小学奥数专题巧解三阶幻方A
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赵老师教你学奥数
小学奥数专题
第一讲 三阶幻方
2 7 6 9 5 1 4 3 8
Fra Baidu bibliotek
一、三阶幻方的定义
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的 填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问 题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许 多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称 它为“洛书”。 洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要 求填上1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相 等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。 一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2 个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排 在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表 叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. .
二、三阶幻方的解法
杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排 列，上下、左右相更，四维挺出.” 添耳法解三阶幻方： 例：用1～9这九个数完成下图中的三阶幻方。
八个方向，故有八种填法
3 2 6 5 4 7
填数方向及移动方法
2 7 6
9
1
8
9 5 1 4 3 8
完成效果图
三、三阶幻方的规律
1
2
3
1 6 7
2 5 8
方案二
3 4 9
8
7
9 4 6 5
方案一
五、练习
1、在图1中3×3的阵列里，第一行第三列的 位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请 你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、 纵、斜三个方向的三个数之和为36。 3、写出一个三阶幻方，使其幻和为24
5 6
图1 2、将
1 1 1 1 2 3 1 5 7 ， ， ， ， ， ， ， ， 这九 2 3 4 6 3 4 12 12 12
1、幻和=中间数×3 2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2 M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2 3、A=（B+C）÷2 E=（B+D）÷2 F=（G+D）÷2 H=（C+G）÷2
A G E D M C H B F
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九 个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的 3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行， 两条对角线中三个数的和都相等。
4、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构造三阶幻方。
5、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、 39这九个数填入下图，构造反三阶幻方。
7、 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
4 5
图2
6、 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
8
8、 在图3的空格中填入不大于15且互不相同 的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个 数之和都等于30。
5 2
图1
图3
6
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小学奥数专题
第一讲 三阶幻方
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Fra Baidu bibliotek
一、三阶幻方的定义
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的 填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问 题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许 多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称 它为“洛书”。 洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要 求填上1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相 等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。 一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2 个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排 在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表 叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. .
二、三阶幻方的解法
杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排 列，上下、左右相更，四维挺出.” 添耳法解三阶幻方： 例：用1～9这九个数完成下图中的三阶幻方。
八个方向，故有八种填法
3 2 6 5 4 7
填数方向及移动方法
2 7 6
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完成效果图
三、三阶幻方的规律
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1 6 7
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方案二
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方案一
五、练习
1、在图1中3×3的阵列里，第一行第三列的 位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请 你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、 纵、斜三个方向的三个数之和为36。 3、写出一个三阶幻方，使其幻和为24
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图1 2、将
1 1 1 1 2 3 1 5 7 ， ， ， ， ， ， ， ， 这九 2 3 4 6 3 4 12 12 12
1、幻和=中间数×3 2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2 M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2 3、A=（B+C）÷2 E=（B+D）÷2 F=（G+D）÷2 H=（C+G）÷2
A G E D M C H B F
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九 个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的 3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行， 两条对角线中三个数的和都相等。
4、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构造三阶幻方。
5、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、 39这九个数填入下图，构造反三阶幻方。
7、 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
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图2
6、 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
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8、 在图3的空格中填入不大于15且互不相同 的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个 数之和都等于30。
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图1
图3
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