高中数学专题强化训练含解析 (7)

一、选择题

1．函数f (x )＝1

2x 2－ln x 的最小值为( )

A 。1

2

B ．1

C ．0

D ．不存在

解析：选A 。因为f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1

x ,且x >0。

令f ′(x )>0,得x >1；令f ′(x )<0,得0

所以f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值,且f (1)＝12－ln1＝1

2。

2．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线,则实数a 的值为( )

A ．e －1

2

B ．2e －1

2

C ．e 1

2

D ．2e 12

解析：选B 。依题意,设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0,则有y ′|x ＝x 0

＝2

x 0,于是有

⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12

3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞,－26] B 。⎝

⎛⎦

⎤

－∞，

62 C ．[－26,＋∞)

D ．[－5,＋∞)

解析：选C 。由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3

x ≥0在(1,＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1,

＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，

g （1）≥0

⇔－26≤a ≤26或a ≥－4⇔a ≥－26。

4．若函数f (x )＝x ＋b

x (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点,则f (x )在下列区间上单调递增的是( )

A ．(－2,0)

B ．(0,1)

C ．(1,＋∞)

D ．(－∞,－2)

解析：选D 。由题意知,f ′(x )＝1－b

x

2,

因为函数f (x )＝x ＋b

x (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点,

令1－b

x 2＝0,得b ＝x 2,

又x ∈(1,2),所以b ∈(1,4)．

令f ′(x )>0,

解得x <－b 或x >b ,

即f (x )的单调递增区间为(－∞,－b ),(b ,＋∞)． 因为b ∈(1,4),

所以(－∞,－2)符合题意．

5．已知函数f (x )＝e x －1

2x 2－mx 有极值点,则实数m 的取值范围是( )

A ．m ≥1

B ．m >1

C ．0≤m ≤1

D ．0

解析：选B 。因为f (x )＝e x －12x 2－mx ,所以f ′(x )＝e x －x －m ,因为f (x )＝e x －1

2x 2－mx 有极值点,所以关于x

的方程e x －x －m ＝0有实根,且该实根使f ′(x )左右异号,设g (x )＝e x －x ,y ＝m ,而g ′(x )＝e x －1,所以当x <0时,g ′(x )<0；当x >0时,g ′(x )>0,所以函数g (x )＝e x －x 在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增,所以函数g (x )＝e x －x 的极小值点为0,所以g (0)＝1为g (x )＝e x －x 的最小值,所以实数m 的取值范围是m >1,故选B 。

6．已知f (x )＝ln x －x 4＋3

4x ,g (x )＝－x 2－2ax ＋4,若对任意的x 1∈(0,2],存在x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2)成立,

则a 的取值范围是( )

A 。⎣⎡⎭⎫54，＋∞

B 。⎣⎡⎭⎫－1

8，＋∞ C 。⎣⎡⎦

⎤－18，54 D 。⎝

⎛⎦⎤－∞，－54 解析：选A 。因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －3

4x 2

＝－（x －1）（x －3）4x 2, 易知,当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,当x ∈(1,2]时,f ′(x )>0, 所以f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增, 故f (x )min ＝f (1)＝1

2

。

对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4,易知该函数开口向下, 所以g (x )在区间[1,2]上的最小值在端点处取得, 即g (x )min ＝min{g (1),g (2)}．

要使对任意的x 1∈(0,2],存在x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2)成立,只需f (x 1)min ≥g (x 2)min , 即12≥g (1)且1

2

≥g (2), 所以12≥－1－2a ＋4且1

2≥－4－4a ＋4,

解得a ≥54。

二、填空题

7。⎠⎛1

e ⎝⎛⎭

⎫x ＋1

x d x ＝________．

解析：⎠

⎛1

e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝

⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12。

答案：e 2＋1

2

8．(高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2,则a ＝________。

解析：y ′＝(ax ＋1＋a )e x ,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2,得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x |x ＝0＝1＋a ＝－2,所以a ＝－3。

答案：－3

9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ln x ,g (x )＝x ＋a

x ,若函数f (x )与g (x )有相同的极值点,则实数a 的值为________．

解析：因为f (x )＝－x 2＋2ln x ,所以f ′(x )＝－2x ＋2

x ＝－2(x ＋1)(x －1)x (x >0),令f ′(x )＝0,得x ＝1或x ＝－1(舍

去),又当00；当x >1时,f ′(x )<0,所以x ＝1是函数f (x )的极值点．因为g (x )＝x ＋a

x ,所以g ′(x )

＝1－a x 2。又函数f (x )与g (x )＝x ＋a

x 有相同极值点,所以x ＝1也是函数g (x )的极值点,所以g ′(1)＝1－a ＝0,解

得a ＝1。经检验,当a ＝1时,函数g (x )取到极小值．

答案：1 三、解答题

10．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－4

3

处取得极值．

(1)确定a 的值；

(2)若g (x )＝f (x )e x ,讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x , 因为f (x )在x ＝－4

3处取得极值,

所以f ′⎝⎛⎭

⎫－4

3＝0, 即3a ×16

9＋2×⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0, 解得a ＝1

2

。

(2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x

, 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫1

2x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝1

2x (x ＋1)(x ＋4)e x , 令g ′(x )＝0,解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4。 当x <－4时,g ′(x )<0, 故g (x )为减函数；

当－40,故g (x )为增函数；