1
-
，则()21-=-x k y l PD ：，联立抛物线方程y x 42=，消y
可得04842
=-+-k kx x ，则有241-=k x ，
()14414421+-=+-=k k k k y ，同理可得
242--
=k x ，14
422++=k k
y ，由PD=PE ，可得 ()()
2
222
22
441444444⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+-k k k k k k ，
整理得(
)()
2
22
2
4411441⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+k k k k
，即()2
2
2111⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-k k k ，则有()()）（）或（21111
111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-k k k k k k ， 将k
k 1
-
→后，（1）即为（2）所以分析（1）即可。

-----------------------------10分 （1）()12
3
---=k k k k f 令，()()()1131232
'
-+=--=k k k k k f ，当3
1
1-
<>k k 或时，()0
'>k f ，
当
13
1
<<-
k 时，
()0
'<k f ，故极大值
为
131912711313131312
3
<-+-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，极小值为
()031111123<-=---=f ，故()123---=k k k k f 只有1个零点。

综上有1个△PDE ，是以P 为直角顶点的等腰直角三角形。

------------------12分 解法2：设点()()2211E D y x y x ，，，，则中点⎪⎭
⎫
⎝⎛++22Q 2121y y x x ，，()
()164822
12212
221212
1-+-+=-+-+=x x x x x x y y k PQ
，4211212x x x x y y k DE +=--=，42422
E 1+=+=x k x k P PD ，，因为三角形是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，所以1E -=⋅P PD k k ，得()2022121-=++x x x x --（1）----------------------------8分
由1DE Q -=⋅k k P ，即()
21212
216482x x x x x x +=+-+，整理得()43222
12
2121++-+=x x x x x x ，代入（1）式有
()()20432
22
2
1212
21-=++-
+++x x x x x x --------（2），----------------------------------10
分 若021=+x x ，则DE//x 轴，此时PQ ⊥x 轴，不成立。

令()021≠+=t x x t ，
，则02432222=+-+t
t t ------（3）
，即()00644842
3≠=-++t t t t 。

令()644842
3
-++=t t t t g ，()4883'2
++=t t t g ，0<△，开口向上，所以()t g '恒大于0，则()t g 单调递增，又()01<g ，()02>g ，故()t g 只有一个零点，则方程（3）只有一解，即存在1个△DPE ，是以P 为直角顶点的等腰直角三角形。

-------------------12分
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
解：（1）当2=k 时，消t 得0,0,22≥≥=+y x y x ，-----------------------3分
是以A ()02A ，
，()10B ，为端点的线段。

----------------------------------5分 （2）当1=k 时，曲线1C 的的普通方程为椭圆：14
22=+y x ；曲线2C 的的普通方程为直线：
01232=--y x ；----------------------------------------------------------------------7分
可知直线与椭圆相离，则PQ 的最小值为P 到直线的距离最小值。

-------------------8分 则()()
13
sin 51213
|
12sin 5|13
|
12sin 3cos 4|ϕϕ--=
--=
--=
t t t t d ，当()1sin =-ϕt 时，有最小值
13
13
7。

-------------------------------------------------------------------------------------10分 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
解：（1）依题意得()⎪⎩
⎪
⎨⎧<-<≤+≥-=032202223x x x x x x x f ，，，
，------------------------------------------3分
由()4<x f ，解得⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<-
232|x x ；----------------------------------------------------5分
（2）由()⎪⎩
⎪
⎨⎧<-<≤+≥-=032202223x x x x x x x f ，，，
，可知()x f 的最小值为2，--------------------------7分
（3）因为6=++c b a ，则有b a a b 22≥+，c b b c 22≥+，a c c a 22
≥+，相加可得
126222≥+++c a b c a b ，所以62
22≥++c
a b c a b ---------------------------------------------9分 当且仅当2===c b a 时取等号.--------------------------------------------------------------10分。