埃及分数求和
小学数学 数学故事 奇妙的数王国5(古埃及分数的绝招)(1)
奇妙的数王国5（古埃及分数的绝招）18看见了2司令, 高兴地说:“有啦!我们古埃及分数的神奇作用, 将在2司令身上充分体现出来。
”“我?”2司令被说得有点丈二和尚———摸不着头脑。
18问零国王:“您知道什么是完全数吗?”“当然知道。
作为堂堂的整数王国的国王, 我能连完全数都不知道?”零国王解释,“古希腊的数学家发现了一种具有特殊性质的正整数, 它可以用除去本身之外的所有约数之和来表示, 古希腊数学家认为这种数最高尚、最完美了, 给它起名叫完全数。
”零国王来了精神, 他对大家说:“看我来给你们表演一番。
数6过来!”数6迈着正步走到零国王面前, 向零国王行举手礼。
谁知零国王一言不发, 举起手来在6的头顶上猛击一掌, 大喊一声:“给我分解开来!”数6被击倒在地, 他在地上顺势一滚, 一股白烟过后, 数6不见了, 出现在大家面前的是一个连乘积: 1×2×3。
数2 和数3 迅速摘掉乘法钩子, 变成了1、2、3三个数。
零国王指着这三个数说:“这1、2、3就是6的约数。
”零国王把左手向上一举:“你们给我做个加法!”1、2、3乖乖地用加法钩子连在一起, 成了1+2 +3。
“噗”的一股白烟过后, 1+2 +3变成了6。
零国王得意地对大家说:“看见了没有?6就有这种完美的性质。
我还告诉大家, 6 是最小的完全数。
”接着零国王又把 28、496、8128叫了出来, 如法炮制,结果是:1+2 +4+7 +14 =28;1+2 +4+8 +16 +31 +62 +124+248 =496;1+2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 +2032 +4064 =8128。
对于这四个数的精彩表演, 大家报以热烈掌声。
零国王当众宣布: 6、28、496、8128是前四个完全数。
“真棒!”小华跷着大拇指说, “完全数的性质真美妙呀!”听到小华的夸奖, 零国王更来了精神。
“贪心”之智，化繁为简——埃及分数问题一组
智汇好题目古埃及人喜欢把分数转化成分子为1的分数来进行计算，后人常把分子是1的分数称为“埃及分数”。
埃及分数问题，即把一个真分数表示为最少的埃及分数之和的形式，如把59表示为12＋118。
求解这类问题，常用所谓“贪心算法”。
贪心算法，看到它的名字，你也许会好奇：什么样的算法会被称为贪心算法？贪心算法，又称贪婪算法，即总在每一步骤做最优决策，希望通过一系列的局部最优决策，获得问题的全局最优解。
贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是局部最优选择。
运用这种算法求解最优化问题时，每一个阶段总是做一个使局部最优的贪心选择，不断将问题转化为规模更小的子问题。
下面就让我们通过一组问题，体会贪心算法在埃及分数问题里的应用吧！【题目】第1题 古埃及人如何分饼“把3块饼平均分给4个人，每人分得34块”是苏教版小学数学五年级下册《分数的意义和性质》单元的学习内容，常见的分法有两种：一种是每次分1块饼，每人分得3个14块；另一种是3块一起分，每人分得3块的14。
其实，4000多年前的古埃及人也会遇到分饼的问题，你能根据图1，说说古埃及人是怎么将3块饼平均分给4个人的吗？1212121214141414图1第2题 贪心法古埃及人在均分物品时，总会先保证每人分到1份且每次只取其中的1份，在此前提下用最少的次数分完物品，每次争取分到的最多，有人把这种分法称为贪心法。
例如，在分解分数34时，因为12是比34小的最大埃及分数，所以只需要分两次，就能得出34=12＋14。
按照这种分法（贪心法），你能画出把3块饼平均分给5个人的过程吗？第3题 找规律你能用“贪心法”将下面这些埃及分数拆分成两个埃及分数的和吗？“贪心”之智，化繁为简——埃及分数问题一组姜 华76智慧教学 2023年8月77The Horizon of Education12=1+ 1；13=1+ 1；14=1+ 1 。
观察这些算式，你发现了什么？第4题 简便计算我们还可以将某些特别的埃及分数表示成两个埃及分数的差，例如，12=112´= 1-12，16= 123´=12-13，112=134´=13-14……运用这个规律，我们可以进行这样的简便计算：1111261220+++=111112233445+++´´´´=（1-12）+（12-13）+（13-14）+（14-15）你能运用这样的规律计算“11612++111203042++”吗？【解析】第1题是理解埃及分数的基础，从图1中可以看出，4个人平均分3块饼时，先拿出其中的2块饼,将每块饼平均分成2份，一共平均分成了4份,于是每人可以先分得12块饼；再将剩下的1块饼平均分成4份,每人又可以分得14块饼。
埃及分数运算规律的探索和运用
一
—
—
Ｌ＋ ＿： —ｌ
１ ２ｘ３ ｘ２
① ②
一
ｌ ｘ２ ’２ｘ３ ’３ ｘ４
Ｌ ＋ ＿ ＋ ＿＝ —ｌ —ｌ
３ ４ ’ ２ ’５ ’６ ７ ’５ ’６ ’
．
一
．
＋
．
一
．
＋
． 击＋ ＋ ＝ 击＋ １， ，． ③
通过对算式 中每个 分数 的特点的分析 ，运用Ｅ 可 式 以很快得 出①式＝ ２ ②式＝３ ③式＝５ 了 百
＋
１＋
＋
．
看到这一 习题 ， 稍有数学 文化的教 师就会想到埃 及 分数 ，并会 引领 学生走进探 索埃及分 数运算规律 的殿
原式＝ ６３ ２７ ｘ ．＝ Ｏ １ ＝ ４ 从而产生错误 ． （ ． ．）１ ｌｘ ． １ ， ＋ ４ ４ 小学生的情绪不够稳定 ， 同的情绪状态会直接影 算成 ： 不 响计算 过程． 生都希 望算得 又对又快 ， 由于动机过 学 但 对于强信息引起的错误 ， 教师要注意加强对学生可 强， 急于求成 ， 往往事 与愿违． ， 如 口算时 ， 学生都希望很 逆性思 维的训练 ， 及时作 出对 比分析 ， 必要 时列表突 出 快算 出结果 ． 目小 、 当数 算式 简单时 ， 他们 易产生轻敌 思 它们 的本质 区别． 想 ； 当数 目大 、 而 计算 复杂时 ， 又表现 出不耐心 ， 产生厌 烦情绪．
这也 是一个 强信息． 由于 受 其 干 扰 ， 多 学 生 会 把 此 题 很
３ ６
（ 责任 编 辑
黄俊明 ）
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维普资讯
■一敏掌
”；； ：； ；圈圈皿圆圆重
堂 ． 在这一 习题 出现 之前 ， 其实 有关埃 及分数 的运算就 不止 一次 出现在教 师和学 生 的视野 中．同一教材 的第 １４ １页第６ ， 以说是埃及分数运 算的一次小集会— — 题 可 先计算 ， 想一想怎样算得 比较快． 再
古代埃及人的数学法则
古代埃及人的数学法则埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国。
古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只用分子为1的数，例如：用13+ 115来表示25,用14+ 17+ 128来表示37等等。
（1）你知道古代埃及人用111345++表示什么吗？ （2）现在有90个埃及分数1/2,1/3,1/4,…,1/90,1/91,你能从中挑出10个，加上正负号，使它们的和等于-1吗？（3）分子为1的真分数叫做“单位分数”，某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如：5/6=1/2+1/3.请把7/12写成两个单位分数的和；（4）探究真分数13/x,对于某些x 的值，它可以写成两个单位分数的和，例如当x=42时，13/42=1/6+1/7,你能找出多少个x 的值，使得13/x 可以写成两个单位分数的和？参考答案：（1）这里的运算与有理数的加法法则相一致，由于111345++= 4067，因此古代埃及人用111345++来表示4067； （2）联想到11111111 (122334910)⨯+⨯+⨯++⨯ =11111111 (22334910)-+-+-++- =1-110, 所以 1111111111261220304256729010----------=-1； （3）设7/12=1/A+1/B.我们尝试令A=2,解得B=12；再令A=3,解得B=4.这样我们就得到了本题的两个答案7/12=1/2+1/12=1/3+1/4;(4)注意到13=6+7，6×7=42.一般地，要使13/x=1/A+1/B=A+B/AB ，只需13=A+B,x=AB 即可。
例如：把13分拆为13=2+11，由2×11=22，得13/22=1/2+1/11.考虑13的其他可能的分拆方法，我们还可以得到以下几组答案13/30=1/3+1/10,13/36=1/4+1/9,13/40=1/5+1/8.。
埃及分数分解的一种方法
即可 . 这因为由
m1 m2 1 m = = + 14 14 m 14 m 14 m
我们可以采用逐步约数和分解 , 即先将 1 1 分解成两个 ( ) 之和 , 分解的方法还是上 14 面提到的分子分母乘以 14 的 “约数和” 的办 法 ,例如 , 1 1× 3 1 2 1 1 = = + = + . 14 14 × 3 14 × 3 14 × 3 42 21 1 接着 ,把刚才从 分得的两个分式再各 14
收稿日期 :2007 - 11 - 16
= =
n1 t 1
14 m
t 1 n1
+ +
n2 t 2
14 m
t 2 n2
14 m
14 m
,
便可以将
1 1 1 分解成 ( ) + ( ) 的形式 . 那么 , 14
这样的条件是否存在呢 ? 下面将就这个问题 进行进一步的探究 . 1 1 1 对于一般情形 , 即将 分解成 ( ) + ( ) M 的形式 .
n1 t 1 n2 t 2 = + M M ( n1 t 1 + n2 t 2 ) M ( n1 t 1 + n2 t 2 )
1
②
=
t1 n1 t2 n2 ・ + ・ , M n1 t 1 + n2 t 2 M n1 t 1 + n2 t 2
③
其中 , n1 、 n2 是待定的正整数 . 下面推证以下两点 :
t1 t1 + s
i =1
∏m
k
h i i
.则
+
埃及分数问题
埃及分数问题:在古埃及,人们用单位分数的和(形如1／a,a是自然数)表示一切有理数。
如:2／3＝1／2＋1／6,但不允许2／3＝1／3＋1／3,加数中有相同的。
对于一个分数a／b,表示方法有很多种,但是哪种最好呢?1.加数少的比加数多的好2.加数个数相同的,最小的分数越大越好。
如:19／45＝1／3＋1／12＋1／18019／45＝1／3＋1／15＋1／4519／45＝1／3＋1／18＋1／3019／45＝1／4＋1／6＋1／18019／45＝1／5＋1／6＋1／18最好的是最后一种即19／45＝1／5＋1／6＋1／18,因为1／18比1／180、1／45、1／30、1／180都大。
给定两个整数a、b(0＜a＜b＜1000),编程计算出最好的表达方式。
本算法出自ACM程序设计与分析P258。
【贪心法】解析:本算法出自吕国英版算法设计与分析P149(旧),P160(新)。
由于书上算法只使用了int类型变量进行计算,而当分数比较大时(如: 0＜a＜b＜1000),那么则会溢出,导致计算结果错误,故此本算法将使用高精度计算进行求解。
其算法思想不变,只是在计算时使用高精度计算,这样便可以求出0＜a＜b＜1000范围内的解。
根据书中说明,贪心法求解思想是:逐步选择分数所包含的最大埃及分数,这些埃及分数之和就是问题的一个解。
但是这样求出的解在决大多数情况下,不是最佳表示法。
只是问题的一个解而已。
下面我们利用IDA*算法求得问题的最佳解。
【IDA*法】解析:在进行本算法解析之前,我们先分析几个问题。
上面我们利用贪心法进行了求解,在贪心法逐步选择当前分数所包含的最大埃及分数时,是按照如下方法计算的,例如:7／8内所包含的最大埃及分数是什么呢?7／8包含最大埃及分数分母＝8／7＋1＝27／8－1／2＝3／8,寻找3／8内的最大埃及分数如下:3／8包含最大埃及分数分母＝8／3＋1＝3得到3／8－1／3＝1／24,此时1／24已经是埃及分数,则不再进行计算,得到解7／8＝1／2＋1／3＋1／24。
埃及分数求解技巧
埃及分数求解技巧埃及分数是一种古老的数学表达方式，起源于古埃及，用于表示一个分数的分子和分母都是正整数的形式。
在埃及文明时期，埃及人使用这种分数表示方法进行商业计算和土地测量等实际问题的解决。
以下是一些埃及分数求解技巧。
1. 单位分数单位分数是指分子为1的分数，如1/2、1/3、1/4等。
单位分数在埃及分数的计算中起到了基础作用，可以将其他分数表示为单位分数之和。
2. 累加法埃及人使用累加法来表示一个分数，将一个分数表示为若干个单位分数之和。
首先找到一个最接近但不超过目标分数的单位分数，然后用这个单位分数去减去目标分数，将剩余的数重复这个过程，直到剩余数为1或者无法再减为止。
将所得的单位分数逐个相加，即可得到目标分数的埃及分数。
例如，要将分数7/11表示为埃及分数，首先找到一个最接近但不超过7/11的单位分数，可以选择单位分数1/2。
然后用7/11减去1/2，得到5/22，再将5/22表示为单位分数的和，可以选择1/3，得到2/3×1/2，即为1/6。
最后将1/2+1/6，即得到7/11的埃及分数表示为1/2+1/6。
3. 部分累加法当一个分数无法直接用单位分数表示时，可以使用部分累加法。
部分累加法是指将一个分数表示为一个单位分数和一个真分数之和。
例如，要将分数17/32表示为埃及分数，首先找到一个最接近但不超过17/32的单位分数，可以选择1/2。
然后用17/32减去1/2，得到17/32-1/2=1/32。
由于1/32是一个单位分数，所以可以直接表示为埃及分数，即为1/2+1/32。
4. 迭代法迭代法是指将一个分数表示为两个以上单位分数之和，并且每次迭代都使用更小的单位分数。
迭代法一般用于较大的分数求解。
例如，要将分数5/7表示为埃及分数，首先找到一个最接近但不超过5/7的单位分数，可以选择1/2。
然后用5/7减去1/2，得到3/14。
由于3/14的分母较小，再次使用迭代法，找到一个最接近但不超过3/14的单位分数，可以选择1/8。
讲解埃及分数
讲解埃及分数埃及分数是一种特殊的分数表示方法，它在古埃及文明中广泛应用。
埃及分数的表达方式简洁明了，被认为是人类历史上最早的分数表示方法之一。
本文将为您详细讲解埃及分数的概念、原理和应用。
1. 概述埃及分数是通过分子为1的真分数求和得到的。
例如，1/2、1/3、1/4等都是埃及分数。
在古埃及，人们主要使用单位分数，即分母为1的分数。
让我们通过例子来了解埃及分数的表达方式和求和方法。
2. 埃及分数的表达方式埃及分数的表达方式十分特殊。
当我们要表示一个真分数时，我们尽可能使用最大的单位分数，并将真分数减去所选择的单位分数。
例如，要表示3/7这个真分数，我们可以选择1/2和1/8这两个单位分数，即 1/2 + 1/8 = 4/8 + 1/8 = 5/8，然后将 3/7 - 5/8 = 1/56。
因此，3/7可以用1/2 + 1/8 + 1/56 来表达。
3. 埃及分数的求和方法当我们需要计算两个或多个埃及分数的和时，我们需要找到一个公共分母来进行计算。
为了找到这个分母，我们可以将两个分数的分母相乘。
例如，要计算 1/2 + 1/3，我们可以将分母相乘得到 2*3=6，并将两个分数分别乘以适当的倍数，使得它们的分母都为6。
得到 3/6 + 2/6 = 5/6。
因此，1/2 + 1/3 = 5/6。
4. 埃及分数的应用埃及分数在古埃及社会中有广泛的应用。
它们被用来进行商业交易、测量土地面积以及进行日常生活中的计算。
由于埃及分数的表达方式简单清晰，人们可以方便地进行计算，避免了使用较复杂的分数表示方法。
古埃及人民通过埃及分数体现了他们在数学上的创新和智慧。
5. 埃及分数的局限性尽管埃及分数在古埃及社会中得到了广泛应用，但它也有一些局限性。
由于埃及分数的表达方式只使用了单位分数，它只能表示一部分真分数，而无法表示所有的真分数。
例如，我们无法用埃及分数来准确地表示1/5这个真分数。
总结：通过本文的讲解，我们了解了埃及分数及其表示方法。
埃及分数问题
埃及分数问题设计⼀个算法，把⼀个真分数表⽰为埃及分数之和的形式。
所谓埃及分数，是指分⼦为1的分数。
如7/8=1/2+1/3+1/24.分析：根据贪⼼算法可知，逐步选择分数所包含的最⼤埃及分数，这些埃及分数之和就是问题的⼀个解。
其数学模型为：将⼀个真分数F表⽰为A/B，做B÷A的整除运算，商为D，余数为K（0<K<A），它们有如下关系：B=A×D+K，B/A=D+K/A<D+1，A/B>1/(D+1)。
记C=D+1，这样就找到了分数F所包含的“最⼤的”埃及分数就是1/C，进⼀步计算A/B-1/C=(A×C-B)/(B×C)，继续解决分⼦为A=A×C-B，分母为B=B×C的⼦问题。
过程如下：（1） 设某个真分数的分⼦为A（A≠1），分母为B；（2） 把B除以A的商的整数部分加1后的值作为埃及分数的分母C；（3） 输出1/C；（4） 将A乘以C减去B作为新的A；（5） 将B乘以C作为新的B；（6） 如果A⼤于1且能整除B，则最后⼀个埃及分数的分母为B/A；（7） 如果A=1,则最后⼀个埃及分数的分母为B，否则转到步骤（2）。
public class demo02 {public static void main(String[] args){Scanner sc =new Scanner(System.in);System.out.println("请输⼊⼀个真分数");System.out.print("分⼦：");int a = sc.nextInt();System.out.print("分母：");int b = sc.nextInt();if(a >= b){System.out.println("输⼊错误：不是真分数");}else if(a ==1||(b % a)==0){System.out.println(a +"/"+ b +" = "+"1/"+ b / a);}else{System.out.print(a +"/"+ b +" = ");int c;while(a !=1){c = b / a +1;System.out.print("1/"+ c +" + ");a = a * c - b;b = b * c;if(b % a ==0){System.out.print("1/"+ b / a);a =1;}}}}}结果：。
趣味数学埃及分数
埃及分数人教版小学数学五年级下期第112页的“你知道吗？”谈到了古埃及用特殊符号表示分子为1的分数，后来人们就把分子为1的分数称为埃及分数。
分子为1的分数，是分母与它相同的分数的单位，即单位分数，所以，埃及分数就是单位分数。
与所有整数的单位都是1相比，分数单位随着分母的不同而不同，已经够特殊了，而1个单位分数竟然还可以表示成几个不同单位分数的和，甚至还有多种不同的表示方法，更是叫人倍感兴趣。
如，16＝17＋142，16＝18＋124，16＝19＋118，16＝110＋115，61＝121＋118＋361，…… 下面就来研究一下，怎样把一个单位分数表示成几个不同单位分数的和。
首先，从把一个单位分数n1，表示成两个不同单位分数的和开始。
方法一：用公式：n 1＝11+n ＋)1(1+n n 如，把41和81分别表示成两个不同单位分数的和。
41＝141+＋1)4(41+＝51＋201，81＝181+＋1)8(81+＝91＋721。
熟练以后，可以直接写出结果：51＝61＋130，81＝91＋721。
方法二：取n 的两个约数a 、b ，让c ＝a ＋b ，给n1的分子、分母分别乘上a ＋b 和c ，n 1＝cn b a +。
把cn b a +改写成两个分数的和，n 1＝cn a ＋cn b 。
约分，就得到n1＝p 1＋q 1，其中，p ＝cn ÷ɑ，q ＝cn ÷b 。
如，把101表示成两个不同单位分数的和。
取10的两个约数2、5，2＋5＝7，101＝71052⨯+＝702＋705＝351＋141。
方法三：因为单位分数的分母越小，分数值就越大；相反，单位分数的分母越大，分数值就越小。
所以，如果一个单位分数n1能拆成两个单位分数的和，那么这两个单位分数的分母肯定都大于n ，否则，只要有一个单位分数的分母不大于n ，这两个单位分数的和就大于n1。
设：这两个单位分数的分母分别是n ＋ɑ、n ＋b ，其中ɑ、b 都是等于或大于1的自然数，并且ɑ≠b 。
埃及分数算法
埃及分数算法埃及分数算法是一种古老的算法，它可以将一个分数分解为若干个分母互不相同的埃及分数之和。
这种算法在古代埃及被广泛应用，可以用来计算土地面积、建筑面积等。
在现代数学中，埃及分数算法也有着广泛的应用，例如在密码学、计算机科学等领域。
埃及分数算法的基本思想是将一个分数分解为若干个分母互不相同的埃及分数之和。
例如，将分数3/7分解为埃及分数，可以得到以下结果：3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231其中，1/3、1/11、1/231都是埃及分数，它们的分母互不相同。
这种分解方法可以用于计算分数的近似值，也可以用于加密和解密信息。
埃及分数算法的具体步骤如下：1. 将分数化为最简分数形式，即分子和分母没有公因数。
2. 找到一个最小的正整数n，使得n大于分母。
3. 将分数的分子除以n，得到商q和余数r。
4. 将分数的分母除以n，得到新的分母m。
5. 如果余数r为0，则将分数的分子和分母都除以n，得到一个新的分数，重复步骤1-5，直到分数的分母为1。
6. 如果余数r不为0，则将分数的分子乘以m，得到一个新的分子，将分子和分母都除以r，得到一个新的分数，重复步骤1-5，直到分数的分母为1。
7. 将所有的埃及分数相加，得到原始分数的分解。
例如，将分数3/7分解为埃及分数的过程如下：1. 3/7已经是最简分数形式。
2. 找到一个最小的正整数n，使得n大于7，n=8。
3. 将分数的分子3除以8，得到商q=0，余数r=3。
4. 将分数的分母7除以8，得到新的分母m=56。
5. 余数r不为0，将分数的分子乘以m=56，得到新的分子168，将分子和分母都除以r=3，得到新的分数56/21。
6. 56/21已经是最简分数形式，找到一个最小的正整数n，使得n 大于21，n=22。
7. 将分数的分子56除以22，得到商q=2，余数r=12。
8. 将分数的分母21除以22，得到新的分母m=462。
9. 余数r不为0，将分数的分子乘以m=462，得到新的分子924，将分子和分母都除以r=12，得到新的分数77/462。
埃及分数问题
算法分析二：搜索---剪枝
下界限定：
1.搜索第m个分数时候，该分母一定要比得到的前一 个分母大，所以下界定义为:midst[m-1]+1；
2.补充由于1/midst[m]必须<=x/y，所以， midst[m]>=y/x；
Then midst[m] = max(y/x, midst[m-1] + 1)；
{
if(midst[k] > final[k])
break;
if(midst[k] == final[k])
{
k--;
continue;
}
if(midst[k] < final[k])
{
for(i = 1; i <= n; i++)
{
final[i] = midst[i];
int i, j, k;
if(m == n)
//m==n 的情况分析
{
if (y % x == 0 && y > x * midst[n -1]) //判断2
{
midst[n] = y/x;
judge = 1
//控制变量，找到解，n不会加深
k = n;
while(true)
//判断3，找出最优解
2.当m==n时，判断是否y可以整除x？；并且 判断：y>x*midst[n-1]？（目的，防止出现两 个相同的分母）
3.当得到一个解，要和已存的解进行判断， 获取最优解。依次下来，直到搜索完毕。
古埃及分数的拆分方法
古埃及分数的拆分方法
古埃及人使用分数来计算数量和度量。
他们的分数系统是基于单位分数的，即分子为1，分母为任何正整数。
古埃及人使用的拆分方法是将一个分数分解成多个单位分数的和。
例如，将1/2拆分成1/3+1/6的和。
他们认为这种拆分方法可以帮助他们更好地理解分数，并且在计算过程中更加方便。
在古埃及的商业和贸易中，这种拆分方法非常有用。
例如，如果一个商人想要购买3/4个小麦袋，他可以将3/4拆成1/2+1/4，然后用1/2的价格购买两个小麦袋和1/4的价格购买一个小麦袋。
这种方法可以帮助商人更好地管理他们的财务，以及更好地理解他们的交易。
除了商业和贸易之外，古埃及人还使用分数来计算时间、度量和土地面积。
他们的分数系统可以追溯到约公元前3000年，并且一直使用到公元前1650年。
总的来说，古埃及人的分数系统以及拆分方法是他们在数学领域的一项伟大贡献。
这些方法对于现代数学的发展也产生了很大的影响。
数学北师大版五年级下册《埃及分数》
可以把分子分 母同时扩大
分子2太小了，很难再写成不同加数的和
2
4
6 11
25 50 75 75 15
6可以写成不同加数的和，6=1+5。并且 都是75的因数
8 1 1 1 1 25 25 75 15 5
小结
怎么用古埃及人的方法表示一个分子大于1 的真分数？
可以先将分子写成几个不同加数的和， 并且这几个数都是分母的因数。就可以 将其他真分数表示成几个异分母埃及分 数的和了。
8
你能用古埃及人的方法表示 吗？
25
可以先把8写成两个不同加数的和。
即8=1+7=2+6=3+5=4+4
可以再把8写成三个不同加数 的和8=1+2+5
没有一组都 是25的因数
怎么办？
？ 8 1 2 5 1 2 1
25 25 25 25 25 25 5
？ 8 1 2 1
25 25 25 5
71111111
要异分母哦
24 24 2和。 即7=1+6；7=2+5；7=3+4
找到两个 加数都是 24的因数
7 1 611 24 24 24 24 4
7 3 411 24 24 24 8 6
7 1 1， 24 24 4 只有这两种表示方法吗？ 7 1 1， 24 8 6
如果我们把改写成7三个不同加数的和，例如 7=1+2+4
三个加数 都是24的
因数
7 1 2 4 1 1 1 24 24 24 24 24 12 6
能再试着用这种方法 表示其他真分数吗？
一古埃及的数学 (2)
古埃及的数学一、自学目标：通过自学本节内容，了解古埃及数学的成就，体会古埃及数学的特点。
二、自学内容提炼（一）知识梳理：古埃及数学的五大方面：1、计数法：记数法——以为基数的文字特点：①、最早采用的国家之一；②、但没有采用.2、书写材料－纸草纸草纸草3、古埃及的算术知识：（1）古埃及人的计算具有的特点：任何自然数都可由的各次幂的和组成. （2）分数的记法和计算单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些（分子为1的分数）的和的形式（2/3例外）.埃及人表示分数的符号是相当复杂的. 用（读作ro）表示分数线，将或点的记号放在数的上方用来表示分数.例如：（3）、完成了基本的算术四则运算（4）、已经有了求近似平方根的方法4、古埃及的代数：①、有渐进的代数，但叙述方式是 ，很少引用符号；②、比例的概念也已有萌芽；三角函数观念的萌芽③、一元一次方程求解即形如：a b χχ+=或某些二次方程：a b c χχχ++=④、等差级数和等比级数的概念及其求和例1、兰德纸草书中有一方程问题：有一数量，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共为33.用现代的记号是：21128331432797x x x x x +++=⇒= 只不过分数部分写为28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388.古埃及人把未知数称为“堆”（aha)例2、兰德纸草书中的第24题：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值. “假位法”（method of false position ）—先假设一个特殊的数作为“堆”的值（多半是假值），将其代入等式左边去运算，然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确的答案.在上例中，用数7作为未知数x 的实验值，于是有，左边=1/771/778x x +⋅=+⋅= 而应得的结果是19，这两个结果之比为19/8=2+1/4+1/8，将7乘以（2+1/4+1/18）即得正确的“堆”值为16+1/2+1/8.例3、几何级数（等比级数）.兰德纸草书第79题：是在数字 7，49，343，2401，16807 旁边各注有图人，猫，鼠，大麦，量器等字样，而且给出总数为19607.问这个题目产生的是什么数列？总数是多少？---有答案无解法.5、古埃及的几何：在兰德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关.由此可知，古埃及的几何很发达. 几何问题多是讲度量法，涉及到田地的面积，谷仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名的“金字塔之迷”就是其中的代表.（1）、法老胡夫的金字塔(Pyramid)：兴建于齐阿斯王朝（BC2900年左右），高146.5米，塔基宽 233米，底边长度的误差为1.6厘米，正方程度与水平程度的平均误差≤1/10000，塔高与塔基之比非常近似于圆的周长与其半径之比.用以砌塔的巨石达230万块，重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石头凿成平均一立方英尺的小块并排列成行，其长度相当于地球周长的2/3. 10万人用了20年的时间才建成的.（2）、阿蒙神庙(Oman Tamples)：阿蒙——埃及的太阳神.王殿总面积5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米.①、正方形,矩形,三角形,梯形面积公式.其他几何图形近似计算. 如：任意四边形的面积 ②、已经知道毕达哥拉斯定理的特殊情况.③、圆的面积很好的近似. 22a b c d ++⨯ Rhind 50:假设一直径为9的圆形土地，其面积=边长为8的正方形土地. 由此可知，圆面积为28()9S d = ，其中 d 为直径，相当于取π=3.1605，误差为0.6%.④、体积的计算正四棱台的体积－最高成就.221()3V h a ab b =++ 直棱柱(圆柱)的体积等于底面积乘以高.⑤、半球表面积的计算公式.⑥、知道相似三角形.⑦、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上，已经有了正确的知识.（二）典例选讲1、迭加运算例如： 计算 27×31例：计算745÷26，只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过745为止.2、分数运算2/5=1/3+1/152/7=1/4+1/282/9=1/6+1/18......2/97=1/56+1/679+1/7762/99=1/66+1/1982/101=1/101+1/202+1/303+1/606利用此表可进行分数计算例如，要用5÷21，可写成单位分数之和运算程序如下：5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21=1/7+1/14+1/423、兰德纸草书第70题：求100÷(7+1/2+1/4+1/8)的商.答：12+2/3+1/42+1/126.解：将除数逐渐加倍：15+1/2+1/4→31+1/2→63，是除数的8倍;另外，除数与8+4+2/3相乘得3994，比被除数100小1/4.调整：因除数的8倍是63，故(7+1/2+1/4+1/8)×2/63=1/4由2/n数表查得2/63=1/42+1/126，于是100÷(7+1/2+1/4+1/8)= 8+4+2/3+2/63= 12+2/3+1/42+1/126.4、算术级数问题：5个人分100个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数，并且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和---下伪法（regula falsi ）解： 先令第一项最大，这使得公差是负数.令首项和公差分别为a 和d,写出了 ()(2)11(3)(4)(4)72a a d a d a d a d d a d +-+-=-+-⇒=- 于是公差为最小项的11/2倍，设最小项为1. 于是得级数：111,6,12,17,2322但和为60,为满足条件，各项×5/3， 最后得：25111,10,20,29,383663（三）提出疑点和解决1、古埃及的加法运算和单位分数运算对古埃及数学发展有什么影响？答：加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复.这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进一步发展，这也是古埃及算术和代数不能发展到更高水平的原因之一.2、古埃及的面积、体积算法和如今的计算方法有什么特点？答：古埃及人的面积、体积算法对精确的公式和近似关系往往不作明确的区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙的色彩.。
探究活动(二)将一个分数拆为几个不同的单位分数之和
狮身人面像的面部参照哈夫拉，身体为狮子，高22米，长57米， 雕象的一个耳朵就有2米高。整个雕象除狮爪外，全部由一块天然岩石 雕成。由于石质疏松，且经历了4000多年的岁月，整个雕象风化严重。 另外面部严重破损，有人说是马姆鲁克把它当作靶子练习射击所致， 也有人说是18世纪拿破仑入侵埃及时炮击留下的痕迹。
约分
例题3、填空：在括号内填入不同的正整数，
使等式
4 15
1
1
成立。
解：15的因数有1，3，5，15
4
4
4
15 4 (1 3)
15 (1 3)
15 4 (115)
15 (115)
15 4 (5 3)
15 (5 3)
4 12 60 60
1 = 2+3 = 2 + 3 = 1 + 1 6 6 5 6 5 6 5 15 10
1 = 1+2 = 1 + 2 = 1 + 1
6 6 3 6 3 6 3 18 9
1 6
6
6
6
1
1
练习2、填空：在括号内填入不同的正整数，使
等式
1 14
1
1
成立。（尽可能多写）
解：14的因数有1，2，7，14 1
分解
14 1 (2 7)
14 (2 7)
27 14 9 14 9
11 63 18
案例---将一个分数拆为几个单位分数之和
教学案例——将一个分数化为几个单位分数之和一、背景分子为1的真分数叫单位分数，也叫埃及分数。
记录埃及分数成果的《莱因德草纸书》是公元前1650年左右的埃及数学著作。
据书中记载，书中关于单位分数的许多结论在公元前2700年左右的古埃及人就已知道。
古埃及人为什么要把分数拆为一些不同的单位分数之和呢？他们又是采用什么方法把一个分数拆为不同的分数之和的呢？这都是谜，但我们从中可以触摸到古埃及人的智慧，感受到它谜一般的魅力！二、教学内容分析与学生主体分析“将一个分数拆为几个单位分数之和”这个内容在新教材中是一个探究活动内容，也是新课程标准确定的专题研究内容。
但是课本上的这块内容相当宽泛，有将单位分数拆分的，有将非单位分数拆分的，也有将1拆分的，并且没有给出一般的拆分方法。
但是课只有四十分钟，所以我觉得要抓住一两个重点，并且这些内容可以使课堂活起来，学生动起来，从而符合这次学校展示周的主题。
我选择了两个内容：将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和；将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用。
内容不多，因此在深度上我对同学们提出了更高的要求，第一点：经历一个从特殊到一般的研究过程；第二点：能够自己找出将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和的规律并运用。
之所以选择这两个内容也有从学生角度考虑的，在探索将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和的规律时要用到两个前期知识，一个是因数，一个是分数的基本性质，而这两个知识，他们预备班的学生这学期刚学，所以这个规律如果老师加以适当的引导同学们还是能够自己探索出来的。
另外一点，在平时教学的过程中，我发现预备的学生普遍对于抽象的东西比较难理解，比如说式子中出现个字母等1拆分，等，所以在本课中我有意要渗透这样一种思想，比如叫他们把n并理解这个式子所表达的含义，这是本节课需要去突破的一个难点。
三、教学目标知识与技能：1、会将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和2、会将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用过程与方法：1、从将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和到将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，体会由简单到复杂的研究过程1这样的一般分数，体会由特殊到2、从特殊分数到n一般的研究过程情感态度与价值观：体会到问题对于数学探究的重要性，学会自己提出问题四、重难点将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用五、教学过程1、引入老汉分马问题：一个老汉在弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大1/2，老二1/4，老三1/6。