高考数学总复习 第八章 解析几何 8.2 两直线的位置关系课件 文

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(1)已知三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0 不能
构成三角形，则实数 m 的取值集合为( D )
A.－43，23
B.43，－23
C.－43，23，43
D.－43，－23，23
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解析：因为三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1 ＝0 不能构成三角形，所以直线 mx－y－1＝0 与直线 2x－3y＋1 ＝0 或直线 4x＋3y＋5＝0 平行，或直线 mx－y－1＝0 过直线 2x －3y＋1＝0 与 4x＋3y＋5＝0 的交点，所以 m＝23或 m＝－43或 m ＝－23，所以实数 m 的取值集合为－43，－23，23，故选 D.
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3．两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须 为一般式． (2)两平行线间的距离的求法 ①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意 一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中 x， y 的系数化为相同的形式)．
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l1∥l2⇔－a2＝1－1 a，
解得 a＝－1，
－3≠－a＋1，
综上可知，当 a＝－1 时，l1∥l2.
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方法二 由 A1B2－A2B1＝0，得 a(a－1)－1×2＝0， 由 A1C2－A2C1≠0，得 a(a2－1)－1×6≠0， ∴l1∥l2⇔aaaa2－－11－－11××26＝≠00， ⇔aa2－a2－a－12≠＝60，， 可得 a＝－1， 故当 a＝－1 时，l1∥l2.
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已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示
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提醒：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一 般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意 x，y 的系 数不能同时为零这一隐含条件．
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为 2x－y＋3＝0，且 l1∥l2，
∴ex1＋1＝2，解得 x1＝0，y1＝1，
则直线 l1 与 l2 的距离即为切点到 l2 的距离，
即|2×220＋－－1＋132|＝2
5
5 .
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考点三 对称问题
角度 1
点关于点的对称
过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－
第八章
解析几何(jiě xī jǐhé)
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第2节 两直线的位置(wèi zhi)关系
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考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节
一般不独立命题，预测 2020 年
高考以考查两条直线的位置关
1.能根据两条直线的斜率判断
这两条直线平行2)已知经过点 A(－2,0)和点 B(1,3a)的直线 l1 与经过点 P(0，－1)
和点 Q(a，－2a)的直线 l2 互相垂直，则实数 a 的值为 1 或 0 . 解析：l1 的斜率 k1＝1－3a－－02＝a.
当 a≠0 时，l2 的斜率 k2＝－2aa－－0－1＝1－a2a.
方法二 当 AB∥l 时，有 k＝kAB＝－13， 直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)， 即 x＋3y－5＝0. 当 l 过 AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线 l 的方程为 x＝－1. 故所求直线 l 的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.
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设点 B 关于直线 l 的对称点为 C(x，y)，
则xx＋ －2y 22＝－－2y＋1，2＝0，
解得yx＝＝4－，2， 即 C(－2,4)．
又直线 l2 过 A23，83和 C(－2,4)两点， 故由两点式得直线 l2 的方程为83y－－44＝23x＋＋22，即 x＋2y－6＝0.
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角度 3
线关于点的对称
已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)，则直线 l 关于
点 A 对称的直线的方程为 2x－3y－9＝0 .
解析：法一 在 l：2x－3y＋1＝0 上任取两点， 如 M(1,1)，N(4,3)， 则 M，N 关于点 A 的对称点 M′，N′均在直线 l′上． 易知 M′(－3，－5)，N′(－6，－7)， 由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0. 法二 设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－ 4－y)， ∵P′在直线 l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0.
的重点.
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课堂探究(tànjiū) 考点突 破
真题模拟(mónǐ)演练
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课堂探究 考点突破
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考点一 两条直线的位置关系
(1)已知过点 A(－2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y
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(2)已知直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若
l1∥l2，则 a＝ －1 .
解析：方法一 当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1 不平行于 l2；当 a＝0 时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 l1：y＝－a2x－3， l2：y＝1－1 ax－(a＋1)，
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(2)若直线 l 过点 P(－1,2)且到点 A(2,3)和点 B(－4,5)的距离相等，
则直线 l 的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1 .
解析：方法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y－2 ＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0.
系、两点间的距离、点到直线
2.能用解方程组的方法求两相 的距离、两条直线的交点坐标
交直线的交点坐标．
为主，有时也会与圆、椭圆、
3.掌握两点间的距离公式、点 双曲线、抛物线交汇考查．题
到直线的距离公式，会求两平
型主要以选择、填空题为主，
行直线间的距离.
要求相对较低，但内容很重要，
特别是距离公式，是高考考查
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角度 4 线关于线的对称
直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：x－y＋2＝0 对称的直线
l2 的方程为 x＋2y－6＝0
.
解析：方法一：解方程组x2－x＋y＋y－2＝4＝0，0， 得直线 l1 与直线 l 的交点 A23，83.
在直线 l1 上取一点 B(2,0)，
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角度 2 点关于线的对称 已知直线 l 的方程为 2x－y－3＝0，点 A(1,4)与点 B 关于直线
l 对称，则点 B 的坐标为 (5,2) ． 解析：设点 B(x，y)，则满足2yx－ －×411＝＋2 －x－214，＋2 y－3＝0，
∴yx＝＝25.， 故点 B 的坐标为(5,2)．
1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程 组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点 坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利 用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
3y＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
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解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a,8－2a)， 则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(－a，2a－6)在 l2 上， 把 B 点坐标代入 l2 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上， 所以由两点式得直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
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方法二：设 M(x0，y0)是直线 l1 上任意一点，它关于直线 l 的 对称点为 N(x，y)，则线段 MN 的中点坐标为x＋2x0，y＋2y0，直 线 MN 的斜率为yx－－yx00.
考点二 两直线的交点与距离问题 (1)经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，
且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0 .
解析：由方程组xx＋－y2－y＋2＝4＝00， 得 x＝0，y＝2，即 P(0,2)．因 为 l⊥l3，所以直线 l 的斜率 k＝－43，所以直线 l 的方程为 y－2＝ －43x，即 4x＋3y－6＝0.
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(2)(2019·合肥调研)设 l1 为曲线 f(x)＝ex＋x(e 为自然对数的底数)的
切线，直线 l2 的方程为 2x－y＋3＝0，且 l1∥l2，则直线 l1 与 l2 的距离
25
为5
.
解析：由 f(x)＝ex＋x，得 f′(x)＝ex＋1，
设 l1 与曲线 f(x)＝ex＋x 相切的切点为(x1，y1)，直线 l2 的方程
因为 l1⊥l2，所以 k1k2＝－1， 即 a·1－a2a＝－1，解得 a＝1.
当 a＝0 时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线 l2 为 y 轴， A(－2,0)，B(1,0)，直线 l1 为 x 轴，显然 l1⊥l2. 综上可知，实数 a 的值为 1 或 0.
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由题意知|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13. ∴直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)， 即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝－1，也符合题意．
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【结论探究】 本典例(2)中条件不变，求当 l1⊥l2 时 a 的取值．
解：方法一 当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1 与 l2 不垂直，故 a＝1 不成立； 当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不垂直于 l2， 故 a＝0 不成立； 当 a≠1 且 a≠0 时， l1：y＝－a2x－3，l2：y＝1－1 ax－(a＋1)， 由－a2·1－1 a＝－1，得 a＝23. 方法二 由 A1A2＋B1B2＝0，得 a＋2(a－1)＝0，可得 a＝23.
－1＝0 为 l2，直线 x＋ny＋1＝0 为 l3.若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n 的
值为( A )
A．－10
B．－2
C．0
D．8
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解析：∵l1∥l2，∴m4－＋m2＝－2(m≠－2)，解得 m＝－8(经检 验，l1 与 l2 不重合)，∵l2⊥l3，∴2×1＋1×n＝0，解得 n＝－2， ∴m＋n＝－10.
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(1)若动点 A，B 分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 上移
动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A )
A．3 2
B．2 2
C．3 3
D．4 2
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第二十二页，共四十五页。
解析：依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1：x＋y－7 ＝0 和 l2：x＋y－5＝0 距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的 最小值为原点到该直线的距离．设点 M 所在直线的方程为 l：x ＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得|m＋27|＝|m＋25|⇒|m＋7| ＝|m＋5|⇒m＝－6，即 l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式， 得 M 到原点的距离的最小值为|－26|＝3 2.