(北师八上) 1.1 勾股定理-知识讲解

勾股定理
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，
这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算； a b ，c 222a b c +=222a c b =-222b c a =-()2
22c a b ab =+
-
【典型例题】（基础）
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、．
（1）若＝5，＝12，求；
（2）若＝26，＝24，求．
【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，，＝5，＝12，
所以．所以＝13．
（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，，＝26，＝24，
所以．所以＝10． 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、．
（1）已知＝6，＝10，求；
（2）已知，＝32，求、．
【答案】
解：（1）∵ ∠C ＝90°，＝6，＝10，
∴ ，
∴ ＝8．
（2）设，，
∵ ∠C ＝90°，＝32，
∴ ．
即．
解得＝8．
∴ ，．
a b c a b c c b a 222a b c +=222a b c +=a b 2222251225144169c a b =+=+=+=c 222a b c +=c b 222222624676576100a c b =-=-=-=a a b c b c a :3:5a c =b a c b c 2222210664a c b =-=-=a 3a k =5c k =b 222
a b c +=222(3)32(5)k k +=k 33824a k ==⨯=55840c k ==⨯=
类型二、与勾股定理有关的证明
2、阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×，
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到，
整理，得，
所以．
【答案与解析】
证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S∵+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，
∵c2=4×ab+（b﹣a）2，
整理，得
2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∵c2=a2+b2．
故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．
【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2
【答案】连接AD构造直角三角形，得
，选A．
类型三、与勾股定理有关的线段长
3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折
痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D；
【解析】
解：设AB＝，则AF＝，
∵△ABE折叠后的图形为△AFE，
∴△ABE≌△AFE．BE＝EF，
EC＝BC－BE＝8－3＝5，
在Rt△EFC中，
由勾股定理解得FC＝4，
在Rt△ABC中，，解得．
【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．
类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）
A．6 B．5 C．11 D．16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积．
【答案】D
【解析】
解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC和△CDE中，∵
x x
()2
22
84
x x
+=+6
x=
∴△ABC ≌△CDE
∴BC=DE
∵
∴
∴b 的面积为5+11=16，故选D ．
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（ ）
A.25
B.31
C.32
D.40
【答案】解：如图，由题意得：
AB 2=S 1+S 2=13，
AC 2=S 3+S 4=18，
∵BC 2=AB 2+AC 2=31，
∵S=BC 2=31，
故选B ．
ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
222
AB BC AC +=222AB DE AC +
=
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．
【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【答案与解析】
解：设门高为x 尺，则竹竿长为（x +1）尺，
根据勾股定理可得：
x 2+42=（x +1）2，即x 2+16=x 2+2x +1，
解得：x=7.5，
竹竿高=7.5+1=8.5（尺）
答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．
【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，
∴ ．
∴ ()．
∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18()．
∴ 旗杆折断前的高度为18．
【典型例题】（提高）
类型一、与勾股定理有关的证明
1、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 延长线上的点，求证：
【答案与解析】
【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题．
m m m m 22222512169AB BC AC =+=+=13AB =m m m
类型二、与勾股定理有关的线段长
2、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．
【答案与解析】
解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．
举一反三：
【变式】如图，∵C=30°，PA ∵OA 于A ，PB ∵OB 于B ，PA=2，PB=11，求OP 的长．
【答案】
解：∵PA ∵OA ，∵C=30°，
∵PC=2PA=4，
∵BC=BP+PC=11+4=15，
∵PB ∵OB ，∵C=30°，
设OB=x ，则OC=2x ，
在Rt △BOC 中，由勾股定理得：
x +15=（2x ），
解得，
x=5，
即OB=5，
∵OP===14． 类型三、与勾股定理有关的面积计算
3、问题背景：
在∵ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．
小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点∵ABC （即∵ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出∵ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你直接写出∵ABC 的面积 ；
思维拓展：
（2）如果∵MNP 三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点∵MNP ，并直接写出∵MNP 的面积．
【思路点拨】（1）根据图形得出S △ABC =S 矩形MONC ﹣S △CMA ﹣S △AOB ﹣S △BNC ，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．
222
33
【答案与解析】
解：（1）∵ABC的面积是4.5，理由是：
S∵ABC=S矩形MONC﹣S∵CMA﹣S∵AOB﹣S∵BNC
=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3
=4.5，
故答案为：4.5；
（2）如图2的∵MNP，
S∵MNP=S矩形MOAB﹣S∵MON﹣S∵PAN﹣S∵MBP
=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1
=7，
即△MNP的面积是7．
【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．
举一反三：
【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）
A．17B．36C．77D．94
【答案】C
类型四、利用勾股定理解决实际问题
4、一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A ′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB 的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC ′的长，进而得出答案．
【答案与解析】
解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB==24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA ′=20米，
BC ′==15（米），
则：CC ′=15﹣7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．
举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
【答案】
解：如图②所示，由题意可得：
， 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得：
则AB ＝15．
cm
cm 12AA '=12392
A B π'=⨯⨯=22222129225AB AA A B ''=+=+=cm。