2024八年级数学下册第2章四边形练素养1矩形的性质和判定的应用习题课件新版湘教版
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易知∠BDC＝90°，
∴S△BCD＝ BD·CD＝ ×4×3＝6.
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18.
当点E在OB上，点F在OD上时，
BE＝DF＝ (BD－EF)＝ ×(12－8)＝2，此时t＝2；
当点E在OD上，点F在OB上时，BE＝DF＝12－2＝
10，此时t＝10.
综上所述，当t＝2或10时，四边形AECF为矩形.
2.[2023·华南师大附中期中]如图，在平行四边形ABCD中，
过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.
【解】由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD.
∴AF＝ − ＝ − ＝4.
∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，
BD＝AF＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3.
∵CF＝AE＝3，∴CD＝DF＋CF＝6＋3＝9，
∴AB＝CD＝9，
∴S平行四边形ABCD＝AB·DE＝9×3 ＝27 .
应用2
矩形的性质和判定在四边形中的应用
3.[2023·新疆]如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝
90°，OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
1.矩形的性质和判定
的应用
名师点金
矩形判定的技巧：证明四边形是矩形，已知对角线相等
时，只需再证明四边形是平行四边形；已知四边形是平行四
边形时，只需再证明对角线相等或有一个角是直角.如果已知
四边形的两个角是直角，此时应选择“有三个角是直角的四
边形是矩形”证明.
应用1
矩形的性质和判定在平行四边形中的应用
∴∠EBC＝∠FDA.由题意知BE＝DF.
＝，
在△BEC和△DFA中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△BEC ≌△DFA(SAS).∴CE＝AF.
同理可得AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形.
(2)当t为何值时，四边形AECF为矩形？
【解】∵四边形AECF为平行四边形，
∴当EF＝AC＝8时，四边形AECF为矩形.
∴四边形BECF是平行四边形.
∵∠A＝30°，∠ABO＝90°，
∴OB＝ OA＝OE.
∴BC＝EF.∴四边形BECF是矩形.
4.[2022·云南]如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为
线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接
AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边
形，
∴BA∥CD.∴∠BAE＝∠FDE.
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.
∠＝∠，
在△BEA和△FED中，ቐ ＝，
∠＝∠，
∴△BEA≌△FED(ASA).∴EF＝EB.
又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形.
又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形.
【证明】在△AOB与△DOC中，
∠＝∠，
ቐ＝，
∠＝∠，
∴△AOB≌△DOC(ASA).∴AO＝DO.
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
∴OE＝ OA，OF＝ OD，∴OE＝OF.
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形.
【证明】∵OB＝OC，OE＝OF，
1.如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E，F在对角线
BD上，点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点D运
动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时
运动停止，运动时间为t秒.
(1)求证：四边形AECF为平行四边形.
AD＝BC，
AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF＝AE，∴AB－AE＝CD－CF，∴BE＝DF.
∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形.
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形.
(2)若∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，AD＝6，求
▱ABCD的面积.
【解】∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.
∵∠DAB＝60°，∴∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD＝3，
∴DE＝ − ＝3 .
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DFA＝∠BAF.
∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF＝6.
∴S△BCD＝ BD·CD＝ ×4×3＝6.
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18.
当点E在OB上，点F在OD上时，
BE＝DF＝ (BD－EF)＝ ×(12－8)＝2，此时t＝2；
当点E在OD上，点F在OB上时，BE＝DF＝12－2＝
10，此时t＝10.
综上所述，当t＝2或10时，四边形AECF为矩形.
2.[2023·华南师大附中期中]如图，在平行四边形ABCD中，
过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.
【解】由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD.
∴AF＝ − ＝ − ＝4.
∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，
BD＝AF＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3.
∵CF＝AE＝3，∴CD＝DF＋CF＝6＋3＝9，
∴AB＝CD＝9，
∴S平行四边形ABCD＝AB·DE＝9×3 ＝27 .
应用2
矩形的性质和判定在四边形中的应用
3.[2023·新疆]如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝
90°，OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
1.矩形的性质和判定
的应用
名师点金
矩形判定的技巧：证明四边形是矩形，已知对角线相等
时，只需再证明四边形是平行四边形；已知四边形是平行四
边形时，只需再证明对角线相等或有一个角是直角.如果已知
四边形的两个角是直角，此时应选择“有三个角是直角的四
边形是矩形”证明.
应用1
矩形的性质和判定在平行四边形中的应用
∴∠EBC＝∠FDA.由题意知BE＝DF.
＝，
在△BEC和△DFA中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△BEC ≌△DFA(SAS).∴CE＝AF.
同理可得AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形.
(2)当t为何值时，四边形AECF为矩形？
【解】∵四边形AECF为平行四边形，
∴当EF＝AC＝8时，四边形AECF为矩形.
∴四边形BECF是平行四边形.
∵∠A＝30°，∠ABO＝90°，
∴OB＝ OA＝OE.
∴BC＝EF.∴四边形BECF是矩形.
4.[2022·云南]如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为
线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接
AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边
形，
∴BA∥CD.∴∠BAE＝∠FDE.
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.
∠＝∠，
在△BEA和△FED中，ቐ ＝，
∠＝∠，
∴△BEA≌△FED(ASA).∴EF＝EB.
又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形.
又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形.
【证明】在△AOB与△DOC中，
∠＝∠，
ቐ＝，
∠＝∠，
∴△AOB≌△DOC(ASA).∴AO＝DO.
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
∴OE＝ OA，OF＝ OD，∴OE＝OF.
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形.
【证明】∵OB＝OC，OE＝OF，
1.如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E，F在对角线
BD上，点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点D运
动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时
运动停止，运动时间为t秒.
(1)求证：四边形AECF为平行四边形.
AD＝BC，
AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF＝AE，∴AB－AE＝CD－CF，∴BE＝DF.
∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形.
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形.
(2)若∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，AD＝6，求
▱ABCD的面积.
【解】∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.
∵∠DAB＝60°，∴∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD＝3，
∴DE＝ − ＝3 .
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DFA＝∠BAF.
∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF＝6.