江西省宜春市奉新县第一中学高二数学上学期第二次月考试题理

奉新一中2018届高二上学期第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．使不等式20<<x 成立的充分不必要条件是（ ） A ．10<<x B ．13
1
<<-
x C ．21<<-x D ．20<<x 2．抛物线24x y =的准线方程是 （ ）
A ．1=x
B ．1-=x
C ．16
1=
y D ．16
1-
=y 3．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，
将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（下表为随机数表的前2行） 的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为 ( ) A.63 B.43 C.07 D.02 附随机数表：
4．命题p ：方程
13
52
2=+-m y m x －表示双曲线的充要条件是53<<-m ； 命题q ：存在R x ∈0，使得2cos sin 00=-x x ，则（ ） A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且q ”是真命题 C ．命题“非q ”是假命题
D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题
5．若椭圆22221x y a b
+=过抛物线28y x =的焦点， 且与双曲线22
1x y -=有相同的焦点，则该
椭圆的方程是（ ）
A ．22
13y x +
= B ．22124x y += C ．2
213x y += D ．22
142x y +=
6．已知双曲线1422=-x a y 的渐近线方程为x y 2
3
±=，则此双曲线
的离心率为（ ） A
．
2 B
．3
C
．3 D ．53
7．如图给出了计算60
16
14
12
1++++ 的值的程序框图， 其中 ①②分别是( )
A ．2,30+=<n n i
B ．2,30+=>n n i
C ．1,30+=<n n i
D ．1,30+=>n n i
8．给出下列几个命题：
①命题:p 任意R x ∈，都有1cos ≤x ，则p “非”：存在R x ∈0，使得1cos 0≤x ． ②命题“若2>a 且，则2>b 4>+b a 且4>ab ”的否命题为假命题．
③空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面．
④线性回归方程a bx y +=对应的直线一定经过其样本数据点),(11y x 、),(22y x 、…,),(n n y x 中 的一个．其中不正确．．．
的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
9.若直线2+=kx y 与双曲线62
2
=-y x 的左支交于不同的两点，则k 取值范围为（ ）
A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-315-，
B ．()11-，
C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3151，
D ．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛315315-， 10．已知动点)(y x P ,满足52)2()3(22
2
-+=++-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )
A ．圆
B ．椭圆 C.双曲线 D ．抛物线 11. 如图，在三棱柱111AB
C A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， 4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =， 111
3
C F CC =
，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ） A
12．点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足
PA
PB m =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A ．12+
B ．
21
2+ C ．15+ D ．2
15+ 二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13．已知p ：4<-a x ，q ：065-2
>-+x x ，且q 是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为________.
14．在][94，上随机取一个数r ，则事件“圆4)1()2(22=++-y x 与圆222)3()1(r y x =-++仅有两条公切
线”发生的概率为 .
15．已知点P 为抛物线x y 82
=上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为1d ，到直线0834=++y x 的距离
为2d ，则21d d +的最小值为 .
16．把离心率2
1
5+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．给出以下几个说法：
①双曲线11
522
2
=--y x 是黄金双曲线； ②若双曲线上一点),(y x P 到两条渐近线的距离积等于
c
a 3
， 则该双曲线是黄金双曲线； ③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，),0(),,0(21b B b B -且
21190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线； ④．若直线l 经过右焦点2F 交双曲线于N M ,两点， 且21F F MN ⊥，0
90=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确命题的序号为 .
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 17．已知圆C :0422
2
=--+y y x ,直线l :01=-+-m y mx ． （1）判断直线l 与圆C 的位置关系;
（2）若直线l 与圆C 交于不同两点A 、B , 且=AB 23, 求直线l 的方程．
18．已知空间中三点)(2,0,2-A ，)(2,1,1-B ，)(4,0,3-C ，设AB a =，AC b =. （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；
（2）若k +与k 2-互相垂直，求实数k 的值．
19．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏， 但可见部分如下，据此解答如下问题．
（1）求全班人数及分数在[)80,90之间的频数，并估计该班的平均分数；
（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少 有一份分数在[]90,100之间的概率．
20．已知抛物线x y -=2
与直线：l )1(+=x k y 相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点 .
（1）求⋅的值； （2）若OAB ∆的面积等于4
5
，求直线l 的方程.
21．如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，2=AD ,1=AB ,0
60=∠ABC ,
⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上,且FD PF 2=． （1）求证：//BE 平面ACF ；
（2）设异面直线BE 与CF 的夹角为θ,若11
5
cos =θ，求PA 的长．
22．已知椭圆C 的中心为坐标原点，其离心率为2
2
，椭圆C 的一个焦点和抛物线y x 42=的焦点重合．
（1）求椭圆C 的方程； （2）过点⎪⎭
⎫
⎝⎛-031S ，的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在平面上是否存在一个定点T ，使得
无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，说出点T 的坐标，若不存在，说明理由．
(所有答案写在答题卡上)
奉新一中2018届高二上学期第二次月考数学参考答案（理） 一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 61≤≤-a 14.
5
3
15.
5
16
16. ②③④ 三、解答题：(本大题6小题，共70分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．解：（1） 圆方程化为标准方程5)1(2
2
=-+y x ∴ 圆C 的圆心)1,0(C ，半径5
=
r
∴ 圆心)
1,0(C 到直线l ：01=-+-m y mx 的距离：
511
1
|
110|2
2
<<+=
+-+-=
m m m m d ∴ 直线l 与圆C 相交．
（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则2
2
)223(
)5(22=
-=d ， 又 1
||2+=m m d =
解得：1m =±，
∴ 所求直线为0x y -=或20x y +-=．
18．解：（1） )0,1,1(==AB a ， )2,0,1(-==AC b ， 设与的夹角为 θ ∴ 1010
10
1-cos -==
=
θ
（2） )2,,1(k k b a k -=+，)4,,2(2-+=-k k b a k 且)2()(b a k b a k -⊥+
∴ 08)2)(1(2=-++-k k k 即：2
5
-
=k 或 2=k 19. 解：（1）由茎叶图知，分数在[)50,60之间的频数为2，频率为0.008100.08⨯=，
全班人数为
2
250.08
=． 所以分数在[)80,90之间的频数为25271024----= 分数在[)50,60之间的总分为5658114+=；
分数在[)60,70之间的总分为6072335689456⨯+++++++=；
分数在[)70,80之间的总分数为70101233456789747⨯++++++++++=； 分数在[)80,90之间的总分约为854340⨯=； 分数在[90,100]之间的总分数为9598193+=； 所以，该班的平均分数为114456747340193
7425
++++=．
（2）将[)80,90之间的4个分数编号为1,2,3,4，[]90,100之间的2个分数编号为5,6， 在[]80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：
(
)1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6， (
)3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6共15个，
其中，至少有一个在[]90,100之间的基本事件有9个， ∴ 至少有一份分数在[]90,100之间的概率是
9
0.615
=．
20. 解:（1） 设(
)
12
1,y y A - ，(
)
22
2,y y B - 由题意可知：0≠k ∴ 1+-
=k
y x 联立x y -=2 得： 02
=-+k y ky 显然：0>∆ ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧
-=⋅-=+1
12121y y k y y
∴ 011()()(2
212
22
1＝）+-=⋅+-⋅-=∙y y y y OB OA
（2） 41
214)(2112122122121+=-+=-⋅⋅=
∆k
y y y y y y S OAB
∴
4
5
41212=
+k 解得：32±=k ∴ 直线l 的方程为：0232=++y x 或0232=+-y x
21. 解:（1）由1,2==AB AD ， 60=∠ABC 得3=AC ，AC AB ⊥． 又 ⊥PA 面ABCD ， ∴ 以AP AC AB ,,分别为 z y x ,,轴建立坐标系如图． 则),0,3,1(),0,3,0(),0,0,1(),0,0,0(-D C B A ……2分 设),0,0(c P ，),,(z y x F ，则)2
,23,
0(c
E ． 由2=得： ）z y x c z y x ----=-,3,1(2),,(． 解得：32-=x ，332=y ，3
c
z =，
所以)3
,332,32(c
F -． ……4分 ∴ )3,332,32(c -
=,)0,3,0(=AC ，)2
,23,1(c -=． 设面ACF 的法向量为),,(z y x n =
，则⎪⎩
⎪⎨⎧==++-00333232y z c
y x ， 取)2,0,(c n =
． ……7分
0=+-=⋅c c BE n
，且⊄BE 面ACF ， ∴//BE 平面ACF ． ……8分
（2） )2,23,
1(c -=，)3
,33,32c --=（，设与的夹角为θ ∴
115
7111
5cos 22=++==c c 得：θ
……11分
即：42
=c ， ∴2=c ， 所以2=PA ．
……12分
22．解：（1）抛物线焦点的坐标为()1,0，则椭圆C 的焦点在y 轴上.
设椭圆方程为()0122
22>>=+b a b
x a y
由题意可得1=c ，2=
a ，122=-=c a
b ，
∴ 椭圆方程为12
22
=+x y ……3分
（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是122=+y x ，
若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是9163122
=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+y x
由⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=+01916311
2
2
22y x y x y x 即两圆相切于点)0,1( ……5分 因此所求的点T 如果存在，只能是)0,1(，事实上，点)0,1(T 就是所求的点. ……6分 证明：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点)0,1(T ，若直线l 不垂直于x 轴，
可设直线l ：⎪⎭
⎫
⎝⎛
+
=31x k y 设点()11,A y x ，()22,B y x
(9)
分
又 ),1(11y x TA -= ,),1(22y x TB -= ,
∴ 2121)1()1(y y x x +-⋅-=∙)3
1)(31()1)(1(212
21+++--=x x k x x
)9
11))(13
1
()1(2212
212
k x x k x x k ++
+-++=（
)9
1
1(232)131(2291)1222
2222k k k k k k k +++--++-+=（0= ……11分
∴ ⊥ 即：TB TA ⊥, 故以AB 为直径的圆恒过点)0,1(T . 综上可知：在坐标平面上存在一个定点)0,1(T 满足条件. ……12分。